专题1.1集合-2026年高考数学一轮复习专题讲练与重难点突破（新高考通用）

2026一轮复习专题1.1 集合 内容导图预览 知识要点梳理 知识点1 集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 知识点2 集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 满分技巧总结 1.解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 2.集合参数问题注意点 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 3.集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 典例·举一反三 考向一 集合的概念及表示 1．下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 2．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 4．集合,则以下可以是的表达式的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 考向二 集合元素的特性及其应用 6．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 8．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形 9．a、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则 A．1 B．0 C．－1 D．±1 10．已知集合，且，则实数的值为 ． 考向三 集合的元素个数 11．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 12．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 14．已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 15．已知集合，，若，则实数 . 考向四 集合间的相互关系 16．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 18．已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 20．若集合，则（    ） A． B． C． D． 考向五 集合的子集问题 21．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 22．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 23．已知集合，则的真子集个数为（   ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 24．已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 25．设集合，，则（    ） A．集合的非空子集有4个 B．集合的非空子集有3个 C．集合的非空子集有4个 D．集合的非空子集有3个 考向六 已知集合间的关系求参数 26．已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（   ） A．{1，2} B．{1} C． D． 27．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 考向七 集合的基本运算（交并补） 31．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 32．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 33．已知集合，，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 34．已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 35．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考向八 根据集合运算求参数 36．已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 37．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．设集合，，，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．设集合， . (1)求; (2)从下面（1）（2）中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围. ①；②；③. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 考向九 Venn的认识与应用 41．已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 42．设全集，若集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 43．如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 44．向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 45．若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（    ） A． B． C． D． 考向十 集合的新定义问题 46．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 47．对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数时，下列说法正确的是（   ） A．集合的最长“链”的长度为 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合 D．集合的最长“链”的总数为 48．已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 49．设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 50．已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 考向十一 集合的常规解答题 51．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 52．已知集合，，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 53．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的值． 54．已知集合，，． (1)求，： (2)若，求实数m的取值范围． 55．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}． （1）求A∩B，(∁RB)∪A； （2）已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围． 考向十二 集合的新定义压轴题 56．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 57．已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 58．记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 59．已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. (1)当时，直接写出的“相邻元”； (2)当时，求证：是“好数”； (3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 60．记一个由实数构成的有行列的数表并称为阶数表（），表示数表中第行第列的数字.对于，，我们规定加法：.若对于，，我们就称为“均分数表”，为其“均分值”. (1)直接判断数表和是否为均分数表. (2)设是均分值相同的阶均分数表，均是某类阶均分数表的集合，其中中数表的均分值为0且有且仅有由某不固定的两行两列所交的四个数字非零；中数表的每行每列均有且仅有1个数字非零. （ⅰ）计算：，并证明：一定能通过加上有限个中的元素变为； （ⅱ）证明：一定能表为中有限个元素相加. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026一轮复习专题1.1 集合 未命名 考向一 集合的概念及表示 1．下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断. 【详解】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错； 对于②，若，当时，，故②错； 对于③，集合，只有一个元素，故③错； 对于④，集合是无限集，故④错； 综上，正确的命题有0个. 故选：D. 2．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，0是自然数，，故A错误； 对于B，不是有理数，，故B错误； 对于C，Z是整数集，Q是有理数集，Z是Q的子集，故C错误； 对于D，是方程的解集，，故D正确. 故选：D. 3．下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 4．集合,则以下可以是的表达式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本函数的导数，分别对各个选项对应的函数求导，再利用集合的互异性，即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以，不满足集合的互异性，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以，，，，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，所以选项D错误， 故选：C. 5．已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 【答案】5 【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和． 【详解】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 考向二 集合元素的特性及其应用 6．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 7．已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答. 【详解】集合，， 则当时，有，当时，或，当时，或， 所以，集合B有中5个元素. 故选：A 8．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形， 根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等， 以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形. 故选：C. 9．a、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则 A．1 B．0 C．－1 D．±1 【答案】A 【分析】由于映射把集合中的元素映射到集合中仍为，而和中都只有2个元素，可得，故有且，由此求得和的值，即可得到的值. 【详解】由于映射把集合中的元素映射到集合中仍为， 而和中都只有2个元素，故， 且， ， ，故选A. 【点睛】本题主要考查映射的定义以及集合相等的性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 10．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 考向三 集合的元素个数 11．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 12．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 13．已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】AB 【分析】通过对集合中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性. 【详解】当时，不满足集合元素的互异性，排除. 不妨设（效果一样），已知，则. 将其变形为关于的表达式： ，移项可得，进一步得到. 因为且，所以，那么. 由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾. 令，对求导，可得，所以在上是递增函数. 假设存在且，令，， 由的单调性可知，这与矛盾， 所以中至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 又因为，，，所以集合中可以同时存在，，.   综上，集合至多有个元素. ，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个. 故选：AB. 14．已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 【答案】/0.5 【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围. 【详解】由有4个子集，所以中有2个元素， 所以，所以 ， 所以满足，或， 综上，实数的取值范围为，或， 故答案为： 15．已知集合，，若，则实数 . 【答案】或 【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数. 【详解】由题知，， 因为，所以， 则当时，，而； 当时，(舍)或， 所以或. 故答案为：或 考向四 集合间的相互关系 16．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据补集运算和集合间关系判断. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 17．已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【分析】由集合，即可判断集合间的关系. 【详解】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C 18．已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，根据集合的运算以及集合的关系，判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得集合，则， ，则， 故，不是的真子集，，， 即ABD错误，C正确, 故选：C 19．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将集合用整倍数形式表示，分别求出和，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可. 【详解】依题意，，，， 则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误； 因，即，故D错误； 对于B项，任取，因，则，故B错误． 故选：A． 20．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确. 【详解】依题意可得，所以A、D均错误； 因为，所以中含无理数元素，故C错误； 集合中，当时，，所以,所以，所以B正确； 故选：B. 考向五 集合的子集问题 21．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由对数函数定义域求得集合，然后得到，由集合子集个数公式求得结果. 【详解】∵，即，∴， ∴，一共有3个元素， ∴的子集个数为. 故选：C. 22．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用集合子集个数公式可得结果. 【详解】因为， ， 由可得， 由于每个符合条件的集合都包含元素、， 所以，集合的个数即为集合的子集个数， 故集合的个数为. 故选：C. 23．已知集合，则的真子集个数为（   ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】数形结合，判断方程组解的个数，即中元素的个数，再根据集合中元素的个数确定其真子集的个数即可. 【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合， 集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合， 在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图： 观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点， 所以有3个元素，共有个真子集． 故选：C 24．已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C 25．设集合，，则（    ） A．集合的非空子集有4个 B．集合的非空子集有3个 C．集合的非空子集有4个 D．集合的非空子集有3个 【答案】D 【分析】根据题意，确定，中元素个数，从而得解. 【详解】由题意，集合中有无数个元素，故集合有无数个非空子集， 集合中有2个元素（易知直线与圆相交），故集合有个非空子集． 故选：D. 考向六 已知集合间的关系求参数 26．已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（   ） A．{1，2} B．{1} C． D． 【答案】C 【分析】对进行分类讨论，根据来求得正确答案. 【详解】当时，，满足. 当时，，由于且， 所以或. 综上所述，整数的取值构成的集合为. 故选：C 27．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再由可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意知，所以，解得：， 由可得：，解得：， 所以， 又，所以，所以解得， 即的取值范围是. 故选：A. 28．已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 29．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的性质求出集合，再由交集的结果求解即可； 【详解】由，所以， 因为，所以，即， 故选：D. 30．已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 考向七 集合的基本运算（交并补） 31．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据补集和交集运算即可. 【详解】或， ， ， . 故选：C. 32．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的值域，即集合，再根据集合的交并补运算即可确定选项. 【详解】当时，，即，则， 又，故. 故选：B. 33．已知集合，，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得和或，结合集合的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，解得，所以， 又由，解得或，所以或， 则，，且，， 故选：D. 34．已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 【答案】BCD 【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解. 【详解】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于B，由于，所以，B 选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B， 若，当时， 此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，因为，又，所以，D选项正确； 故选：BCD. 35．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 考向八 根据集合运算求参数 36．已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，即可求解 【详解】等价于， 当时，，此时，符合； 当时，，因为，故或，即或． 所以符合条件的实数组成的集合是． 故选：D 37．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求集合，再求，由有，根据集合的基本关系即可求解. 【详解】有或， 所以，， 由有， 所以，即. 故选：A. 38．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 39．设集合，，，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据列不等式组，由此化简求得的最小值. 【详解】、， 由于， 所以，， 所以，即的最小值为. 故选：C 40．设集合， . (1)求; (2)从下面（1）（2）中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围. ①；②；③. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）解不等式结合集合的运算计算即可； （2）结合所选条件判定集合间的关系，注意分类讨论解含参不等式一一计算即可. 【详解】（1）由，得， 由，即， 所以； （2）因为的两根分别为， 若选择①，由（1）得，，故. 当，即时，，满足题意； 当，即时，， 由，得，解得，所以； 当，即时，，不满足. 综上可知，实数的取值范围为. 若选择②，由（1）得，，故， 当，即时，，满足题意; 当，即时，， 由，得，解得，所以; 当，即时，， 由，得，解得，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 若选择③，由（1）得， 当，即时，，满足题意； 当，即时，，此时成立， 满足题意，所以； 当，即时，，显然不满足. 综上可知，实数的取值范围为. 考向九 Venn的认识与应用 41．已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求集合，再根据两个集合的元素，确定集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】由条件可知，，，则. 故选：B 42．设全集，若集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求集合，再根据韦恩图，表示. 【详解】不等式，得，故集合， 或，， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：B. 43．如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 44．向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 【答案】B 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 45．若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可知：集合N是集合M的真子集.对于A：根据包含关系分析判断即可；对于B：根据一元二次不等式求集合M，进而判断M，N之间的关系；对于C：根据对数函数定义域求集合M，根据指数函数以及基本不等式求集合N，进而判断M，N之间的关系；对于D：分析可知，进而判断M，N之间的关系. 【详解】由题意可知：集合N是集合M的真子集， 对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确； 对于选项B：因为， 可知集合M是集合N的真子集，故B错误； 对于选项C：因为， 且，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 可知集合N是集合M的真子集，故C正确； 对于选项D：因为， 可知集合N是集合M的真子集，故D正确； 故选：ACD. 考向十 集合的新定义问题 46．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 47．对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数时，下列说法正确的是（   ） A．集合的最长“链”的长度为 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合 D．集合的最长“链”的总数为 【答案】AD 【分析】A选项，设，推出最长“链”需满足，且中元素比中元素多1，从而集合的最长“链”的长度为；BC选项，举出反例即可；D选项，由A选项值，的最长“链”的长度为，中共有个元素，有种选择，故总数为，D正确. 【详解】A选项，设， 两两不同的子集，满足， 故中的元素要至少比多一个元素， 要想集合的一条“链”为最长“链”，需满足，且中元素比中元素多1， 所以， 故集合的最长“链”的长度为，A正确； B选项，不妨设，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B错误； C选项，当时，不妨设，，上面两个均为两条长为4的“链”，不具有相同集合，C错误； D选项，由A选项值，的最长“链”的长度为， 其中有种选择，有种选择，以此类推， 中共有个元素，有种选择， 综上，的最长“链”的总数为，D正确. 故选：AD 48．已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 【答案】AD 【分析】根据分集的定义，利用基本不等式、求解一元二次不等式及利用不等式求取值范围等逐一判断即可. 【详解】由得，当且仅当时等号成立. 即 对于A， 当时，则，又，故，故A正确； 对于B，时，，不符合，故B不正确； 对于C， 当时，，所以，故C不正确； 对于D，当时，， 又，所以，解得，.故D正确. 故选：AD. 49．设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 50．已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 考向十一 集合的常规解答题 51．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交集，可得答案； （2）利用分类讨论，分集合是否为空集，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）当时，易得，，. （2）若，即时，，满足. 若，即时，要使，只需或，解得或. 综上所述，的取值范围为. 52．已知集合，，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得到集合，解不等式得到集合，从而得到集合，再由集合的交集运算即可求解； （2）可知，再由空集的定义得到，即可解得的取值范围. 【详解】（1）将代入集合中的不等式得：， ∵，则， ∴，. （2）∵，， 因为，所以不是空集， 又因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 53．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1). (2)m=或1. 【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解. （2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解. 【详解】（1）由，知． ①当时，，解得； ②当时，有，解得． 所以实数m的取值范围为． （2）因为，，，且，则 ①当时，有，解得， 则，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 54．已知集合，，． (1)求，： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）等价于，按和讨论，分别列出不等式，解出实数m的取值范围． 【详解】（1）∵集合，， ∴；. （2）因为，所以， 当时，则，即； 当时，则，解得； 综上，实数m的取值范围为. 55．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}． （1）求A∩B，(∁RB)∪A； （2）已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x<6}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；（2）{a|2≤a≤8}． 【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义即可求解； （2）因为C⊆B，所以借助数轴列出不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】解:（1）因为集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}， 所以A∩B＝{x|3≤x<6}，∁RB＝{x|x≤2或x≥9}， 所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}； （2）因为C⊆B，如图所示，则有，解得2≤a≤8， 所以a的取值范围为{a|2≤a≤8}． 考向十二 集合的新定义压轴题 56．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 57．已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 【答案】(1)无 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）方法一：写出集合及其所有三元子集，逐一检验每个子集是否满足条件即可； 方法二：证明集合存在“幸福集”的必要条件为，得出结论即可； （2）方法一：先确定和各应满足的范围，然后根据范围穷举，找到所有的三元“幸福集”； 方法二：写出三元“幸福集”的一般特征，由（1）给赋值，根据一一列举即可； （3）给集合中的元素排序，利用反证法，假设集合没有“幸福集”，推出矛盾，进而证明原命题成立. 【详解】（1）方法一： 当时，，由，得或或或， 逐一比较与的大小，都不满足，所以集合无“幸福集”. 方法二： 设（，且）为集合的一个三元“幸福集”， 则，，，由，得，所以， 当时，的最小值为4，即集合中的最大元素与最小元素之差至少是4. 因为，且集合， 因此集合中至少要有5个元素（提示：集合中的元素是连续自然数），即，即. 由上述结论可知，当时，集合无“幸福集”. （2）方法一： 当时，，若存在，使得， 则，所以（当，时取等号），，则，， ①若，则，，所以或， 当时，为奇数且，故只能取7，而时，，与矛盾； 当时，为偶数且，故只能取8，而时，，与矛盾. ②若，则，，当时，无解； 当时，无解；当时，，故， 从而得到了一个集合，为. ③若，则，， 当时，无解；当时，无解；当时，，故或， 从而得到了两个集合，为，. ④若，则，，当时，，故， 从而得到了一个集合，为； 当时，，故，从而得到了三个集合，为，，. ⑤若，则，， 此时，，故，从而得到了四个集合，为，，，. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. 方法二： 由（1）中的证明过程可知，集合的三元“幸福集”为（，且）， 当时，， ①当，时，可取4，5，6，7，则集合的三元“幸福集”为，，，； ②当，时，，则集合的三元“幸福集”为； ③当，时，可取4，5，6，则集合的三元“幸福集”为，，； ④当，时，可取4，5，则集合的三元“幸福集”为，； ⑤当，时，，则集合的三元“幸福集”为. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. （3）当时，若集合中的元素个数为， 设集合且. 利用反证法，假设集合没有“幸福集”， 即对于集合中任意三个元素，均有， 则，， 记，于是， 所以, 又， 所以， 与矛盾， 所以假设不成立，从而集合必有“幸福集”. 58．记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 【答案】(1)所有可能值为：，，，，，. (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意分类讨论写出集合，，求出相应的即可； （2）首先计算时，的最小值为0，然后依次讨论当，，时，相应的的最小值即可得出答案； （3）首先证明与的奇偶性相同，然后用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足，即可得出证明. 【详解】（1）若，由于，的对称性，只需考虑以下情况： ，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，. 所以的所有可能值为：，，，，，. （2）首先计算时： 令，， 观察可知，，且集合，均有项，且这首尾相加为， 所以，所以，即此时的最小值为0. 对于其它情况： 当时，由为奇数， 由（1）知为奇数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，， 可知，即此时最小值为1； 当时，为奇数，为奇数.考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足， 现令，，可知，即此时最小值为1； 当时，为偶数，为偶数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，，可知，即此时最小值为0. 综上所述可知当或时，， 或时，. （3）首先证明与的奇偶性相同： 由题意知 所以，因为是偶数，所以对于任意的，，与的奇偶性相同. 下面用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足. 当或时，由（2）可知存在，满足， 假设时成立（为小于且与其奇偶性相同自然数）， 即此时存在，满足，由于，不妨令，若此时，则可令，），那么， 即说明时命题成立， 若此时，必存在正整数满足且（否则有，， 此时有），令，， 此时，满足：，即时命题立，由归纳法可知命题成立. 当时，令，，，综上所述命题成立. 59．已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. (1)当时，直接写出的“相邻元”； (2)当时，求证：是“好数”； (3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果. （2）利用定义证明集合中至少有8个“相邻元”，即可证明结论. （3）先求出当时，共有： 其次证明对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”. 最后证明不能在中均有“相邻元”，.即可证明结论. 【详解】（1）的“相邻元”为：. （2）因为，所以. 设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”. 设，构造， 则集合中的元素个数为. 对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个， 满足， 从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”. （3）设，且，且. ①当时， 集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”. 设，则中含有个元素. 设. 则中含有个元素，.并且两两交集为空集， 设，则共有： ②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”. 下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”. 由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同. 设与不同位置为，即；与不同位置为，即. 当相同时，又中与差为1的只有一个数，则. 当时，， 所以在每一个中，至多有一个“相邻元”. ③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论： 元素中第都是中元素. 中第都是中元素. 故中至少有3个元素属于不同的和. 所以不存在，均是的“相邻元”. 由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故： 是“好数”. 【点睛】集合新定义问题常见的求解方法： （1）理解定义： 仔细阅读题目中给出的新定义，明确其内涵和外延。特别注意定义的 关键条件、限制和运算规则等，确保准确理解新定义的含义。 （2）列举法： 对于一些有限集合或元素个数较少的集合，可以通过列举出集合中的所有 元素，然后根据新定义进行分析和计算。 （3）性质分析法： 分析新定义所具有的性质，如对称性、传递性、封闭性等。利用这些 性质来简化问题的求解过程，或者通过判断集合元素是否满足这些性质来确定集合的特征。 （4）转化法： 将新定义问题转化为熟悉的集合问题或其他数学问题。例如，将新定义的 运算转化为常规的集合运算，或者将集合元素的条件转化为方程、不等式等进行求解。 （5）特殊值法：对于一些抽象的集合新定义问题，可以通过选取特殊值来进行分析和验 证。选取一些满足条件的特殊元素代入新定义中，观察其规律和结果，从而推测出一般情 况下的结论。 （6）反证法：当直接证明某个结论比较困难时，可以考虑使用反证法。假设结论不成立， 然后根据新定义和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。 60．记一个由实数构成的有行列的数表并称为阶数表（），表示数表中第行第列的数字.对于，，我们规定加法：.若对于，，我们就称为“均分数表”，为其“均分值”. (1)直接判断数表和是否为均分数表. (2)设是均分值相同的阶均分数表，均是某类阶均分数表的集合，其中中数表的均分值为0且有且仅有由某不固定的两行两列所交的四个数字非零；中数表的每行每列均有且仅有1个数字非零. （ⅰ）计算：，并证明：一定能通过加上有限个中的元素变为； （ⅱ）证明：一定能表为中有限个元素相加. 【答案】(1)是均分数表，不是均分数表，理由见解析 (2)（ⅰ），证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）中，A为均分数表；而中，不是均分数表； （2）（ⅰ）利用定义进行加法法则得到，先加上一系列数表，把第1行元素变为中对应元素，再按照同样的操作则可使前行元素均变为对应元素，再按照，，最后一行元素也变形完成： （ⅱ）设的均分值为，分为奇数和为偶数，两种情况来构造序列，以奇数为例，通过变形得到一个阶数表，这个数表的某一行（列）的数字均不相同，且其为均分值是的均分数表，这个数表中任取各行（列）中相同的元素构成数表则，于是可以分成个中元素相加，并举例说明. 【详解】（1）是均分数表，不是均分数表，理由如下： 中，故为均分数表， 中，两者不等，故不为均分数表； （2）（ⅰ）原式= ； 证明：设：按次序依次加上， ，...，， 易知这些加上的元素均属于， 此时：第1行的前个元素已变为中对应元素， 而， 可知此时同时第1行最后一个元素也变为中对应元素， 对第2至第行进行同样的操作则可使前行元素均变为对应元素， 下面说明此时最后一行元素也变形完成： . ， 所以加上有限个中元素后可以使变为； （ⅱ）设的均分值为， 若为奇数，则构造序列：，，，...，，，...，； 若为偶数，则构造序列：，，...，，，...，. 以奇数为例，这个序列中有个数作为数表的第1行，将最后一个数置于首位， 其他位次不变，依次向后移一个单位做第2行，以此类推，得到一个阶数表， 这个数表的某一行（列）的数字均不相同，且其为均分值是的均分数表， 这个数表中任取各行（列）中相同的元素构成数表则， 于是可以分成个中元素相加， 例如：. 设，，， 从中删除第行与第列得到一个阶数表， 令其某一对角线上的元素均为， 再令后将行与列插入回去得到数表， 令同一对角线上元素为， 再令后将行与列插入回去得到数表，此时， 所以任意一个中的元素都可以表为两个中的元素相加， 例如：，考虑到非零数字出现在第2、4行与第2、5列， 故删去这些行列，然后令： 第1列 第3列 第4列 第1行 -1 0 0 第3行 0 -1 0 第5行 0 0 -1 再将删去行列的1变为0后添回去即得：， 同理，将中的变为得到，此时. 而由（ⅰ）得：加上若干个中的元素可变为，又可以写成若干中的元素相加， 所以可以写成有限个元素相加，而每一个中的元素又可以表为2个中元素相加， 所以可以表为有限个中元素相加. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$