江苏省南京市秦淮区 2025年中考模拟数学试卷

江苏省南京市秦淮区 2025年中考模拟数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.截至年月日，哪吒之魔童闹海累计票房含预售超亿元，登顶全球动画电影票房榜数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.在下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、和不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 3.已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.如图，在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点下列线段的长度是方程的一个根的是  (    ) A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】B  【解析】四边形为矩形，，，，由作法得，，解方程，得，，线段的长为方程的一个根．故选B． 5.如图，在中，，，是等边三角形如图，将四边形折叠，使与重合，为折痕，则的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设， 中，，， ，， 是等边三角形， ，， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 故选：． 设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理求得、的值，再由等边三角形的性质证得，然后由折叠的性质知，设，由勾股定理求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可得出结果． 本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 6.如图，矩形的一条边长为，周长的一半为定义为这个矩形的坐标．如图，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成个区域．已知矩形的坐标的对应点落在如图所示的双曲线上，矩形的坐标的对应点落在区域中． 则下面叙述中正确的是(    ) A. 点的横坐标有可能大于 B. 矩形是正方形时，点位于区域 C. 当点沿双曲线向上移动时，矩形的面积减小 D. 当点位于区域时，矩形可能和矩形全等 【答案】D  【解析】由图形，可知当时，，从而可判断；根据点是直线与双曲线的交点可判断；求出可判断；由点位于区域，可得，由矩形落在区域中可得，从而可判断． 【详解】设点均为正数． A、设反比例函数解析式为， 由图形，可知当时，， ． ， ， ，即点的横坐标不可能大于，故选项A不正确． B、当矩形为正方形时，边长为，， 则点是直线与双曲线的交点，如图，交点在区域， 故选项B不正确． C、当一边为，则另一边为， 当点沿双曲线向上移动时，的值会越来越小， 矩形的面积会越来越大，故选项C不正确． D、当点位于区域时， 点， ，即另一边为， 矩形落在区域中，，即另一边， 当点位于区域时，矩形可能和矩形全等， 故选项D正确． 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.要使二次根式有意义，则的值可以是______写出一个即可 【答案】答案不唯一  【解析】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：答案不唯一． 根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8.若，，则           ． 【答案】  【解析】略 9.因式分解： ______． 【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 提取公因式即可． 本题考查的是因式分解，熟知提公因式法分解因式是解题的关键． 10.已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于______． 【答案】  【解析】解：是一元二次方程的根， ， ， ， ，是一元二次方程的两个根， ， ． 故答案为：． 先根据一元二次方程解的定义得到，则化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 11.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为______． 【答案】  【解析】解：设反比例函数表达式为． 当，时得： ． 关于的函数表达式为， 把代入，得， 答：密度计浸在溶液中的高度为， 故答案为：． 待定系数法求出反比例函数解析式，把代入，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 12.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ． 【答案】  【解析】连接，如图．，且是圆周角，是圆形镜面的直径．由勾股定理得，圆形镜面的半径为故答案为． 13.如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则           度． 【答案】  【解析】本题考查了多边形的内角和定理，利用求多边形的内角和公式，得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键，根据正多边形的内角的求法，可得、，进而可得答案． 【详解】正五边形的内角， ， 正六边形的内角， ， ， 故答案为：． 14.如图，二次函数的图像经过点，与轴交于点，，分别为轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，点的坐标为          ． 【答案】  【解析】作点关于直线的对称点，则，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交对称轴于点，此时四边形的周长取得最小值． 将代入得，解得，二次函数解析式为，点的坐标为，则点的坐标为，设所在直线解析式为，将和代入得解得所在直线解析式为  当时，，． 15.如图，在▱中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为______． 【答案】  【解析】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点， ，， ， ， ，， ∽， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为． 故答案为：． 作的外接圆，连接、、，过作于点，设，根据圆周角定理得到，求得，过作于点，过作于点，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16.如图，矩形的边、上有两点、，沿着直线折叠使得点、分别落在、，交线段于点，射线恰好经过点，作平分交于，，且恰好落在线段的延长线上，若，则到直线的距离是______． 【答案】  【解析】解：如图，四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， 垂直平分， ， ，，且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 作于点，设， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， 负值已经舍去， ， ， ， ， 设到直线的距离是，则， 解得， 到直线的距离是， 故答案为：． 四边形是矩形，，，，由，得，则，可证明四边形是平行四边形，作于点，设，证明≌，≌，推导出，，则，，在中根据勾股定理列方程求出的值，则，在中根据勾股定理求得，再根据计算出的值，设到直线的距离是，可列方程，解方程求出的值即可． 此题属于四边形的综合题，难度大，考查矩形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，正确理解和运用轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，解集在数轴上表示见详解．  【解析】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： ． 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在数轴上表示出来，即可求解． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 18.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】，．  【解析】解：原式 ， 当时，原式． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19.本小题分 如图，在菱形中，，，分别为，，的中点，连结，，，． 求证：≌． 当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD， ∵点E，F分别为AB，AD的中点， ∴AE=BE=DF=AF， 在△BCE和△DCF中， ， ​​​​​​​∴△BCE≌△DCF（SAS）.  (2)解：当 时，四边形 是正方形．            理由如下： ∵点E，O，F分别为 的中点， ∴ ， ， 又 ， ， ∴ ， ∴四边形 是菱形，        ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是正方形．   【解析】 略  略 20.本小题分 某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段． 初赛由名专业评委和名群众评委给每位选手打分百分制对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 专业评委打分： 群众评委打分的频数分布直方图如下数据分组：第组，第组，第组，第组，第组，第组： 评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 群众评委 根据以上信息，回答下列问题： 写出表中，的值； 比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手______能不能直接进入复赛； 比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级当有一半及以上的评委打分超过评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过评为三级那么该选手的受欢迎等级为______一级二级三级； 复赛由名专家评委打分百分制如果某选手得分的个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致名评委给甲选手打分为，，，，前名评委给乙选手打分为，，，，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是______打分为整数． 【答案】，； 能； 等级为二级；   ．  【解析】解：数据已排序，共个数，中位数为第、位的平均数， 中位数为， 由题意得，专业评委打分中出现的次数最多， 众数； 专业评委打分的平均分为， ， 该选手能接进入复赛， 故答案为：能； 总的群众评委数为人， 一级：超过分，需第组， 频数第组的频数为，占比， 不满足， 二级：超过分，需第、、组， 第、、组频数为，占比， 满足， 等级为二级； 甲选手的平均分为， 甲选手方差为， 设乙选手第五名得分为，且乙选手平均分更高， 则， 解得， ， 当时， 平均分为， 方差为， 当及以上，方差增大， 故． 故答案为：． 中位数需先排序后取中间值，众数是出现次数最多的数，根据以上定义求解即可； 计算出平均分与比较即可； 判断等级需根据频数分布计算各级别人数占比，与比较即可； 方差越小数据越集中，需通过平均分和方差公式逆向求解未知数． 本题综合考查统计量的计算中位数，众数、平均数、频数分布直方图的应用、数据处理能力及方差的理解． 21.本小题分 甲、乙两名同学相约打乒乓球． 有款式完全相同的个乒乓球拍分别记为、、、，若甲先从中随机选取个，乙再从余下的球拍中随机选取个，求乙选中球拍的概率． 双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，若两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，则甲先发球；否则乙先发球．这个约定是否公平？请说明理由． 【答案】(1)画树状图如图①所示．由树状图，可知甲、乙依次选取球拍一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C的结果有3种，∴P（乙选中球拍C）    (2)这个约定公平理由：画树状图如图②所示．由树状图，可知两人各投掷一枚质地均匀的硬币一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，∴P（甲先发球），P（乙先发球）．∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），∴这个约定公平．   【解析】 略  略 22.本小题分 春节期间，电影哪吒之魔童闹海火出了圈，某商家看到商机，果断购进哪吒和敖丙两款玩具． 商家花费元一次性购买了两款玩具共个，已知哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是元、元，求购买了哪吒玩具和敖丙各多少个？ 由于电影热度的下降和价格波动，现该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，已知购买哪吒玩具的数量是敖丙玩具数量的倍，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少元，求该商家第二次买多少个敖丙玩具？ 【答案】购买了哪吒玩具个，敖丙玩具个；   该商家第二次买个敖丙玩具．  【解析】解：设购买了哪吒玩具个，则购买了敖丙玩具个， 由题意得：， 解得：， ， 答：购买了哪吒玩具个，敖丙玩具个； 设该商家第二次买个敖丙玩具，则购买哪吒玩具个， 由题意得：， 解得：， 经检验：既是所列方程的解，且符合题意， 答：该商家第二次买个敖丙玩具． 设购买了哪吒玩具个，则购买了敖丙玩具个，根据商家花费元一次性购买了两款玩具共个，列出一元一次方程，解方程即可； 设该商家第二次买个敖丙玩具，则购买哪吒玩具个，根据该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少元，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程． 23.本小题分 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点处发出，经水面点折射到池底处． 【测量数据】点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点在上记入射角为，折射角为测得点到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： 求的长； 小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知，从而可求得． 由上可在中推理求得 ______； 求，之间的距离参考数据：，， 【答案】；   ； ．  【解析】解：， ． ， 故CD． 即的长为； ， 设，，由勾股定理可得， 故， 故答案为：． 由题可知四边形为矩形， 则，， 故B， 故BE， 即，之间的距离为． 利用平行关系得，直接运用即可求解； 由，设，，由勾股定理可得，从而可得； 由题可知四边形为矩形，则，，故B，故BE可求． 本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 24.本小题分 重新认识． 如图，在虚线框中尺规作图：保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 如图，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，的面积为，的面积为，求的面积． 如图，用无刻度直尺作图，在边上确定一点，使保留作图痕迹． 