福建省厦门市2025届高三下学期第四次质量检测数学试题

厦门市2025届高三毕业班第四次质量检测参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 1-4:BACD 5-8:CCBB 8.解析：B=(O,1),则A∩B=g等价于e<aNF在(0,1)上无解，即x∈(0,1)时，e≥aF恒成立， 所以≤会，设)=· 2F-1 4x-少e,可得A()在0，月单调递减。 2xVx 在日+树单调递增，所以么（创=h目-26，所以≤26. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.BC 10.BCD 11.ACD 1 1,解析：若a=,则a=,a=48=8,因为a.<0,所以S≤a力 2 又因为 4=中宁，鸟=官宁所以不存在正整数，使得4<8<a:所以{司 不是“可分等比数 列”，所以选项A正确： 若a)则==景所以8= 15 a,当2≥2时，S≥a+4=4>a,所以 不存在正整数，使得a≤<4，所以《} 不是“可分等比数列”，所以选项B错误： 若a,<0,则有S≤a<a<a,所以不存在正整数m,使得a≤S<a,所以a>0, 因为{a.}是递增等比数列，所以g>1,a>0,所以S>a 因为a≤S<a,所以m<n+l,即m≤n. 下证：对任意n∈N”,当且仅当m=n时，a≤S<a 反证法：假设存在正整数n,使得当m≤n-1时，a,≤S。<a,取满足条件的最小正整数n。,此时有 m≤m,-l,使得a≤S。<a且a≤S<a,则a≤S<a≤S.,即S.>S,即m>m-1 与m≤儿。-1矛盾， 所以对任意neN,当且仅当m=n时，a.≤S。<a,所以选项C正确： 下证：9≥2. 由上可知m=I,即a.≤S<a恒成立，只需S。<a1,即g°<g(g-)+1恒成立， ①当9≥2时，因为9(9-1)+1-q=g(9-2)+1>0恒成立，所以9≥2符合要求： 1 ②当1<g<2时，因为g（g-+1-9=4g-2)+1,当n>1oe(2-g时，99-2)+1K-1+1=0, 不符合题设要求.综上，q≥2，所以选项D正确！ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.8 13.18 14. 3 14.解析：设P(x,y),依题意得y-2=P4=√R+y+4,化简可得x=4y, 设P引 则tan∠P 当且仅当 8=x,即x=25时取等， 所以sin∠PTo≤ 3 高三数学 第1页（共8页） 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：解法1： (1)因为m1i,所以mi=0,即asinC+c(N5cosA-V月=0，…1分 由正弦定理得，sinAsinC+sinC(W5cosA-V5)=0, 因为0<C<π，所以sinC>0,所以sinA+5cosA=5,…3分 即sinA+ ,π）_5 3/ …4分 2 又0<4，所以肾4+号智 3 (没有角的范围扣1分】 所以4种骨吾，所以A=是 …6分 2)因为a=2,4=号 由余弦定理得2=b+C2-bC,即（仍+c)-3bc=4,…8分 所以6+o-43到生9 …10分 整理得(b+c≤16，即b+c≤4， 当且仅当b=c=2取等，（没有写取等条件扣1分…12分 所以△ABC周长最大值为6。………13分 解法2： (1)因为m⊥i,所以mi=0,即asinC+c(N5cosA-V月)=0， 由正弦定理得，sinAsinC+sinC5cosA-V)=0, 因为0<C<π，所以sinC>0,所以sinA+5cosA=5,…3分 又sin2A+cos2A=1,即31-cosA)+cos2A=1,… …4分 所以cosA=号或c0sA=l,又0<A<元， …6分 2 所以A=交 3 (2)由正弦定理a b 万咖B,c= 4 4 上i加Asi加BmC,得b= 万8nC,…………8分 所以△4BC周长1=a+b+c +(sin B+sin C) 2*4 sm(2-c+sic s …9分 43 2+万2sinc*3 2 =2+4sc+ …1分 6 所以≤6， 当C+名受即C-时取等，设有写取等条件扣1分 所以△4BC周长的最大值为6，……13分 16.解法1： (1)由题意得，∫(x)的定义域为(0，o), …1分 f()=x-a-2)-29 …2分 =r-(a-2x-2a 高三数李 第2页（共8页） =x-ax+2) …3分 ①当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+)单调递增， …5分 ②当a>0时，当0<x<a时，f'(x)<0,当x>a时，f'(x)>0 所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o∞)单调递增. 综上，当a≤0时，∫(x)在(0，+∞)单调递增： 当a>0时，∫(x)在(0，@）单调递减，在(a,∞)单调递增.…7分 (2)由(1)得，当a>0时，f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o)单调递增， 所以)的最小值为/o)-女-al-2小-2ana=-女+2a-2aha,…8分 欲证明f≥na-d+号只需证-女+2a-2加血≥a-g+号， 即证0+2a-(a+ha-30, …9分 设ao-+2a-(a+咖a-多，ael0网. 8(a)=a+2-2na-2a+1=a 1=a-1-2ha, …10分 a 设4o)-a-2na,ae@+树， o:片子s0,所双在网单8. …12分 又h(0)=0,…l3分 所以当a∈(0,1)时，h(a)<0,g'(a)<0,g(a)单调递减， 当a∈(L+o∞)时，h(a)>0,g(a)>0,g(a)单调递增， 所以8(o≥g0=0,即女+2a-(a+ha-3≥0， 所以f()≥ha-a+克 2 ……15分 解法2：(1)同解法1： (2)由(1)得，当a>0时，∫(x)在(0，a)单调递减，在(a,+∞)单调递增， 所以代的最小值为o-0-ala-2小-2alna=0+2a-2aha, …8分 欲证明/儿倒≥na-g+务只需证-女+2a-2a血≥ha-a+ 2 证02+2a-(2a+ha-0, …9分 因为2+10，只香E站司-h0, 设8(@=gt4a-三-lha,ae(0,+o), 11分 o片0 …13分 当ae(0,1)时，g'(a)<0,g(a)单调递减，当ae(,+o时，g'(a)>0,g(a)单调递增， 所以&o2≥e0=0,即吃女+2a-a+ha-吾0， 所以f≥na-a2+ …15分 高三数学 第3页（共8页） 17.解法1： (1)取CD中点M,连接FM.因为△CDF是正三角形，所以FM⊥CD, 又因为平面CDF⊥平面ABCD,平面CDF∩平面ABCD=CD,FMC平面CDF, 所以FM⊥平面ABCD,……2分 因为AE⊥平面ABCD,所以AE∥FM,… …3分 又因为FMc平面CDF,AE立平面CDF(未写扣1分)，所以AE∥平面CDF.…4分 因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD. 又因为ABE平面CDF,CDC平面CDF,所以AB∥平面CDF, 又因为AB∩AE=A,ABc平面ABE,AEc平面ABE,所以平面ABE∥平面CDF.+6分 因为DFC平面CDF,所以DF∥平面ABE.…7分 (若直接由线线平行到而而平行扣2分) (2)因为AEFM且FM=√3≠AE,所以四边形AMFE为梯形，延长EF交AM的延长线于G. AMc平面ABCD,所以G∈平面ABCD.… …8分 以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),M(1,2,0),E0,0,25,DC=(2,0,0),ED=(0,2,-2W5, BE=(-2,0,2N5), …9分 设平面ECD的法向量为=(x,y,) 则 m·DC=0n2x=0 D=0即以-252=0令名=1可得瓦-0，， ……10分 设AN=元AM,1∈R,则B脉=BA+A=BA+AM=(1-2,2,0), 设平面EBW的法向量为n=(x,,3), 则 元B距=0元·BE=-2x+252,=0 即 丽=0'口Bm=(-2x+2y=0 令3，=21，可得m,=(25,25-5,2, …12分 则os,风产 l6-31+2 6-刘 阿2.2z+5-+42.i9r-2+ 7=c0s60°= 2 …13分 解得1=±25 …14分 4-5.2 …15分 解法2 (I)取CD中点M,连接FM.因为△CDF是正三角形，所以FM⊥CD, 又因为平面CDF⊥平面ABCD,平面CDF∩平面ABCD=CD,FMc平面CDF, 所以FM⊥平面ABCD,… …2分 以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x，,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D(0,2,0),F,2,5,E0,0,25),DF=1,0, ……3分 取平面ABE的法向量为n=(0,1,0), …4分 DF,n=0,即DF⊥n,… …5分 又DF工平面ABE（此条件未写扣2分)，故DF∥平面ABE. 