第五章《分式与分式方程》回顾与思考练习（1）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册 第五章《分式与分式方程》 回顾与思考练习（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 3．对于正整数x，使分式的值是一个整数，则x可能取值的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，△表示整式，则△是（　　） A．﹣1 B．1 C．x D．﹣x 7．甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需1.2小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 8．化简的结果是（　　） A． B．x+2 C． D．x﹣2 9．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 　 　 ． 12．已知，则分式 　 　 ． 13．计算： 　 　 ． 14．当m＝ 　 　 时，方程会产生增根． 15．下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是x＝7，则n的值等于　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）； （2）． 17．计算： （1）； （2）． 18．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．先化简，再求值：，其中a1． 20．【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）； 立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当x＝6时的值． 21．已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0）．若，． （1）直接写出n的值为　 　 ； （2）求的值； （3）求的值． 22．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程6﹣4（1﹣x）＝2x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 23．重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数． 24．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“　 　 阶差分式”． （2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 25．阅读与思考 某中学的数学课堂上，老师和同学正在探究一个数学问题：两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间有什么关系呢？ 初步探究 （1）为了弄清这个问题，同学们选取两个连续整数5和6，进行探究，为表达方便，设它们平方的平均数为A，平均数的平方为B，则，，发现A≠B，且．同学们又取了一组连续整数8和9进行验证，发现A﹣B的差为 　 　 ； 深入思考 （2）根据前面的实验，同学们大胆猜想两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间的差为一个固定值，为探究结论的一般性，同学们设两个连续整数分别为n和n+1，进行如下验证：，，请你按同学们的思路完成结论的验证： 发散拓展 （3）按同学们的思路进一步思考：两个相差为a（a为正整数）的正整数的平方的平均数与这两个数平均数的平方的差刚好等于这两个整数的平均数，请用含a的式子表示这两个整数并求出a的最小值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D D A C A C C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．． 13．． 14．﹣2． 15．9或10． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）原方程去分母得：2﹣x＝x﹣2， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， 则x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）原方程去分母得：2x+6＝3， 解得：x＝﹣1.5， 检验：当x＝﹣1.5时，（x+3）（x﹣3）≠0， 故原分式方程的解为x＝﹣1.5． 17．解：（1）原式； （2）原式． 18．解：（1）原式• ； （2）原式 ； （3）原式 • ； （4）原式• • • ． 19．解：原式 ＝a+1， 当时，原式． 20．解： ＝[]• •• ＝2（x+2）• ＝2（x+2） ， 当x＝6时，原式12． 21．解：（1）∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0）． ∴n＝ab＝（）（）＝3﹣2＝1， 故答案为：1． （2）∵，． ∴a+b＝2，ab＝1， 1． （3）由ab＝1可得： ＝2025×（） ＝2025×1 ＝2025． 22．解：（1）方程6﹣4（1﹣x）＝2x与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程6﹣4（1﹣x）＝2x得：x＝﹣1， 解方程得：x＝﹣1， 检验：x＝﹣1是该分式方程得解． ∴两个方程是“相似方程”； （2）由条件可知mx+6＝x+4m， ， ∵x，y，m均为整数， ∴m﹣1＝±1，m﹣1＝±2， ∴m1＝0，m2＝2，m3＝﹣1，m4＝3， 又∵m为正整数， ∴m＝2或m＝3． 23．解：（1）设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为x个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为（x+45）个， 由题意得：5x+4（x+45）＝900， 解得：x＝80， ∴x+45＝80+45＝125（个）， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为125个； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为y个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为（1）y个， 由题意得：[]， 解得：y＝50， 经检验，y＝50是原方程的解，且符合题意， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为50个． 24．解：（1）∵， ∴分式是分式的“1阶差分式“， 故答案为：1； （2）∵A是分式的“2阶差分式”， ∴， ∵A的值为正整数， ∴3﹣x＝1或2或3或6， 解得：x＝2或1或0或﹣3， ∵x取正整数， ∴x＝2或1， ∴当x＝2时，； 当x＝1时，， ∴A的值为6或3． 25．解：（1）A， B， ∴A﹣B， ∴差值仍为． 故答案为：； （2）， ， ∴A﹣B＝（）﹣（）， ∴两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间的差为一个固定值，差值恒为； （3）设这两个数为x和x+a， A， B， ∴A﹣B＝（）﹣（）， ∴， 解得x， x+aa， ∵x和a都是正整数， ∴a2﹣2a能被4整除求结果为正， 当a＝4时，x2，符合条件， 更小的a（如a＝3，2，1）不满足整数条件， ∴这两个整数为，，a的最小值为4，此时两个数分别为2和6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$