【答案】(1)解：如图，过点作直线，过点作，然后作的角平分线， ∴，， ∴， 则即为所作；   (2)∵四边形是正方形， ∴，， 如图，将绕点顺时针旋转到， ∴，，，， ∴， ∴点、、共线， ∵，的面积为，的面积为， ∴， ∴，即， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴的面积为；   (3)如图，以点为坐标原点在正方形网格中建立直角坐标系， 在轴上找一点、（同时也是格点），再取格点、，则，，，， ∴绕点顺时针旋转后得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴将点向下平移两格到点，点向下平移两格到点， ∴， ∴， 则点即为所作．   【解析】  过点作直线，过点作，然后作的角平分线即可；   利用可联想构造对称，进而将的面积转化为和的面积之和；   如图，以点为坐标原点在正方形网格中建立直角坐标系，在轴上找一点同时也是格点，再取格点，连接并延长交于点即可． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，其顶点为，是抛物线第四象限上一点． 求线段的长； 当时，若的面积是面积的两倍，求点的坐标； 延长交轴于点，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)解：在中，令，则， ∴， 解得：，， ∴，， ∴；   (2)解：当时，， ∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， ， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的两倍， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴，此时， ∴；   (3)解：∵， ∴， 在中，当时，，故， 如图：作轴于， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线恒过定点．   【解析】  令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解；   求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解；   求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解． 26.本小题分 已知四边形为的内接四边形，如图，边与的延长线交点，与相交于点，所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为，且． 求证：∽ 求的度数用含、的式子表示 如图，当时 若，，求的半径 记的面积为，的面积为，，当时，求关于的函数表达式． 【答案】解：证明：， ， ， ∽； 所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为， ，， ； 作交于、交于点，连接，，， ，， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得：， 故的半径是； ， ， ，，且， ， ， ， ， ， 又∽， ， ， 即：， ．  【解析】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外角性质，垂径定理，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识． 由，得，即可求证； 根据所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为，得，，再由，即可求解； 作交于、交于点，连接，，，得，，由，得，可知，在中，求出，设的半径为，在中，得，求解即可； 先证，得，再证，由∽，得，即可求解． 27.本小题分 综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： 小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到； 小华：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到； 小红：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是______只要填序号； 【深度探究】 小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图，在，上分别取一点，，分别沿，，所在的直线裁剪，得到通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形，均为矩形，，． 所以，． 即． 所以，． 请进一步探究：如图，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，，，连接，，求证：； 【拓展运用】 请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 【答案】；   证明过程见解答；   等腰三角形的腰长是或或．  【解析】解：如图：沿对角线所在的直线裁剪，得到， 面积等于矩形面积的一半； 如图：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到， 面积等于矩形面积的一半； 如图：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到， 面积等于矩形面积的一半； 故答案为：； 证明：如图，过点作，垂足为点，交于点，连接，， 则四边形，均为矩形， ，， ， ， ； 解：能用矩形纸片裁剪出等腰三角形，理由如下： 由，可知：当面积等于矩形面积的一半时，三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，当三个顶点与矩形顶点重合时，三角形不是等腰三角形，不符合题意； 当两个顶点与矩形顶点重合时，分两种情况： 矩形的一边为等腰三角形的底边， Ⅰ当为底边时，如图，作边的垂直平分线交于，交于， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， Ⅱ当为底边时，如图，作边的垂直平分线交于，交于， ， 在中，由勾股定理得： ， 矩形的一边为等腰三角形的腰，如图，以为圆心、为半径作圆弧交于点， 则， 综上所述，等腰三角形的腰长是或或． 沿对角线所在的直线裁剪，得到，其面积等于矩形面积的一半； 在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到，其面积等于矩形面积的一半； 在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到，其面积等于矩形面积的一半； 证明：过点作，垂足为点，交于点，连接，，证明，进而可以解决问题； 结合，可得当面积等于矩形面积的一半时，三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，当三个顶点与矩形顶点重合时，三角形不是等腰三角形，不符合题意；当两个顶点与矩形顶点重合时，分两种情况：矩形的一边为等腰三角形的底边，Ⅰ当为底边时，如图，作边的垂直平分线交于，交于，根据勾股定理求出；Ⅱ当为底边时，如图，作边的垂直平分线交于，交于，根据勾股定理求出；矩形的一边为等腰三角形的腰，根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题． 本题属于四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南京市秦淮区 2025年中考模拟数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.截至年月日，哪吒之魔童闹海累计票房含预售超亿元，登顶全球动画电影票房榜数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.在下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点下列线段的长度是方程的一个根的是  (    ) A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 5.