专题02 平面向量与复数考前冲刺训练-2025年上海高考数学考前重点专题分题型冲刺训练

02平面向量与复数 平面向量与复数是上海高考的常规考点，需要整理归纳这两章内容中涵盖的具体知识点，并通过系统训练，掌握基础运算与核心应用，尤其注重几何意义的理解。 一、平面向量与复数内容分析 1. 平面向量是解决几何问题的工具，衔接代数与几何，强调数形结合；复数是拓展数系的基础，它联系了代数运算与几何特征； 2. 平面向量与复数在每年高考中均会涉及，题型覆盖填空、选择及解答题。基础运算与概念题占多数，也有涉及平面几何的综合应用（如结合解析几何等）。 二、平面向量与复数的题型 1. 平面向量的在填空题与选择题中，主要涉及基础运算：如求模长、数量积、垂直、平行等，在解答题中，常涉及平面几何的综合应用，如与解析几何知识点的交汇综合； 2. 复数在高考中主要考查复数的四则运算、模、共轭复数及复数的几何意义等。 平面向量与复数作为上海高考的常规考点，需要通过系统梳理、针对性练习和易错点总结，才可高效掌握平面向量与复数的核心内容。 类型一：考查向量平行与垂直 👉知识点梳理： 设向量，，则 （1）（）或（）. （2）. 1．设，若，则 ． 2．已知点，，则向量的单位向量为 . 3．已知向量，，若，则实数m = 4．已知，，若，则 ． 5．已知向量，若，则 ． 6．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 7．若向量，，且，，三点共线，则 ． 类型二：考查投影向量与数量投影 👉知识点梳理： 向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：，其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. 【注意】区别“向量在非零向量方向上的投影”与“向量在非零向量方向上的投影”. 8．已知平面向量，，则在方向上的投影坐标为 . 9．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 10．已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 11．已知，向量与的夹角为，向量在方向上的数量投影为 . 12．点为圆上的一个动点，点，则在方向上的数量投影的最大值为 . 类型三：考查向量的数量积 👉知识点梳理： （1）定义法：向量与的数量积定义为，也就是在上的数量投影与的模长的乘积； （2）坐标法：. （3）基底法：选择基底，进行向量的分解； 13．已知向量 ，则 . 14．已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则 ． 15．在中，是边的中点.若，，，则 . 16．在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 17．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 18．在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 类型四：考查向量的夹角 👉知识点梳理： 设向量，，则. 19．已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 . 20．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 21．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 类型五：考查向量的模长 👉知识点梳理： （1）设向量，； （2）. （3） 22．已知，则 ． 23．已知平面向量，满足，则 ． 24．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 25．在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 类型六：复数的基本概念及四则运算 👉知识点梳理： 1.基本概念： （1）虚数单位，满足. （2）复数的代数形式：（）. （3）复数的相等：（）的充要条件是同时为； 复数（）的充要条件是且. （4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是（即），虚部是（即）；虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数. （5） 复数的共轭：复数（）的共轭复数是. 2．复数的四则运算 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设 ； ． （2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设， .本质：化简分式. 26．复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 27．复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 28．为虚数单位，若复数满足且，则 ． 29．对于复数（i是虚数单位），则 . 30．复数，，则 ． 31．已知复数满足（为虚数单位），则 . 类型七：复数的模长 👉知识点梳理： （1）复数的模：复数（）的模是. （2）复数的模有如下性质：对、、， ，； ； ； （3）（复数的三角不等式）. 32．已知为虚数单位，复数满足，则= ． 33．已知i是虚数单位，则 ． 34．为虚数单位，若复数满足，则 . 35．若复数满足（其中是虚数单位），则 . 36．已知复数满足，则的值为 ． 类型八：复数的几何意义 👉知识点梳理： （1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴. （2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示. （3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模. （4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量. （5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即. 37．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是 . 38．若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第 象限． 39．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 40．已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 类型九：实系数一元二次方程 👉知识点梳理： 1. 给定方程（，），并令为其判别式，则 （1）当时，方程有两个不相等的实根； （2）当时，方程有两个相等的实根（二重根） （3）当时，方程有一对共轭虛根 2.当，韦达定理仍成立，且有 （1）； （2） 41．若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 42．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 平面向量与复数的综合练习 一、选择题 1．已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 5．若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A．若，则z为实数 B．若，则z为纯虚数 C．若，则 D．若，则 7．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 8．若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 9．已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 10．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 12．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为 13．复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 . 14．帕拉图说“美是灵魂的反映”，有机物萘的结构可用下图所示的键线式表示，其优美的结构简式可抽象为两个正六边形的图形.已知与为全等的正六边形，，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为 . 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02平面向量与复数 平面向量与复数是上海高考的常规考点，需要整理归纳这两章内容中涵盖的具体知识点，并通过系统训练，掌握基础运算与核心应用，尤其注重几何意义的理解。 一、平面向量与复数内容分析 1. 平面向量是解决几何问题的工具，衔接代数与几何，强调数形结合；复数是拓展数系的基础，它联系了代数运算与几何特征； 2. 平面向量与复数在每年高考中均会涉及，题型覆盖填空、选择及解答题。基础运算与概念题占多数，也有涉及平面几何的综合应用（如结合解析几何等）。 二、平面向量与复数的题型 1. 平面向量的在填空题与选择题中，主要涉及基础运算：如求模长、数量积、垂直、平行等，在解答题中，常涉及平面几何的综合应用，如与解析几何知识点的交汇综合； 2. 复数在高考中主要考查复数的四则运算、模、共轭复数及复数的几何意义等。 平面向量与复数作为上海高考的常规考点，需要通过系统梳理、针对性练习和易错点总结，才可高效掌握平面向量与复数的核心内容。 类型一：考查向量平行与垂直 👉知识点梳理： 设向量，，则 （1）（）或（）. （2）. 1．设，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则，则． 故答案为：. 2．已知点，，则向量的单位向量为 . 【答案】 【分析】首先求出，，即可求出向量的单位向量. 【详解】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 3．已知向量，，若，则实数m = 【答案】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 4．已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量夹角得向量垂直，再根据向量数量积坐标公式列式，解得即得结果. 【详解】由. 故答案为： 5．已知向量，若，则 ． 【答案】或1 【分析】利用向量垂直的坐标运算公式：即可求解. 【详解】， ，， ， ， 即，或. 故答案为：或1. 6．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 7．若向量，，且，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】由，，三点共线，向量， 得，即，解得. 故答案为：. 类型二：考查投影向量与数量投影 👉知识点梳理：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：， 其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. 【注意】区别“向量在非零向量方向上的投影”与“向量在非零向量方向上的投影”. 8．已知平面向量，，则在方向上的投影坐标为 . 【答案】 【分析】首先求出、，再根据在方向上的投影坐标为计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影坐标为. 故答案为： 9．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 10．已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以，即， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 11．已知，向量与的夹角为，向量在方向上的数量投影为 . 【答案】1 【分析】由投影数量的公式求解即可. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：1 12．点为圆上的一个动点，点，则在方向上的数量投影的最大值为 . 【答案】 【分析】设点，即可求出，，再由在方向上的数量投影为及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为点为圆上的一个动点， 所以设点，则, 又， 所以，， 所以在方向上的数量投影为， 又，所以在方向上的数量投影的取值范围为， 即在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为： 类型三：考查向量的数量积 👉知识点梳理： （1）定义法：向量与的数量积定义为，也就是在上的数量投影与的模长的乘积； （2）坐标法：. （3）基底法：选择基底，进行向量的分解； 二、填空题 13．已知向量 ，则 . 【答案】1 【分析】根据向量的坐标运算结合数量积运算计算求解. 【详解】因为向量 ，则 ， 所以. 故答案为：1. 14．已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则 ． 【答案】 【分析】由正三角形性质求出边长，再利用数量积的定义计算得解. 【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a， 则，解得，即，又， 所以 . 故答案为：    15．在中，是边的中点.若，，，则 . 【答案】 【分析】先由余弦定理计算出的余弦值，从而得到，的数量积，再根据平面向量基本定理将分解为，代入结合平面向量的计算即可求得答案. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 16．在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意可画出示意图，易知与的夹角的余弦值，结合二倍角公式可求得与夹角的余弦值为，再根据向量数量积的定义即可得. 【详解】根据题意可知如下图所示： 过点作轴的垂线交轴于一点， 由在上的投影向量为可得，且， 设与的夹角为， 所以， 又因为，所以， 由二倍角公式可得； 所以. 故答案为：. 17．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 18．在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果. 【详解】取PQ的中点N，则， 可得， ∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立， 故， 显然当时，取到最小值， ∴， 故. 故答案为：2. 类型四：考查向量的夹角 👉知识点梳理： 设向量，，则. 19．已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 . 【答案】/ 【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解. 【详解】因为与为单位向量，则，， 又， ， ，则， 又，所以与的夹角为. 故答案为：. 20．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 21．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 类型五：考查向量的模长 👉知识点梳理：（1）设向量，； （2）. （3） 22．已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 23．已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【分析】把两边平方可得，计算可求. 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 24．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由可得，进而可得，再结合即可得即可. 【详解】法一：因为，所以， 即， 又因为， 所以， 所以，解得， 故的最大值为4. 故答案为：4. 法二：，故的最大值为4. 25．在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】 如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 类型六：复数的基本概念及四则运算 👉知识点梳理： 1.基本概念： （1）虚数单位，满足. （2）复数的代数形式：（）. （3）复数的相等：（）的充要条件是同时为； 复数（）的充要条件是且. （4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是（即），虚部是（即）；虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数. （5） 复数的共轭：复数（）的共轭复数是. 2．复数的四则运算 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设 ； ． （2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设， .本质：化简分式. 26．复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 【答案】 【分析】设化简式子求得值即可. 【详解】设，则，即得，故z的虚部为. 故答案为： 27．复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据复数除法，化简，进而直接写出虚部即可. 【详解】，故其虚部为. 故答案为：. 28．为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 29．对于复数（i是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】先进行复数乘法运算，再根据共轭复数和虚部概念求解即可. 【详解】由题意，所以，则. 故答案为：. 30．复数，，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 31．已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法计算即可. 【详解】依题意，. 故答案为： 类型七：复数的模长 👉知识点梳理： （1）复数的模：复数（）的模是. （2）复数的模有如下性质：对、、， ，； ； ； （3）（复数的三角不等式）. 32．已知为虚数单位，复数满足，则= ． 【答案】 【分析】根据相等复数，结合模长公式，可得答案. 【详解】设，由， 则，即，所以. 