精品解析：广东省广州市海珠区中山大学附中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024－2025学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项涂在答题卡上） 1. 无理数的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能组成直角三角形的三边的是（ ） A. 5，12，13 B. 13，14，15 C. D. 3，3，6 5. 如图字母所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，F，连接，若的周长为6，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 10. 如图，菱形的对角线相交于点O，于点E，，连接，若，，则菱形的周长为（ ） A. B. 16 C. D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是_________． 12. 已知的周长为32，若，则_________． 13. 直角三角形的斜边上的中线长为，其中一条直角边长为8，则另一直角边为_________． 14. 如图，菱形，其中点坐标是，则顶点的坐标是______． 15. 如图，，是四边形的对角线，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，连接，要使四边形为菱形，则四边形需满足的条件是_________． 16. 如图，已知，以为边在外作等腰，，若，则_________． 三、解答题（共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，中，点E在上，点F在上，且．求证． 19. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 20. 已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段． （1）画出一个格点，使，并求其面积； （2）直接写出使得为直角三角形的格点C有 　 　 个． 21. 已知的整数部分为a，小数部分为b． （1）分别写出a，b的值； （2）求的值． 22. 在设计平行四边形的活动中，甲同学想到用两个矩形纸片重叠的方法，如图，两个长方形纸片的重叠部分为四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若这两个矩形纸片宽度相同，判断是否为特殊的平行四边形，并说明理由． 23. 已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． （1）如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； （2）如图，若，，求的最小值． 24. 如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片沿着某线折叠，使点B落在P处，点C落在G处，折痕为，与交于点H，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图1，若，求线段与的长度； （3）如图2，连接，直接写出的最小值为 ． 25. 已知，，C为射线上一动点（不与B重合）），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线，之间时，点C为的中点，且，，求的长； （3）如图3，在（1）的条件下，对角线相交于点，，点P为的中点，点为线段上一动点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项涂在答题卡上） 1. 无理数的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案；相乘为1的两个数即为倒数； 【详解】解：无理数 的倒数是： ＝ ． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键； 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 3. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质 判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各组数中，能组成直角三角形的三边的是（ ） A. 5，12，13 B. 13，14，15 C. D. 3，3，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理，如果最长的边的平方等于两个较短的边的平方之和，就能组成直角三角形，否则不能，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．，能作为直角三角形三边长度，符合题意； B．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； D．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意． 故选：A． 5. 如图字母所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理．根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积． 【详解】解：∵， ∴字母所代表的正方形的面积． 故选：C． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊的平行四边形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题的关键，根据平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形；符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC交EF于点O，由矩形的性质得出AD=BC=8，∠B=90°，由勾股定理得出AC=，由折叠的性质得出EF⊥AC，AO=CO=AC=2，证出 Rt △AOF ∽Rt △ADC，则，求出AF=5，即可得出结果． 【详解】解：连接交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵折叠矩形使与重合时，，， ∴，， ∴则Rt △AOF ∽Rt △ADC ∴，即：， 解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键． 8. 如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点的距离，熟练数轴两点之间距离是解题的关键； 本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，该长度等于点A到这个点的距离，再结合数轴上点的位置关系求出点A所表示的数． 【详解】解：∵三角形的直角边分别对应数为和1， ∴直角三角形的两条直角边长分别为2和1， 根据勾股定理， ∴点A到的距离是， 设点A表示的数为a， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，F，连接，若的周长为6，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，那么由的周长为6可得，再根据平行四边形的性质可得，，进而可得答案． 【详解】解：∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴， ∵的周长为6， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长为． 故选：B． 10. 如图，菱形的对角线相交于点O，于点E，，连接，若，，则菱形的周长为（ ） A. B. 16 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出DC＝4，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长. 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 12. 已知的周长为32，若，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等以及平行四边形的周长的定义解答即可． 由平行四边形的性质推出，，得到的周长，即可求出BC的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：10． 13. 直角三角形的斜边上的中线长为，其中一条直角边长为8，则另一直角边为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质及勾股定理，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质求得斜边长是解决问题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线长为，可以得到斜边的长，然后根据勾股定理即可求得另一直角边的长． 【详解】解：∵直角三角形的斜边上的中线长为， ∴这条斜边长为17， ∵其中一条直角边长为4， ∴另一直角边为， 故答案为：15． 14. 如图，菱形，其中点坐标是，则顶点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，坐标与图形的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 由两点距离公式可求，由菱形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点， 故答案为：． 15. 如图，，是四边形的对角线，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，连接，要使四边形为菱形，则四边形需满足的条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，则可证明四边形为平行四边形，当，即，则此时平行四边形是菱形，据此可得答案． 本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：四边形需满足的条件是， 理由：∵E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点， ∴， 根据三角形中位线定理得到，， ∴四边形为平行四边形， 当，即，则此时平行四边形是菱形， 故答案为：． 16. 如图，已知，以为边在外作等腰，，若，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．过点B作，过点A作于点E，在的延长线上截取，连接，则是的垂直平分线，，由此得，进而得，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点B作，过点A作于点E，在的延长线上截取，连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键. （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，中，点E在上，点F在上，且．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，又，得到四边形是平行四边形．则该平行四边形的对边相等：． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先判断，，，，后化简计算即可． 本题考查了数轴上字母表示数，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：根据， ∴，，，，，， ∴ ， ． 20. 已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段． （1）画出一个格点，使，并求其面积； （2）直接写出使得为直角三角形的格点C有 　 　 个． 【答案】（1）见解析； （2）6 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格中判断直角三角形，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）根据勾股定理及其逆定理，有4种情形，画出图形求解； （2）根据直角三角形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 由题意，如图，均满足， 对于，由勾股定理，得：， ∴， ； 对于，同法：， 对于，； 【小问2详解】 同（1）法，如图，满足条件的格点C有6个， 故答案为：6． 21. 已知的整数部分为a，小数部分为b． （1）分别写出a，b的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的估算及运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键， （1）先估算的大小，从而估算的大小，求出其整数部分a和小数部分b即可； （2）把（1）中求出的a，b代入所求式子进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴． 22. 在设计平行四边形的活动中，甲同学想到用两个矩形纸片重叠的方法，如图，两个长方形纸片的重叠部分为四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若这两个矩形纸片宽度相同，判断是否为特殊的平行四边形，并说明理由． 【答案】（1）见解析过程 （2）四边形是菱形，理由见解析过程． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键． （1）由平行四边形的判定可求解； （2）由等积法可得，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：根据题意可得，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由：作于，于， 由题意知：两个矩形等宽， ， ， ， 平行四边形是菱形． 23. 已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． （1）如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； （2）如图，若，，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得： ，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； 【小问2详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得： ， ， 即， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质，“费马点”模型的计算是关键． 24. 如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片沿着某线折叠，使点B落在P处，点C落在G处，折痕为，与交于点H，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图1，若，求线段与的长度； （3）如图2，连接，直接写出的最小值为 ． 【答案】（1）证明见解答 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出，进而利用平行线的性质得出即可得出答案； （2）如图2，过点B作于Q，则，证明，得到，， 再证明．得到，设，则，则， 求得，过点F作于点M，则四边形是矩形，由折叠得：，设的交点为O，证明，得，由勾股定理得：即可解答； （3）如图2，过点B作于Q，设，则，由（2）同理得：，问题转化如下图：构造边长为6的正方形，点B在上，设，则， 根据勾股定理，，，作出点P关于的对称点R，连接交于点W，当点B与点W重合时，取得最小值，且最小值为，即可解答． 【小问1详解】 证明：由折叠知， ∴， 又由折叠知：， ∴， 即， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点B作于Q，则， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，设的交点为O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，过点B作于Q， 设，则， 由勾股定理得：，， 由（2）同理得：， ∴， 问题转化如下图：构造边长为6的正方形，点B在上，设，则， 根据勾股定理，，， 作出点P关于的对称点R，连接交于点W，当点B与点W重合时，取得最小值，且最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，线段和的最小值，熟练掌握性质是解题的关键． 25. 已知，，C为射线上一动点（不与B重合）），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线，之间时，点C为的中点，且，，求的长； （3）如图3，在（1）的条件下，对角线相交于点，，点P为的中点，点为线段上一动点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质可得，，，再证出，即可得证； （2）连接，交于M，由翻折得：，可证，设，在和中，用勾股定理列出方程即可求解； （3）分三种情形：，，，画出图形分别求解即可． 【小问1详解】 证明：由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由翻折得：，， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则有， 在中：， 在中：， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）知四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴时等边三角形， ∴， ∵P为的中点， ∴，， ∴，， 当时，如图： 则， ∴， ∴； 当时，如图，过点作于点， ∵时等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，连接， 则点为的垂直平分线与交点， ∵，点是的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴点与点重合， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $