精品解析：重庆市长寿川维中学校2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春期川维中学教育集团联合考试九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大数是（　　） A. 0 B. 2 C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 如图，与是点为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 估算的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（ ） A. 245 B. 246 C. 254 D. 255 8. 如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题:(本大题6个小题，每小题5分，共30分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：______． 12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________． 13. 如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______． 14. 若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为___________． 15. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是________；的长度是________． 16. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点和，连接和（不写做法，保留作图痕迹）； （2）已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，．和于点，和，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：， ___________①___________ 垂直平分， 且___________②___________ 在和中， ___________③________ 四边形是平行四边形 ___________④___________， 四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形___________⑤___________． 19. 年初，DeepSeek以黑马姿态横空出世，在世界范围内引起轩然大波．近期某校举办了关于DeepSeek的科普知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名同学的成绩在C组的数据为：82，83，83，84，85，86；A组的数据为：96． 八年级20名同学的成绩为：79，79，79，79，80，80，81，81，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，92． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.05 a 77 八年级 82.05 81 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有多少人？ 20. 2025年春节，随着《哪吒2》电彩的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元． （1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？ （2）由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？ 21. 在矩形中，，，P是上一点，连接，过点P作交于点Q．设（点P不与A，C重合），面积的一半与的面积之比为，的长为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 如图，在中，，点是边上一点，点是线段上一点． （1）如图，若，平分，平分，且，，求的长； （2）如图，若，，点是的中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； （3）如图，若平分，平分，于点，面积为，，直接写出的最大值． 23. “十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上） （1）求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； （2）结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期川维中学教育集团联合考试九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（　　） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据无理数的估算方法得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中最大的数为2， 故选：B． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，直接把点代入解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：D． 4. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），可以求得的度数，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故选：A． 5. 如图，与是点为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵与是点为位似中心的位似图形，与的面积比为， ∴， 故选：B． 6. 估算的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，无理数估算，不等式的性质，根据二次根式乘法计算法则求出的结果，再根据无理数的估算方法估算出计算结果的范围即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（ ） A. 245 B. 246 C. 254 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析归纳总结出规律是解题的关键． 通过分析归纳总结出规律：第n个图形小正方形个数为，即可求解． 【详解】解：第①个图形小正方形的个数为， 第②个图形小正方形的个数为， 第③个图形小正方形的个数为， … 第n个图形小正方形的个数为， 第㊿个图形小正方形的个数为． 故选：C． 8. 如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆心角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，求出，可证明是等边三角形，继而得到得出阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分的面积， 故选：A 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 10. 在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 二、填空题:(本大题6个小题，每小题5分，共30分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，绝对值，根据任何不等于0的数的0次幂都等于1计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求解析式，根据题意画出树状图，找到所有组合及需要组合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， 总共有：种组合，需要的有2种， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，分别是，的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 14. 若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出值，最后求出同时满足已知条件的的值，求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解， 这两个奇数解为1和3， ， ， ， ， 方程两边同时乘得：， ， 关于的分式方程的解是整数， 或或或或或，且，即， 又， 或2或4或或或， 满足条件的所有整数的值之和为：， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是________；的长度是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 16. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. 7629 ②. 6174 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题的关键．由为“逢双数”，得，即可求解；设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，得，由∵能被4整除，可知能被4整除，进而求得，即可得的最大值，最小值，即可求解． 【详解】解：∵为“逢双数”， ∴，解得：， 即：这个数为7629； 设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故，， =， ∵能被4整除， ∴， ∴能被4整除， 当时，或； 当时，或； 当时，或； ∵ ∴，时，m取得最大值，且为； ∴，时，m取得最小值，且为； 故最大值与最小值的差为：； 故答案：． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，计算完全平方公式，再进行加减计算； （2）先计算括号内异分母分式减法运算，再将除法化为乘法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点和，连接和（不写做法，保留作图痕迹）； （2）已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，．和于点，和，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：， ___________①___________ 垂直平分， 且___________②___________ 在和中， ___________③________ 四边形是平行四边形 ___________④___________， 四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是___________⑤___________． 【答案】（1）见解析 （2），平行四边形，正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图，全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴且， 在和中， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是正方形． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∴， 故菱形是正方形． 故答案为：，平行四边形，正方形． 19. 年初，DeepSeek以黑马姿态横空出世，在世界范围内引起轩然大波．近期某校举办了关于DeepSeek的科普知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名同学的成绩在C组的数据为：82，83，83，84，85，86；A组的数据为：96． 八年级20名同学的成绩为：79，79，79，79，80，80，81，81，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，92． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.05 a 77 八年级 82.05 81 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）84.5，81，40 （2）七年级成绩更好，理由见解析 （3）140人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据扇形统计图及七年级的数据可得各组人数，结合已知数据可得七年级中位数及组所占百分比，再根据八年级数据即可得八年级众数，即可求解； （2）根据七、八年级中位数进行判断； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：七年级20名同学中组有：1人，组有：人，组有6人，则组有人， 所以，七年级同学的中位数为第10名、第11名的平均数，即：， 组所占百分比为：，则； 八年级中出现次数最多的是81分，故八年级众数， 故答案为：84.5，81，40； 【小问2详解】 七年级成绩更好， 理由：七年级成绩中位84.5大于八年级中午时81，所以七年级成绩更好； 【小问3详解】 ， 答：两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有140人． 20. 2025年春节，随着《哪吒2》电彩的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元． （1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？ （2）由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？ 【答案】（1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元 （2）降价后每个“哪吒”手办的售价为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用； （1）等量关系式：每个“敖丙”手办的售价每个“哪吒”手办的售价按售价便宜20元，购买3个“哪吒”手办的费用2个“敖丙”手办的费用540元，列方程组，即可求解； （2）等量关系式：用800元购买“哪吒”手办的数量用520元购买“敖丙”手办的数量5个，列方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元，由题意得 ， 解得：， 答：每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元； 【小问2详解】 解：降价后每个“哪吒”手办的售价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合题意； 答：降价后每个“哪吒”手办的售价为元． 21. 在矩形中，，，P是上一点，连接，过点P作交于点Q．设（点P不与A，C重合），面积一半与的面积之比为，的长为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）画图见解析，性质：随着的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，矩形的性质，解直角三角形，利用三角函数求出函数解析式是解题的关键． （1）过点作交于，根据矩形的性质，结合三角形函数求得，，即可求解； （2）据（1）所得函数解析式画出函数图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据函数图象写出的取值范围即可； 【小问1详解】 过点作交于， 在矩形中，，，， ∴，，则， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，，； 【小问2详解】 画函数图象如下： 由函数图象可知，随着的增大而减小； 【小问3详解】 当时，即，解得：，， 由图象可知，当时，的取值范围为或． 22. 如图，在中，，点是边上一点，点是线段上一点． （1）如图，若，平分，平分，且，，求的长； （2）如图，若，，点是的中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； （3）如图，若平分，平分，于点，的面积为，，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，则，先证为等腰直角三角形，再证为等腰直角三角形，得出，利用角平分线性质得出，求出即可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，再证为等边三角形，再证，得出，即可证明； （3）过点作于点，于点，连接，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时，最大，过点作于点，利用，可得，点轨迹为到直线距离为的定直线，即，且距离为，过点作直线的对称点，连接，当、、依次共线时，取最小值，此时，证明，证明、、共线，求出，利用即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 如图，过点作于，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，于点，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 则当最小时，最大， 即当最小时，最大， 过点作于点， 则， 即， 解得：， 点轨迹为到直线距离为的定直线，即，且距离为，如图， 过点作直线的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当、、依次共线时，取最小值， 即当、、依次共线时，最小值为， 当、、依次共线时，如图， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴平分， ∴， 又∵， ∴、、共线， 即是与的距离， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得， 解得：． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次根式，角平分线的性质，勾股定理，将军饮马问题，熟练掌握这些性质和定理，并会利用中点构造全等，利用动点找轨迹，是解题的关键． 23. “十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上） （1）求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； （2）结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）． 【答案】（1）的长度为米 （2）选择2号路线更快 【解析】 【分析】（1）过C作于H，延长相交于F，再中可求得的长，再中可求得的长，即可求出答案； （2）分别计算出两条路线的长度，可求得时间，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过C作于H，延长相交于F， 则，，矩形， 由题意得： ，，， ∵中，，， ∴， ， ∵中，， ∴， ∴米， 答：的长度为米 ． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∵中，， ∴， ， 2号路线所用时间分钟， 1号路线所用时间分钟， 因为， ∴选择2号路线更快． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1） （2），周长的最小值 （3）或 【解析】 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； 如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小， 周长为 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $