专题1.3等式性质与不等式性质-2026年高考数学一轮复习专题讲练与重难点突破（新高考通用）

1.3 等式性质与不等式性质 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点: (1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 知识点2 作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点: (1)作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 知识点3 等式性质与不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 注意点: (1)若a>b>0,则0<<; 若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. 2.利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 满分技巧总结 1.不等式的性质的常见结论 （1）有关倒数的结论 ①； ②； ③； ④或. （2）糖水不等式（若） ①真分数的性质：；； ②假分数的性质：；. 2.比较两数（式）大小的方法 （1）作差法 （2）作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。 3.利用待定系数法求代数式的取值范围 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 典例·举一反三 考向一 不等式性质的应用 1．，下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考向二 比较代数式的大小 6．设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 7．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（    ） A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 9．若，则P，Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．由m的取值确定 10．若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 考向三 求代数式的取值范围 11．已知，则的取值范围是 ． 12．已知实数、满足，，则的取值范围为 ． 13．已知实数，则的取值范围是 ． 14．已知实数x，y满足，则的最大值为 . 15．已知，定义：表示不小于的最小整数．如，．若，则的取值范围是 ；若且，则的取值范围是 ． 考向四 不等式的压轴题 16．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（    ） A．路口 B．路口 C．路口 D．路口 17．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 19．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 20．记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 等式性质与不等式性质 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点: (1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 知识点2 作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点: (1)作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 知识点3 等式性质与不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 注意点: (1)若a>b>0,则0<<; 若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. 2.利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 满分技巧总结 1.不等式的性质的常见结论 （1）有关倒数的结论 ①； ②； ③； ④或. （2）糖水不等式（若） ①真分数的性质：；； ②假分数的性质：；. 2.比较两数（式）大小的方法 （1）作差法 （2）作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。 3.利用待定系数法求代数式的取值范围 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 典例·举一反三 考向一 不等式性质的应用 1．，下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，B，根据题意可得，当时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D，举反例说明. 【详解】因为为均不为零的实数，且， 所以， 对于A，由，当时，得，故A错误； 对于B，由，当时，得，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 4．已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据不等式的基本性质，可判定A、B正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定C错误，D正确. 【详解】由，，根据不等式的性质，可得，所以A是正确的； 由，，可得， 则，可得，所以B正确； 取，，则，从而，所以C错误； 由幂函数，在上是增函数， 则由，即得，则D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 5．已知，，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断A选项的正误；利用不等式的基本性质可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用幂函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由于，则指数函数为上的减函数， 又，，A选项错误； 对于B选项，由，，可得，B选项错误； 对于C选项，取，，，则， ，此时，C选项错误； 对于D选项，当时，则，幂函数为上的减函数， ，，即，即，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查了指数函数、幂函数的单调性以及不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于基础题. 考向二 比较代数式的大小 6．设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【详解】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 7．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（    ） A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 【答案】B 【分析】利用作差法求得代数式差值结果，整理化简，判断结果的正负，即可比较大小. 【详解】根据题意可得：p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p<q. 综上，p≤q. 故选：B. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系，属基础题. 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解. 【详解】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 9．若，则P，Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．由m的取值确定 【答案】C 【分析】平方作差即可比较出大小关系． 【详解】解： ，，所以，即 ，又，， ． 故选：． 【点睛】本题考查了数的大小比较方法、平方作差法、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 考向三 求代数式的取值范围 11．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，所以， 故答案为:. 12．已知实数、满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，，所以，， 由不等式的性质可得. 故答案为：. 13．已知实数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以 ，故 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．已知实数x，y满足，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】由题意， 又，∴，即， ∴的最大值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键． 15．已知，定义：表示不小于的最小整数．如，．若，则的取值范围是 ；若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据可得，解不等式可得结果；将不等式化为，分类讨论可知当时有符合题意的解集，由此可得结果. 【详解】由得：，解得：，即的取值范围为； 由得：，即， 当时，，则（舍）； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 依次类推可知，当时，不成立， 综上所述：，即的取值范围为. 故答案为：；． 考向四 不等式的压轴题 16．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（    ） A．路口 B．路口 C．路口 D．路口 【答案】B 【分析】根据给定图形，用表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，比较大小作答. 【详解】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为， ， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 显然，所以这个中转站最好设在路口. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可. 17．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为本题是选择题，所以可以用特值法排除错误的选项，进而得到正确答案. 【详解】因为，所以取， 则，，显然，故可排除选项A和B； 又，故可排除选项C. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：对特值成立的选项不一定是正确答案，但是对特值不成立的选项一定是错误答案.因此特值法往往和排除法结合在一起使用. 18．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”. 19．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 20．记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为 . 【答案】 【分析】根据最小值的定义可得答案. 【详解】，， 又得，可得，即， 当即时等号成立 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$