精品解析：福建省厦门市翔安区第一中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

七年级下学期数学期中试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷　选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，属于必然事件的是 （ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 掷一次骰子，向上的一面是6点 C. 经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有多个白球的箱子里取出两个红球 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线分别交、于点、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，斑马线作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽站在点A处，她觉得沿AP走过斑马线到达马路边BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，能判定的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 8. 为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A B. C. D. 9. 已知，则a，b的值分别是（ ） A. B. C. D. 10. 根据，，，，…的规律，则的个位数字是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. ________． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 13. 如果一个角的余角比这个角少，则这个角的度数是______． 14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若，则______． 15. 如图，，点E，F在直线上（F在E的左侧），点G在直线上，，垂足为H，P为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 ________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 如图，若，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（①______），（平角的定义）， ∴（②______）． ∴③______（④______）． ∴（⑤______）． ∵（已知）， ∴⑥______（等量代换）． ∴（⑦______）． 19. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5． （1）袋中有黄球______个、白球______个； （2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.5，求放入红球的个数． 20. 先化简，再求值：，其中，，． 21. 如图是一个的方格纸，完成下列任务： （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段垂线，垂足为； （3）连接和，若图中每个小正方形的边长为，则的面积是______． 22. 如图，直线、相交于，平分，于点，，求、的度数． 23. 如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为______， 图2中阴影部分的面积为______； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： ． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 24. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ； （2）若，，且，求的值． （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 25. 已知直线，在三角形纸板中，． （1）将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； （2）将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间数量关系； （3）在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期数学期中试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷　选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 下列选项中，属于必然事件的是 （ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 掷一次骰子，向上的一面是6点 C. 经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有多个白球的箱子里取出两个红球 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，必然事件的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，符合题意； B、掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，不符合题意； C、经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； D、从装有多个白球的箱子里取出两个红球是不可能事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是随机事件与必然事件的含义，熟知“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，在一定条件下，一定发生的时间是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件”是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，直线分别交、于点、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由两直线平行同旁内角互补可得，由对顶角相等可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 故选：． 5. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽站在点A处，她觉得沿AP走过斑马线到达马路边BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线的性质，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线性质进行解答即可． 【详解】解：A、连接两点的所有线中，线段最短，故A不符合题意； B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意． C、垂线的性质，故C不符合题意； D、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故D符合题意； 故选：D． 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式．能熟记完全平方式结构特点是解此题的关键，完全平方式有． 根据是完全平方式，且，，得到，即得． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴． ∴． ∴． 故选：B． 7. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，能判定的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：：①∵，∴，故①符合题意； ②∵，∴，故②不符合题意； ③∵，∴，故③不符合题意； ④∵，∴，故④符合题意； ⑤∵，∴，故⑤符合题意； 综上所述，正确的有①④⑤，共个， 故选：C． 8. 为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 9. 已知，则a，b的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先利用多项式乘以多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 根据，，，，…的规律，则的个位数字是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键． 根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， ∴的末位数是以1、3、7、5每四个一个循环， ∵， ∴即的末位数为3， 故选B． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 如果一个角的余角比这个角少，则这个角的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了余角及一元一次方程；设这个角为x度，则可表示出其余角，根据条件建立方程即可求解． 【详解】解：设这个角为x度，则其余角为度， 由题意得：， 解得：， 即这个角是； 故答案为：． 14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若，则______． 【答案】126° 【解析】 【分析】据两直线平行，内错角相等求出∠DEF，再根据翻折的性质以及平角等于180°，求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形纸片ABCD边ADBC，∠EFG＝63°， ∴∠DEF＝∠EFG＝63°， 根据翻折的性质，可得∠1＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2×63°＝54°， 又∵ADBC， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°． 故答案为：126°． 【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键． 15. 如图，，点E，F在直线上（F在E的左侧），点G在直线上，，垂足为H，P为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 ________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，过点H作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④． 【详解】解：如图，过点H作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵与的角平分线交于点Q， ∴， ∴， 根据①中的结论，可得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 设，则， ∴， 根据①中结论可得， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∴， ∴， 根据①中结论可得，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先利用平方差公式、单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 18. 如图，若，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（①______），（平角的定义）， ∴（②______）． ∴③______（④______）． ∴（⑤______）． ∵（已知）， ∴⑥______（等量代换）． ∴（⑦______）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，根据平行线的判定与性质证明即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵（已知），（平角的定义）， ∴（同角补角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 19. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5． （1）袋中有黄球______个、白球______个； （2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.5，求放入红球的个数． 【答案】（1）5，2 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量、一元一次方程的应用、解分式方程，理解题意正确列出方程是解此题的关键． （1）根据从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5即可求出黄球的个数，设白球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）先求出原来袋子中红球的个数，设放入红球个，根据题意列出分式方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5， ∴黄球的个数为， 设白球个， 由题意可得：， 解得：， 故袋中有黄球个、白球个； 【小问2详解】 解：原袋子中红球的个数为：（个）， 设放入红球个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴放入红球个． 20. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据完全平方公式以及多项式乘以单项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当，时，原式． 21. 如图是一个的方格纸，完成下列任务： （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）连接和，若图中每个小正方形的边长为，则的面积是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合平行线的判定与性质画图即可； （2）结合垂线的定义画图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问3详解】 解：的面积是． 22. 如图，直线、相交于，平分，于点，，求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义．解题的关键：利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴，． 23. 如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为______， 图2中阴影部分的面积为______； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： ． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式． （1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积，易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子； （2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答； ②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果． 【详解】解：（1）依题意，在图①中， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 在图②中， ∵阴影部分长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积为； ∵两图的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式， 故答案为：，，； （2）①∵， 则， ∴， ∴， 故答案为：4； ② ． 24. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ； （2）若，，且，求的值． （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】（1） （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可； （3）①根据，，进行计算即可； ②由，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：3． 25. 已知直线，在三角形纸板中，． （1）将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； （2）将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； （3）在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【小问1详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$