7分 (2)同解法1 解法3： (I)因为△CDF是正三角形，设M为CD中点，所以FM⊥CD,FM=√3 又因为平面CDF⊥平面ABCD,平面CDF∩平面ABCD=CD,FMc平面CDF, 所以FM⊥平面ABCD,…2分 因为AE⊥平面ABCD,所以AE∥FM. 高三数学 第4页（共8页） 设Q为AB中点，P为EB中点，所以PQ//AE,PQ=√5 所以PFM,所以四边形PMF为平行四边形.… ……4分 所以PFOM业AD,所以四边形ADFP为平行四边形. 所以DF∥AP,… …5分 又因为APc平面ABE,DF位平面ABE(此条件不写扣1分) 所以DF∥平面ABE.… …7分 (若默认BP//CF得到DF∥AP扣4分) (2)同解法1. 18.解法1： 1)由题c2=a-b=le==5 2分 所以a2=3,b=2, 所以E的方程为亏+号1. 4分 (2)(i)设直线AB的方程为x=y+3,A(x,),B(x,), 联立 +号-1海r+3p+2g+12-0. x=my+3 △=(12m)-48(2m2+3)=48(m2-3>0,得m2>3, 12m 12 y+y=- 2m+342r+3' …6分 若BF⊥x轴， 则，±2 3 此时AB的斜率=士5， 即m2=3(不合题意)， 3 所以AF,BF的斜率均存在， k加+k=片+及-生-+(G-L_2my+2y+2丝 x-1x-1(x-1(x-) (x-1(3-1) …8分 12m-12m=0, 又my以+y+4=2mr+32m+3 ……9分 所以kF+k=O,即k。+k=0, 又因为B,C均在椭圆上， 如图，由椭圆对称性可知FB=FC,即△FBC为等腰三角形. …10分 (i)设4B的中点为N(,),则人=上+丛=-，6m 2 2m+3'七=%+3= 9 2m2+3 9 所以N 6m） 2m+32m2+3 …11分 6m 所以AB的垂直平分线为y+2m+3-m 9 2m2+3 …() 3 3 将y=0代入方程0)得x2m+3所以M 2m+30 …12分 △4c的面限s-wr版+小-2b2是b。 3‖12m12m …14分 设0 122 (22+3,1=m>5, f0=12x2r+3-82r+3y.12r9-2r） (2r+3) (2r+3 高三数学 第5页（共8页） 当5<1<5时，0>0，当>35时，了0<0， 2 2 所在69） 单调递增，在 32 单调递减，…16分 所以当！=3正时，了间取得最大值了 32 9W2 2 16 所以△MMC面积的最大值为y2 …17分 16 解法2： (1)同解法1： (2)(i)设直线AB的方程为x=mw+3,A(x,),B(x,), x=my+3 联立号+=1得(2m+3y+12m+12=0, 2 △=(12m°-48(2m+3)=48(m-3)>0,得m2>3, 12m 12 片+y=2m+34=2m+3 …6分 设8(5，-男)，则直线4B的方程为y-男=十(-x)…0…7分 X-X, 将y=0代入方程)得x=x--L=出+丛=2m业+3=， 以+片只+为y+为 所以A,F,B三点共线，即B与C重合，…9分 由椭圆对称性可知FB=FC,即△FBC为等腰三角形. …10分 (ii)同解法1： 解法3： (1)同解法1： (2)()设直线AC的方程为x=w+1,A(5,y),C(5,),则m= y [x=y+1 联立 x 整理得(2n2+3)y2+4y-4=0, △>0，%+y= 4 2m+34=-2m+31 …6分 4 = 所以(2m+3)严 4y 整理得八= 206-1+3r23 …7分 设直线B的方程为x=网+3，A(,y),B(,y),则m=3 x=my+3 12 联立x+芝得2m+3y+2m+2=0,+y2+3%2m+37 3 2 12 所以为= 12y12y= (2m+3y2(x-3+3x24-12x2-x' 所以2+以=0 …9分 由椭圆对称性可知FB=FC,即△FBC为等腰三角形. …10分 (i)设4C的中点为K(,%),则y=+丛=-，2” 2 2m+3’=%,+1=。3 2㎡2+3 高三数学第6页（共8页） 32n 所以K2n+32m+3》" …11分 所以4C的垂直平分线为y+ 2n2=-川x-2m+3) 3 …( n2+3 将y=0代入方0调x=3所以M(小 1 …12分 所以△AMC的面积 9--州要队可 …14分 2m+3(2m+3 令t=√层+1，则m=r-1,S= 45 (2r+) 令80=4VB (2r+,>1, g0-43r(r-e+p].4rE-29 (2r+1) (2r+1 所11<9时，0>0，当r>5时，g00, 所：0 上单调递增，在 6 上单调递减， …16分 所以当1=5时，g利取得最大值8 2 216 所以△AMC面积的最大值为 …17分 16 19.解：(1)X,=4表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球， 即P化=到=子-安 …2分 X=5表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，第5次才摸出最后一个编号的球， 第5次才摸出第三个编号的球，则前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次， 则P(K=列=3×2-24 3581 …4分 (另解：以第二个编号球第一次出现的位置分类，如若出现在第2个位置，则第3、4两个位置不出 现最后一个编号球即可，先确定第一个位置和最后一个位置球的编号，共有心种，则此类情况有 4-2=24种，则P(x=5=×2+2+2型-14) 3 81 (2)依题意可得：X=2,3,4,5,,m… 则P化=刘=兴克， 6分 所以()-2会)一) 7分 2m4 + 23 2 2, 尚号教单。第7题（共8夏） 3m+2 22 20 2 20 所以S=3-m+2 2 …9分 所以()=2()回(3-3 10分 (3)设随机变量表示，恰好记录了-1个不同的编号下，继续摸球直到记录到第i个新的编号所需 要的摸球次数，则X.=之气，其中1=12，n, …11分 则P5=刻-=（月(-月k=23 …12分 --》--分门 设-门)ヅ+2++m。 丹=x+2月++a-月+m侣ヅ 作差可得： 沙县 所以E(5)=上 款圆 13分 所以E(x)-空-空()-2-南即E(x)=+t…+月 …15分 令)=-h(+,了)杀当x>0时，了>0，所以因在(Q+回)单调造增， 所以/得)fo=0,片：月n-hn(a+-h 16分 所以1+…+分>h2-hl+h3-ln2+…+lh(e+-h回-=h(a+. …17分 【说明】随着录得的编号的个数1从1增加到n,摸球总次数也在不断增加。将摸球试验按照记录得 到的不同编号的个数i分成”个环节（小试验），每一个环节中相应的5即为当且仅当录得一个新的 编号时所需摸球次数，则X,=工气，且5均服从几何分布，即在大试验的第i个环节中，在当已经记 录了i-1个编号后，继续开始摸球，直到出现一个新的编号时，若摸球次数为k,则前k-1次均录得 旧编号，且每次摸球成功的瓶率为A=丹，而第k次录得新编号的概率为21- .则 n n P=-（(-124则可得(）-0-p中 卫n-i+,则 (x)=2动-2)=1+片+…+》厦门市2025届高三毕业班第四次质量检测 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.复数：=2则：的虚部为 A-方 B号 c号 D.1 2.已知双曲线C的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,若△A,A,B为直角三角形，则C的离 心率为 A.√2 B.5 C.2 D.5 3.在(1+2x)的展开式中各二项式系数的和为32，则x的系数为 A.10 B.40 C.80 D.120 4.以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的 体积为 A.T B受 c骨 D 5.在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,AD=2,CD=1,∠DAB=60°，则ACAB= A.4 B.6 C.8 D.12 6.厦门某会场座位共有20排，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座 位.现有一个200人的代表团来该会场参加会议，主办方需预留前n排座位给该代表团， 则n的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 7.