如图，在中，，，是等边三角形如图，将四边形折叠，使与重合，为折痕，则的余弦值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，矩形的一条边长为，周长的一半为定义为这个矩形的坐标．如图，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成个区域．已知矩形的坐标的对应点落在如图所示的双曲线上，矩形的坐标的对应点落在区域中． 则下面叙述中正确的是(    ) A. 点的横坐标有可能大于 B. 矩形是正方形时，点位于区域 C. 当点沿双曲线向上移动时，矩形的面积减小 D. 当点位于区域时，矩形可能和矩形全等 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.要使二次根式有意义，则的值可以是______写出一个即可 8.若，，则          ． 9.因式分解：______． 10.已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于______． 11.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为______． 12.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ． 13.如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则          度． 14.如图，二次函数的图像经过点，与轴交于点，，分别为轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，点的坐标为          ． 15.如图，在▱中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为______． 16.如图，矩形的边、上有两点、，沿着直线折叠使得点、分别落在、，交线段于点，射线恰好经过点，作平分交于，，且恰好落在线段的延长线上，若，则到直线的距离是______． 三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 18.本小题分 先化简，再求值：，其中． 19.本小题分 如图，在菱形中，，，分别为，，的中点，连结，，，． 求证：≌． 当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 20.本小题分 某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段． 初赛由名专业评委和名群众评委给每位选手打分百分制对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 专业评委打分： 群众评委打分的频数分布直方图如下数据分组：第组，第组，第组，第组，第组，第组： 评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 群众评委 根据以上信息，回答下列问题： 写出表中，的值； 比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手______能不能直接进入复赛； 比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级当有一半及以上的评委打分超过评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过评为三级那么该选手的受欢迎等级为______一级二级三级； 复赛由名专家评委打分百分制如果某选手得分的个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致名评委给甲选手打分为，，，，前名评委给乙选手打分为，，，，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是______打分为整数． 21.本小题分 甲、乙两名同学相约打乒乓球． 有款式完全相同的个乒乓球拍分别记为、、、，若甲先从中随机选取个，乙再从余下的球拍中随机选取个，求乙选中球拍的概率． 双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，若两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，则甲先发球；否则乙先发球．这个约定是否公平？请说明理由． 22.本小题分 春节期间，电影哪吒之魔童闹海火出了圈，某商家看到商机，果断购进哪吒和敖丙两款玩具． 商家花费元一次性购买了两款玩具共个，已知哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是元、元，求购买了哪吒玩具和敖丙各多少个？ 由于电影热度的下降和价格波动，现该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，已知购买哪吒玩具的数量是敖丙玩具数量的倍，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少元，求该商家第二次买多少个敖丙玩具？ 23.本小题分 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点处发出，经水面点折射到池底处． 【测量数据】点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点在上记入射角为，折射角为测得点到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： 求的长； 小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知，从而可求得． 由上可在中推理求得______； 求，之间的距离参考数据：，， 24.本小题分 重新认识． 如图，在虚线框中尺规作图：保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 如图，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，的面积为，的面积为，求的面积． 如图，用无刻度直尺作图，在边上确定一点，使保留作图痕迹． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，其顶点为，是抛物线第四象限上一点． 求线段的长； 当时，若的面积是面积的两倍，求点的坐标； 延长交轴于点，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 26.本小题分 已知四边形为的内接四边形，如图，边与的延长线交点，与相交于点，所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为，且． 求证：∽ 求的度数用含、的式子表示 如图，当时 若，，求的半径 记的面积为，的面积为，，当时，求关于的函数表达式． 27.本小题分 综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： 小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到； 小华：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到； 小红：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是______只要填序号； 【深度探究】 小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图，在，上分别取一点，，分别沿，，所在的直线裁剪，得到通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形，均为矩形，，． 所以，． 即． 所以，． 请进一步探究：如图，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，，，连接，，求证：； 【拓展运用】 请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 第8页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$