专题5.1 分式的意义与基本性质（6大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.1 分式的意义与基本性质（6大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【知识点5】分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【知识点6】分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 知识点与题型目录 【题型1】分式的判断.................................................................2 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件.....................................2 【题型3】分式的求值.................................................................2 【题型4】判断分式变形是否正确.......................................................3 【题型5】将分式的分子分母的最高次项化为正数.........................................3 【题型6】将分式的分子分母各项系数化为整数...........................................3 【题型7】最简分式...................................................................4 【题型8】约分.......................................................................4 【题型9】链接中考...................................................................4 【题型10】拓展延伸..................................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的判断 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式：、、、，分式有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式： （1）如果，那么y取何值时，分式无意义？ （2）如果，那么x取何值时，分式无意义？ （3）使分式无意义的x，y有多少对？ （4）要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ （5）如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期末）根据下列表格信息，可能为（    ） … 0 1 2 … … * 0 * * 无意义 … A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，无意义；当 时，这个分式的值为0． 【题型3】分式的求值 【例3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【题型4】判断分式变形是否正确 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式是否成立？如果不成立，应怎样改正，使其成立？ （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·河南新乡·期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③；④．其中，成立的是 （填序号）． 【题型5】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （1）； （2）． 【变式1】（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【题型6】将分式的分子分母各项系数化为整数 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为 ． 【题型7】最简分式 【例7】（23-24八年级下·上海·期中）解关于的方程：． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【题型8】约分 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 【题型9】链接中考 【例1】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【例2】（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型10】拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 分式的意义与基本性质（6大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【知识点5】分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【知识点6】分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 知识点与题型目录 【题型1】分式的判断.................................................................2 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件.....................................3 【题型3】分式的求值.................................................................4 【题型4】判断分式变形是否正确.......................................................6 【题型5】将分式的分子分母的最高次项化为正数.........................................7 【题型6】将分式的分子分母各项系数化为整数...........................................8 【题型7】最简分式..................................................................10 【题型8】约分......................................................................11 【题型9】链接中考..................................................................12 【题型10】拓展延伸.................................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的判断 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 【答案】整式：．分式： 【分析】本题考查整式和分式，根据形如，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 解：由题意，整式有：； 分式有：． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式：、、、，分式有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 解：在、、、中，是分式有，共个， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键． 根据整式和分式的定义即可解答，形如，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式． 解：整式有； 分式有； 故答案为：；． 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式： （1）如果，那么y取何值时，分式无意义？ （2）如果，那么x取何值时，分式无意义？ （3）使分式无意义的x，y有多少对？ （4）要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ （5）如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】（1）；（2）；（3）无数对；（4）；（5） 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 解：（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点拨】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期末）根据下列表格信息，可能为（    ） … 0 1 2 … … * 0 * * 无意义 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件、分式无意义的条件，根据分式的值为零的条件以及分式无意义的条件并结合表格即可得解． 解：由表格可得，当时，分式的值为零，当时，分式的值无意义，故符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，无意义；当 时，这个分式的值为0． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵分式的值为0， ∴，且， ∴； 故答案为：；0． 【题型3】分式的求值 【例3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，因式分解，先由分式有意义的条件得到，再由推出，把代入所求式子中化简求解即可． 解：∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解． 解：， ， 解得：． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，求出、的值，进行解题．设，可得、与m的关系，解可得m、x、y的值，代入分式计算可得答案． 解：设，则，，； 则， 解得， 进而可得，， 代入分式可得， 故答案为：． 【题型4】判断分式变形是否正确 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式是否成立？如果不成立，应怎样改正，使其成立？ （1）； （2）． 【答案】（1）不成立，不能化简；（2）不成立， 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质解答即可； （2）先将等式左边的分子因式分解，再约分，即可求解． 解：（1）解：等式不成立，不能化简； （2）等式不成立，改正： ，即． 【变式1】（24-25八年级下·河南新乡·期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质“分式的分子分母同乘除一个不为的数或代数式，分式的值不变”逐项判断即可． 解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③；④．其中，成立的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 解：；故①正确； ；故②正确； ；故③错误； ；故④正确； 故答案为：①②④ 【题型5】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． （1）解：； （2）解：． 【变式1】（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 解： ， 故答案为：． 【题型6】将分式的分子分母各项系数化为整数 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． （1）解：； （2）解：． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 解： ． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为 ． 【答案】 【分析】，据此即可求解． 解： 将分子、分母同时扩大倍，不改变分式的值 故答案为： 【点拨】本题考查将分式的分子与分母的各项系数化为整数．合理利用分式的性质是解题关键． 【题型7】最简分式 【例7】（23-24八年级下·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】时，方程有无数解；时， 【分析】本题考查了含参数的方程的求解，先将原方程化简，然后讨论是否为，若，则方程有无数解，若则方程有唯一解． 解： ， 当，即时，方程有无数解； 当，即时，，解得 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键，分式的分子和分母除了公因式1，再没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，掌握以上知识是解题的关键； 根据最简分式的定义逐个判断即可． 解：A、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型8】约分 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）根据平方差公式和完全平方公式分解因式，再约分即可得到结果； （2）根据平方差公式分解因式，再约分即可得到结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 解：A. ，故不是最简分式，不符合题意； B. ，故是最简分式，符合题意； C. ，故不是最简分式，不符合题意； D. ，故不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，因式分解，先将分子分母进行因式分解，再约分是解题的关键． 解：， 故答案为：． 【题型9】链接中考 【例1】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【例2】（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 解： ， 当时， ∴原式=． 【点拨】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 【题型10】拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点拨】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 1 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