已知函数f(x)=sim(ax+p)(u>0,0<9<罗)的部分图象如下，将△A0B沿0B翻折至 △A'0B,使得二面角A'-0B-C为120.若1A'C1= 2 2,则w= B A.2 c.1 D.T 高三数学试题第1页（共4页） 8.已知集合A={xe2x<a},B={xx2-x<0},若AnB=0,则a的取值范围是 A.（-∞，2] B.(-∞，2e] C.(-∞，4] D.(-o,e2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如下图所示，则 甲、乙得分折线图 40 3 得 22 20 16 10 10 0 2 3 比赛场次 ▲甲 -■-乙 A.甲得分的极差大于乙得分的极差 B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差 10.如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD-A'B'CD',下面部分可视为正四棱锥 P-ABCD,O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则 D ⊙ A.A'O⊥AB B.A'O∥平面APD C.平面AA'P⊥平面BDP D.CC与A'P为相交直线 11.已知{an}是首项为a1,公比为g的递增等比数列，其前n项和为S。.若对任意的n∈N·,总 存在meN”,使得a,≤S<a1,则称{a}是“可分等比数列”，则 A{-是不是“可分等比数列” B.{(侵)}是可分等比数列 C.若{a,}是“可分等比数列”，则m=nD.若{an}是“可分等比数列”，则g≥2 高三数学试题第2页（共4页）》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)={ ,x≤0：若fa)+(-10=2,则a=▲ logz,x>0. 13.A,B,C,D四个人排成一排，当A,B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有 ▲种 14.已知直线1：y-2=0与圆0：x2+y2=4相切于点T,A是圆0上一动点，点P满足P0⊥0A, 且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则in∠PTO的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(inC,N5cosA-3),n=(a,c), 且m⊥n. (1)求A; (2)若a=2,求△ABC周长的最大值 16.(15分) 已知函数fe)=之-(a-2x-2alnr,aeR (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a>0时，证明：fx)≥na-a2+ 17.(15分) 如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD,平面CDF⊥平面ABCD,四边形ABCD是 正方形，△CDF是正三角形，AB=2,AE=25. (1)证明：DF∥平面ABE; (2)若直线EF与底面ABCD的交点为G,直线AG上是否存在点N,使得平面EBN与 平面ECD的夹角为60？若存在，求AN的长；若不存在，请说明理由 高三数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知椭圆E:专+￥@>b>0)的右焦点为rL,0),离心率为2 3 (1)求E的方程； (2)过点T(3,0)且不垂直于y轴的直线与E交于A,B两点，直线AF与E交于点C(异于A). (i)证明：△FBC为等腰三角形； (i)若点M是△ABC的外心，求△AMC面积的最大值 19.(17分) 在一个不透明的口袋中装有大小形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为1,2,3，…，n. 每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球记总的摸 球次数为X。,其期望为E(X): (1)求P(X2=4)与P(X3=5): (2)求E(X2); (3)证明：E(X.)>nln(n+1). 附：①若随机变量X的可能取值为1,2,3，…，n,…, E(X)=(k-P(X=k))=lim (k-P(X=k)); ②若随机变量X=,则E(X)=E(传：) 高三数学试题第4页（共4页）