精品解析：甘肃省靖远县第一中学2025届高三下学期高考模拟测试（三模）数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是复数z的共轭复数，若，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知椭圆的右焦点为F，点，若椭圆C经过线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 98除的余数是（ ） A. 1 B. 9 C. 3 D. 6 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线上有一点，点P到原点的距离为4，到准线l的距离为，过点P的直线与x轴交于点A，与抛物线C交于另一点B，且P为线段AB的中点，F是抛物线C的焦点，M是PO的中点，N是抛物线弧PO上的动点，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导数为，函数的“牛顿数列”满足，若，则__________． 13. 在长方体中，，点B到平面的距离为，则__________． 14. 如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求． 16. 如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，，M，N分别为的中点． （1）证明：平面BMN． （2）求直线BN与平面所成角的正弦值 （3）求二面角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）函数在上单调递减，求实数a的取值范围； （3）若，证明函数有两个零点． 18. 在一次试验中，事件A发生的概率为p，若以x表示本次试验中事件A发生的情况，且x仅取1，0（1表示事件发生，0表示事件不发生）两个值，则这样的分布称为两点分布．在n次这样的独立重复试验中，如果每一次试验都服从两点分布，且每一次试验中目标事件成功发生的概率恒为p，以X表示需要试验的次数，则目标事件成功发生r（）次所需要进行的试验次数会服从Pascal分布，记为． （1）某商场有两个相同且透明的抽奖箱，每个箱子里有5个球，每次抽奖就随机从两个箱子中不放回地抽出一个球，假设在箱子里的球没有被取完之前，每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，求当把一个箱子里的球全部取完时，另一个箱子里仅剩3个球的概率； （2）求服从Pascal分布的的分布列． 19. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，虚轴的一个端点到渐近线的距离为．双曲线C的右焦点为F，点M在C上，且轴，过点M与C相切的直线l与x轴交于点P． （1）求双曲线C的方程． （2）若点M在x轴上方，求以线段MP为直径的圆的一般方程． （3）过点P的直线交双曲线C于D，E两点（点D在双曲线的左支上，且不为左顶点），G为线段PF的中点，直线GE与MF交于点H，求证：直线DH与x轴平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】因为， ， 所以． 故选：D． 2. 已知是复数z的共轭复数，若，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 即， 所以，则． 故选：C． 3. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对称性得到即可求解. 【详解】依题意，． 故选：D 4. 已知椭圆的右焦点为F，点，若椭圆C经过线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出线段PF的中点坐标，代入椭圆方程，化简即可. 【详解】因为，所以线段PF的中点坐标为． 因为椭圆C经过线段PF的中点，所以，化简可得, 即椭圆C的离心率为． 故选：C． 5. 98除的余数是（ ） A. 1 B. 9 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，写出其二项展开式，即可求解. 【详解】，故98除的余数是1． 故选：A 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及零点逐个排查即可. 【详解】因为，所以函数是奇函数，排除选项A； 因为，当时，，排除选项D； 由知函数在时的第一个零点为，且，由图中所标的单位长度可知，选项B正确，选项C错误． 故选：B． 7. 2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立重复试验概率及条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件A为5颗卫星都成功入轨，事件B为有4颗卫星稳定运行， 在有4颗卫星稳定运行的条件下，5颗卫星都成功入轨的概率，即， 于是． 故选：A． 8. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解. 【详解】 设棱的中点分别为，连接， 构造长方体，则长方体外接球的表面积 即为三棱锥外接球的表面积．依题意，， 设长方体外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解，结合函数单调性，逐项判断即可. 【详解】由，得，解得，故A项正确，B项错误； 不妨令，则，则，由对勾函数的单调性可知，故C项正确； 令，则， 易知函数，在区间上单调递增，则，故D项正确， 故选：ACD． 10. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系，正、余弦二倍角公式及弦化切逐个判断即可. 【详解】因为，所以，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； 由，易得， 所以，选项D错误． 故选：AC． 11. 如图，抛物线上有一点，点P到原点的距离为4，到准线l的距离为，过点P的直线与x轴交于点A，与抛物线C交于另一点B，且P为线段AB的中点，F是抛物线C的焦点，M是PO的中点，N是抛物线弧PO上的动点，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得到，求得，再结合抛物线的基本性质逐个判断即可. 【详解】依题意，得消去p，整理得，解得（舍去） 或，所以，选项A错误； 抛物线C的方程为，得，因为P为线段AB的中点，点A的纵坐标为0，所以点B的纵坐标为，可得点B的横坐标为8， 于是，所以，选项B正确； ，由题图可知，，选项C错误； ，，选项D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导数为，函数的“牛顿数列”满足，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求，根据题意得，然后用迭代法求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 则. 因为，所以． 故答案为： 13. 在长方体中，，点B到平面的距离为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点P，可证平面．即，进而可求解. 【详解】如图，过点B作于点P，连接，BD，因为平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线，则平面． 由直角三角形的面积可得：， 解得． 故答案为： 14. 如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设， 则 ， 其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求． 【答案】（1） 由及， 得， 由正弦定理得，即， 所以， 则或（舍去）， 所以，即， 所以． （2） 由（1）知，，所以， 由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 整理得． （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，推出，进而可求证； （2）由（1）得到，再结合余弦定理，及基本不等式即可求证； （3）由同角三角函数关系，及两角和的正弦公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，所以，所以， ． ． 16. 如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，，M，N分别为的中点． （1）证明：平面BMN． （2）求直线BN与平面所成角的正弦值 （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接BD，则， 因为M是的中点，， 所以四边形是平行四边形，则， 又，且，所以， 同理． 因为平面，， 所以平面BMN． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理得到，，再利用线面垂直的判定即可求证； （2）建系，求得平面法向量、直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面和平面的法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，如图，建立空间直角坐标系，则． ． 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以． 所以， 所以直线BN与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设平面BMN的法向量为， 则即 令，则，所以． 设二面角的大小为， 则． 所以二面角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）函数在上单调递减，求实数a的取值范围； （3）若，证明函数有两个零点． 【答案】（1） （2） （3） 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， ． 因为，所以． 因为，所以在上有唯一零点． 又，因为，所以， 则， 所以在上有唯一零点． 综上，函数有两个零点． 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）通过，讨论导数符号，进而可求解； （3）求导确定函数单调性，确定相应最值，进而可求证； 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以． 所以曲线）在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 对求导，得． 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，令，得， 所以是函数的单调递减区间， 因为在上单调递减，所以， 得，解得， 所以实数a的取值范围是． 【小问3详解】 略 18. 在一次试验中，事件A发生的概率为p，若以x表示本次试验中事件A发生的情况，且x仅取1，0（1表示事件发生，0表示事件不发生）两个值，则这样的分布称为两点分布．在n次这样的独立重复试验中，如果每一次试验都服从两点分布，且每一次试验中目标事件成功发生的概率恒为p，以X表示需要试验的次数，则目标事件成功发生r（）次所需要进行的试验次数会服从Pascal分布，记为． （1）某商场有两个相同且透明的抽奖箱，每个箱子里有5个球，每次抽奖就随机从两个箱子中不放回地抽出一个球，假设在箱子里的球没有被取完之前，每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，求当把一个箱子里的球全部取完时，另一个箱子里仅剩3个球的概率； （2）求服从Pascal分布的的分布列． 【答案】（1） （2）分布列： X … … P … … 【解析】 【分析】（1）理解概率模型新定义，结合独立重复试验概率计算公式即可求解； （2）结合新定义得到，进而可求分布列. 【小问1详解】 因为两个箱子是相同且透明的，不妨分别设为一号箱与二号箱， 记事件A为“球来自一号箱”，事件B为“球来自二号箱”， 则取一次球后的结果是事件A或者事件B发生．又因为每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的， 所以． 当一号箱中的球被全部取完时，即已经发生了5次事件A，当二号箱还剩3个球时， 即已经发生了次事件B， 因此总共做了次独立重复试验，并且第7次一定是事件A发生，即最后一次取的球一定来自一号箱，否则最后一次取出的球来自其中某个箱子的概率将会不同． 故前6次取球中发生了4次事件A，2次事件B，最后一次是事件A发生， 即． 而对于两个箱子而言，也是需要选择的，因此最终把一个箱子里的球全部取完而另一个箱子里仅剩3个球的概率为． 【小问2详解】 不妨记“试验成功”为事件D，“试验失败”为事件F， 由（1）情景可知Pascal分布所做的试验满足总共做了n（）次独立重复试验， 事件D发生了r次，事件F发生了次，且第n次一定是事件D发生， 故， 即其分布列为 X … … P … … 19. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，虚轴的一个端点到渐近线的距离为．双曲线C的右焦点为F，点M在C上，且轴，过点M与C相切的直线l与x轴交于点P． （1）求双曲线C的方程． （2）若点M在x轴上方，求以线段MP为直径的圆的一般方程． （3）过点P的直线交双曲线C于D，E两点（点D在双曲线的左支上，且不为左顶点），G为线段PF的中点，直线GE与MF交于点H，求证：直线DH与x轴平行． 【答案】（1） （2） （3） 如图，设直线的方程为，， 将代入， 整理得，则， 得，得， 直线的方程为，令，得， 而， 所以，即直线与轴平行． 【解析】 【分析】（1）依题意，再由虚轴的顶点到渐近线的距离求出，即可求出，从而得解； （2）首先求出点坐标，设，联立直线与双曲线方程，由得到，再由点在直线上，得到，即可求出、的值，从而求出点坐标，即可得解； （3）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出点的坐标，即可得解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 由一条渐近线的方程为，得, 由虚轴的一个端点到渐近线的距离为，不妨设一个端点为，则, 所以， 则双曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知点，因为点M在C上，且轴，所以． 设，与双曲线联立， 得．因为直线l与双曲线C相切， 所以，整理得①， 又直线过点，得②， 由①②得，所以直线l的方程为， 所以点的坐标为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $