24-25题限时练(三)&24-25题限时练(四)-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·三轮复习·抢分练小卷

参考答案与重难题解析·陕西数学　 抢 分 练 小 卷 ∴ ∠ABC= ∠D, ∵ AC ( =AC ( ,∴ ∠E= ∠ABC, ∴ ∠E= ∠D, ∵ AC=CE,∴ ∠CAE= ∠E, ∴ ∠CAE= ∠D; (2)解:如解图,过点 C 作 CH⊥AE 于 H, 第 24 题解图 ∵ OA= 3,∴ AB= 2OA= 6, 在 Rt△ABD 中,AD= AB2 +BD2 = 62 +(3 2 ) 2 = 3 6 , ∵ S△ABD = 1 2 AB·BD= 1 2 AD·BC, ∴ BC= AB·BD AD = 6 ×3 2 3 6 = 2 3 , ∴ AC= AB2 -BC2 = 62 -(2 3 ) 2 = 2 6 , 同理可得 CG = 2 2,AG = AC2 -CG2 = (2 6)2 -(2 2)2 =4, ∴ BG= 2. ∵ AC=CE,CH⊥AE,∴ AE= 2AH, 由(1)可得∠ABC= ∠CAH,∠ACB= ∠CHA= 90°, ∴ △ACB∽△CHA, ∴ AH BC =AC AB ,∴ AH 2 3 = 2 6 6 , ∴ AH= 2 2 ,∴ AE= 4 2 , 设 FG= x,则 AF= 4+x, ∵ ∠E= ∠CBF,∠EAF= ∠BCF, ∴ △AEF∽△CBF, ∴ CF AF =BC AE ,即 CF 4+x = 2 3 4 2 , ∴ CF= 4 6 + 6 x 4 , ∵ CF2 =CG2 +FG2 , ∴ ( 4 6 + 6 x 4 ) 2 = (2 2 ) 2 +x2 , 解得:x= 4 5 或 x= 4(舍去), ∴ FG 的长为 4 5 . 25.解:(1)由题意得,B(0,2), 设抛物线的表达式为 y=a(x-h) 2 +k. ∵ OA= 12 m, ∴ D(6,8),0≤x≤12. ∴ y=a(x-6) 2 +8. 将 B(0,2)代入表达式可得, a= - 1 6 ,∴ 所求抛物线的表达式为 y = - 1 6 ( x- 6) 2 + 8(0 ≤x≤12) . (2)12;【解法提示】由题意,如解图,将该抛物线向上平 移 1 m 所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域+抛物 线 CED 面积=抛物线 C′E′D′面积+矩形 C′D′DC 面积. ∵ 抛物线面积不变,∴ 贴黄黑立面标记的区域的面积为矩 形 C′D′DC 的面积= 1×12 = 12(m2 ) . 第 25 题解图 (3)由题意,∵ 车辆必须在距离隧道边缘大于等于 2 m 范围内行驶, ∴ 可令 x= 2,则 y= - 1 6 ×42 +8 = 16 3 . 又 16 3 - 1 3 = 5(米), ∴ 该隧道车辆的限制高度为 5 米. 24~ 25 题限时练(三) 24. (1)证明:如解图,连接 OD. ∵ DF 是☉O 的切线,∴ OD⊥DF, ∵ CD 平分∠ACB,∴ AD ( =DB ( , ∴ OD⊥AB,∴ AB∥DF; (2)解:如解图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∵ BC= 5 ,AC= 2 5 , ∴ AB= AC2 +BC2 = (2 5 ) 2 +( 5 ) 2 = 5, ∵ S△ ABC = 1 2 ·AC·BC= 1 2 ·AB·CH, ∴ CH= 2 5 × 5 5 = 2, ∴ BH= BC2 -CH2 = 1, ∴ OH=OB-BH= 5 2 -1 = 3 2 , ∵ DF∥AB,∴ ∠COH= ∠F, ∵ ∠CHO= ∠ODF= 90°, ∴ △CHO∽△ODF, ∴ CH OD =OH DF ,∴ 2 5 2 = 3 2 DF , ∴ DF= 15 8 . 第 24 题解图 25.解:(1)∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A( - 1,0)、点 B(3,0), ∴ 可设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3), 又∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0,3), ∴ 3 =a(0+1)(0-3), 解得 a= -1, ∴ 抛物线的表达式为 y= -(x+1)(x-3), 即 y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 77 参考答案与重难题解析·陕西数学　 抢 分 练 小 卷 ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,4); (2)∵ 抛物线的顶点坐标为(1,4),平移后抛物线的顶点 在 x 轴上,∴ 抛物线向下平移了 4 个单位长度, ∴ 平移后抛物线的表达式为 y = -x2 + 2x+ 3- 4 = -x2 + 2x- 1,PQ= 4, ∵ OP=OQ, ∴ 点 O 在 PQ 的垂直平分线上, 又∵ QP∥y 轴, ∴ 点 Q 与点 P 关于 x 轴对称, ∴ 点 Q 的纵坐标为-2, 将 y= -2 代入 y= -x2 +2x-1 中,得-x2 +2x-1 = -2, 解得 x1 = 1+ 2 ,x2 = 1- 2 , ∴ 点 Q 的坐标为(1+ 2 ,-2)或(1- 2 ,-2) . 24~ 25 题限时练(四) 24. ( 1 ) 证明: ∵ ∠ECB + ∠BCD = 180°, ∠BCD + ∠BAD = 180°, ∴ ∠ECB= ∠BAD, ∵ BA=BD,∴ ∠BAD= ∠BDA= ∠BCA, ∴ ∠ECB= ∠BCA; (2)解:∵ AC 是☉O 的直径,BE⊥EC, ∴ ∠ABC= ∠BEC= 90°, ∵ ∠BCE= ∠BCA,∴ △BEC∽△ABC, ∴ EC BC =BC AC ,∴ 2 BC =BC 10 ,∴ BC= 2 5 , ∵ ∠BDC= ∠BAC, ∴ sin∠BDC= sin∠BAC= BC AC = 2 5 10 = 5 5 . 25.解:(1)由题意可以设抛物线 C1 的表达式为 y = a( x+3) (x-1), 把 C(0,3)代入 y=a(x+3)(x-1),得到 a= -1, ∴ 抛物线 C1 的表达式为 y= -(x+3)(x-1)= -x2 -2x+3 = -(x+1) 2 +4, ∴ 顶点 D( -1,4); (2)存在. ∵ 点 D( -1,4)关于点 B(1,0)的对称点为点 E (3,-4), ∴ 抛物线 C2 的解析式为 y= (x-3) 2 -4,即 y= x2 -6x+5. 由题意,抛物线 C2 与 x 轴的另一个交点为 K( 5,0) . 如 解图, ①当 Q 在 x 轴上方时,可知点 Q 的纵坐标为 3, 当 y= 3 时,3 = x2 -6x+5, 解得 x= 3± 7 , ∴ 点 Q 的坐标为(3+ 7 ,3)或(3- 7 ,3); ②当 Q 在 x 轴下方时,可知点 Q 的纵坐标为-3, 当 y= -3 时,-3 = x2 -6x+5, 解得 x= 2 或 4, ∴ 点 Q 的坐标为(2,-3)或(4,-3), ∵ (2,-3)在直线 BC 上,不能构成平行四边形,∴ 点 Q 的坐标为(4,-3),综上所述,在 C2 上存在一点 Q,使以 B,C,P,Q 为顶点的四边形是以 BC 为边的平行四边形, 点 Q 的坐标为(3+ 7 ,3)或(3- 7 ,3)或(4,-3) . 第 25 题解图 24~ 25 题限时练(五) 24. (1)证明:∵ AB 是☉O 的直径, ∴ AD⊥BC, ∵ D 是边 BC 的中点,∴ BD=CD, ∴ AB=AC; (2)解:∵ AB=AC, ∴ ∠B= ∠C, ∵ ∠B= ∠E,∴ ∠E= ∠C, ∴ BD=DC=DE= 3, ∵ BD-AD= 2,∴ AD= 1, 在 Rt△ABD 中,AB= AD2 +BD2 = 10 , ∴ ☉O 的半径为 10 2 , ∵ AB=AC= 10 ,BD=DC= 3, ∴ BC= 6, ∵ ∠B= ∠E,∠C= ∠C, ∴ △EDC∽△BAC, ∴ EC BC =DC AC , ∴ AC·EC=DC·BC, ∴ 10 ·EC= 3×6, ∴ EC= 9 5 10 , ∴ AE=EC-AC= 9 5 10 - 10 = 4 10 5 . 25.解:(1)由题意得:y= ( x-5) (100- x-6 0. 5 ×5) = -10x2 +210x -800, ∴ y 与 x 之间的函数关系式为:y= -10x2 +210x-800; (2)∵ 利润率不超过 80%, ∴ x-5 5 ≤0. 8, 解得 x≤9, ∴ 销售单价取值范围是 6≤x≤9, 由(1)得 y= -10x2 +210x-800 = -10(x-10. 5) 2 +302. 5, ∵ 对称轴为直线 x= 10. 5, ∴ 6≤x≤9 在对称轴的左侧,且 y 随着 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 9 时,y 取得最大值,此时 y = - 10×(9- 10. 5) 2 + 302. 5 = 280, 即售价为 9 元 /千克时,当天获得最大利润,最大利润为 280 元. 24~ 25 题限时练(六) 24. (1)证明:如解图,连接 OD,CD, ∴ ∠ABD= ∠ACD, ∵ AC 是☉O 的直径, ∴ ∠ADC= 90°, ∴ ∠DAC+∠ACD= 90°, ∵ DE 是☉O 的切线,∴ ∠ODE= 90°, ∴ ∠ADE+∠ADO= 90°, ∵ OA=OD,∴ ∠OAD= ∠ODA, ∴ ∠ADE= ∠ACD,∴ ∠EDA= ∠ABD; (2)解:∵ ∠ACD= ∠ABD, ∴ sin∠ACD= sin∠ABD= AD AC = 3 5 , ∵ AD= 6,∴ AC= 10, ∴ CD= AC2 -AD2 = 8, ∵ ∠E= ∠E,∠ADE= ∠ACD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 87 抢分练小卷·陕西数学 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 24~ 25 题限时练(三) 限时:20 分钟 用时:　 　 分钟 满分:16 分 得分:　 　 分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 24. (8 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的☉O 上,CD 平分∠ACB 交☉O 于点 D,交 AB 于点 E,过点 D 作☉O 的切线交 CO 的延 长线于点 F. (1)求证:FD∥AB; (2)若 AC= 2 5 ,BC= 5 ,求 FD 的长. 第 24 题图 (1)证明:如解图,连接 OD. ∵DF 是☉O 的切线,∴OD⊥DF, ∵CD 平分∠ACB,∴AD ( =DB ( , ∴OD⊥AB,∴AB∥DF; (2)解:如解图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. ∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∵BC= 5 ,AC=2 5 , ∴AB= AC2+BC2 = (2 5 ) 2+( 5 ) 2 =5, ∵S△ ABC = 1 2 ·AC·BC= 1 2 ·AB·CH, ∴CH=2 5 × 5 5 =2, ∴BH= BC2-CH2 =1, ∴OH=OB-BH= 5 2 -1= 3 2 , ∵DF∥AB,∴∠COH=∠F, ∵∠CHO=∠ODF=90°, ∴△CHO∽△ODF, ∴CH OD =OH DF ,∴ 2 5 2 = 3 2 DF , ∴DF=15 8 . 25. (8 分)如图,抛物线 y = ax2 +bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A( -1,0)、点 B(3,0),与 y 轴交于点 C(0,3) . (1)求抛物线的表达式及顶点坐标; (2)将该抛物线向下平移,使得新抛物线 的顶点落在 x 轴上,原抛物线上一点 P 平移后的对应点为点 Q,如果 OP = OQ,求点 Q 的坐标. 第 25 题图 解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交 于点 A(-1,0)、点 B(3,0), ∴可设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3), 又∵抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0,3), ∴3=a(0+1)(0-3), 解得 a=-1, ∴抛物线的表达式为 y=-(x+1)(x-3), 即 y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,4) . (2)∵抛物线的顶点坐标为(1,4),平移后抛物 线的顶点在 x 轴上,∴抛物线向下平移了 4 个 单位长度, ∴平移后抛物线的表达式为 y = -x2+2x+3-4 = -x2+2x-1,PQ=4, ∵OP=OQ, ∴点 O 在 PQ 的垂直平分线上, 又∵QP∥y 轴, ∴点 Q 与点 P 关于 x 轴对称, ∴点 Q 的纵坐标为-2, 将 y=-2 代入 y= -x2+2x-1 中,得-x2+2x-1 = -2, 解得 x1 =1+ 2 ,x2 =1- 2 , ∴点 Q 的坐标为(1+ 2 ,-2)或(1- 2 ,-2) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 抢分练小卷·陕西数学 24~ 25 题限时练(四) 限时:20 分钟 用时:　 　 分钟 满分:16 分 得分:　 　 分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 24. (8 分)如图,AC 为☉O 的直径,点 B,D 是 ☉O 上两点,BA=BD,BE⊥DC 交 DC 的延 长线于点 E. (1)求证:∠ECB= ∠BCA; (2) 若 CE = 2, ☉O 的半径为 5, 求 sin ∠BDC 的值. 第 24 题图 (1)证明:∵ ∠ECB +∠BCD = 180°,∠BCD + ∠BAD=180°, ∴∠ECB=∠BAD, ∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=∠BCA, ∴∠ECB=∠BCA; (2)解:∵AC 是☉O 的直径,BE⊥EC, ∴∠ABC=∠BEC=90°, ∵∠BCE=∠BCA,∴△BEC∽△ABC, ∴EC BC =BC AC ,∴ 2 BC =BC 10 ,∴BC=2 5 , ∵∠BDC=∠BAC, ∴sin∠BDC=sin∠BAC=BC AC =2 5 10 = 5 5 . 25. (8 分)如图,抛物线 C1 与 x 轴交于 A( - 3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C(0, 3),点 D 为抛物线 C1 的顶点. (1)求抛物线 C1 的表达式及点 D 坐标; (2)将抛物线 C1 关于点 B 对称后的抛物 线记为 C2 . 点 P 是 x 轴上一点,请问在 C2 上是否存在一点 Q,使以 B,C,P,Q 为顶 点的四边形是以 BC 为边的平行四边形? 若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请 说明理由. 第 25 题图 (2)存在. ∵点 D(-1,4)关于点 B(1,0)的对称 点为点 E(3,-4), ∴抛物线 C2 的解析式为 y = (x-3) 2-4,即 y = x2-6x+5. 由题意,抛物线 C2 与 x 轴的另一个交点为 K (5,0) .如解图, ①当 Q 在 x 轴上方时,可知点 Q 的纵坐标为 3, 解得 x=3± 7 , ∴点 Q 的坐标为(3+ 7 ,3)或(3- 7 ,3); ②当 Q 在 x 轴下方时,可知点 Q 的纵坐标为 -3, 当 y=-3 时,-3=x2-6x+5, 解得 x=2 或 4, ∴点 Q 的坐标为(2,-3)或(4,-3), ∵ (2,-3)在直线 BC 上,不能构成平行四边形, ∴点 Q 的坐标为(4,-3), 综上所述,在 C2 上存在一点 Q,使以 B,C,P,Q 为顶点的四边形是以 BC 为边的平行四边形, 点 Q 的坐标为(3+ 7 ,3)或(3- 7 ,3)或(4,- 3) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43