故答案为：. 33．已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】由复数的除法运算结合模长计算即可. 【详解】. 故答案为：. 34．为虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】 【分析】由，即可求模长. 【详解】由题设. 故答案为： 35．若复数满足（其中是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据复数的四则运算法则求出复数，再求模即可． 【详解】已知， 则．将分子分母同时乘以的共轭进行化简， ，因为，所以． ． 故答案为： ． 36．已知复数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 类型八：复数的几何意义 👉知识点梳理： （1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴. （2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示. （3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模. （4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量. （5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即. 37．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是 . 【答案】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 因此，复数在复平面内对应的点的坐标是. 故答案为：. 38．若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第 象限． 【答案】四 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可利用复数的几何意义求解. 【详解】因为，所以在复平面内与复数对应的点Z为， 故复数对应的点Z位于第四象限． 故答案为：四 39．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 40．已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由模长运算，可得复数的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案. 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. 类型九：实系数一元二次方程 👉知识点梳理： 1. 给定方程（，），并令为其判别式，则 （1）当时，方程有两个不相等的实根； （2）当时，方程有两个相等的实根（二重根） （3）当时，方程有一对共轭虛根 2.当，韦达定理仍成立，且有 （1）； （2） 41．若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 42．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 平面向量与复数的综合练习 一、单选题 1．已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论. 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 4．设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】根据""与""互相推出的情况判断即可. 【详解】设，则， 若，取，则，所以， 所以不能推出； 若，则，所以， 所以，化简可得， 所以或， 所以或，所以成立，所以可以推出； 所以""是""的必要非充分条件. 故选：B. 5．若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先根据复数的除法化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：D. 6．已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A．若，则z为实数 B．若，则z为纯虚数 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】依题意由可知若可得，即A正确；若，可得，，即B正确；由可得，则z的取值有无数个；由可知，或，可得D正确. 【详解】由题意，设复数， 对于A，由，即，解得，所以复数z为实数，所以A正确； 对于B，复数，因为，可得，，所以复数z为纯虚数，所以B正确； 对于C，令，由整理得，则z的取值有无数个，所以C不正确； 对于D，由，可得，即， 解得或，所以，所以D正确. 故选：C. 7．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，据此可判断选项. 【详解】令，则，但，故“”不能推出“”. 设，由得， ， 故“”能推出“”. 综上得，是的必要非充分条件. 故选：B. 8．若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】B 【分析】设出复数z的代数形式，再求出对应点满足的关系判断得解. 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 9．已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    10．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，两边平方先求出可求出，，的值，从而可得答案. 【详解】因为，，且，所以， 所以，即，解得 又，， ， ， 所以， 故选：D. 二、填空题 11．i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可. 【详解】设，， 则， 由，得， 即， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内， 设，，则， 由，得， 整理得，， 则复数对应的点是直线上一点， 又， 所以表示点与点之间的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值. 【详解】 如图，建立直角坐标系，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为，因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数t，均有 ， 所以， 由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立， 则，即， 设又设，则， 整理得：，所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 显然距离最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 而点到直线的距离, 所以，即的最小值为3, 故答案为：3. 13．复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据双曲线的定义可得，再由数量积的运算律得到，求出的最小值，即可得解. 【详解】设，又， 即， 所以点在以、为焦点的双曲线的左支上，则， 不妨设， 则 ， 又，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.    故答案为： 14．帕拉图说“美是灵魂的反映”，有机物萘的结构可用下图所示的键线式表示，其优美的结构简式可抽象为两个正六边形的图形.已知与为全等的正六边形，，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】取线段的中点M，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围. 【详解】取线段的中点，则， ， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 由图形可知，当取最大值时，点在折线段上， 连接，则， 同理， 由正六边形的几何性质可知，， 所以，， 则三点共线，则，即， 当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大， 同理可知，， 当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大， 所以，当取最大值时，点在折线段上运动， 以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、、 、，设点， （1）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 则； （2）当点在线段上运动时，，，则， 所以，； （3）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 所以，， 因为函数在上单调递增， 故. 综上所述，的最大值为，故， 故的取值范围是.故答案为：. 试卷第20页，共28页 试卷第19页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$