精品解析：福建省漳州市云霄一中分校集团校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年下学期期中测试 七年级数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 旭日东升 C. 竹篮打水 D. 水中捞月 3. 春节期间，小王打算趁着假期去看贺岁片，其中有《唐探》，《封神》，《哪吒之魔童闹海》，《射雕英雄传：侠之大者》等多部影片上映，而且票房均已过亿，小王准备从这四部电影中选一部观看．小王选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 4. ，则的值为（ ） A. 32 B. 25 C. 10 D. 45 5. 计算，其中第①步运算的依据是（ ） A. 幂的乘方法则 B. 乘法对加法分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 6. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 8. 若将展开的结果中不含有的一次项，则满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 有四张不透明卡片，除正面的代数式不同外，其余完全相同．这四个代数式分别为：、、、，将它们背面朝上洗匀后，小明和小东两人依次从中有放回地随机抽取一张，则两人抽出的卡片均能用平方差公式计算的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是_________． 12. 如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向_______色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． 13. 如图，直线是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是_________． 14. 已知，则值为_________． 15. 如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是________． 16. 有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为_________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2）（简便运算） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，平分，试说明：． 20. 一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中随机抽取个球，求抽到的是红球的概率； （2）在袋中加入个白球后，进行如下实验：随机抽取一个球，然后放回，多次重复这个实验．通过大量重复实验后发现，抽到红球的频率稳定在，求的值． 21. 如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） （2）若，，求休息区域的面积． 22. 如图，内部有一点，过点直线，交于点． （1）求作：射线，使得射线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断和的数量关系，并说明理由． 23. 综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： （1）第一步操作得到折痕与直线的位置关系是___________； （2）关于新折痕与直线平行依据，下列说法正确的是___________（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行②两直线平行，同位角相等③对顶角相等 （3）如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 24. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ （1）指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数，）： 3 1 4 2 5 3 ______①_______…… ．．． ．．． ．．． ．．． ____②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：_____①______；____②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差______（填“能”或“不能”）被4整除； （2）兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：． 设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 25. 如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧， （1）如图1，若，求的度数； （2）连接，过点作，交于点．过点作于点， ①如图2，若，试说明平分． ②连接，若，则_______（用含、的代数式表示，结果要求化简）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期中测试 七年级数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 旭日东升 C. 竹篮打水 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件分类，根据可能发生的事件为随机事件，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、守株待兔属于随机事件，故该选项符合题意； B、旭日东升不属于随机事件，故该选项不符合题意； C、竹篮打水不属于随机事件，故该选项不符合题意； D、水中捞月不属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A 3. 春节期间，小王打算趁着假期去看贺岁片，其中有《唐探》，《封神》，《哪吒之魔童闹海》，《射雕英雄传：侠之大者》等多部影片上映，而且票房均已过亿，小王准备从这四部电影中选一部观看．小王选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接用《哪吒之魔童闹海》的数量除以电影总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有四部电影，每部电影被选择的概率相同， ∴小王选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故选：C． 4. ，则的值为（ ） A. 32 B. 25 C. 10 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂乘方，根据以及，代入计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B 5. 计算，其中第①步运算的依据是（ ） A. 幂乘方法则 B. 乘法对加法分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据积的乘方等于把各因式分别乘方，再求其积的运算法则计算即可． 【详解】解：， 其中第①步运算依据是积的乘方法则， 故选：C． 6. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解题的关键．由，利用同角的余角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形，解决本题的关键是利用数形结合思想．分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可． 【详解】解：如下图所示， 阴影部分的面积是边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积是， 如下图所示， 阴影部分的面积可以看作边长为的正方形的面积减去个长为，宽为的长方形的面积，再加上边长为的小正方形的面积， 阴影部分的面积为， ． 故选：D． 8. 若将展开的结果中不含有的一次项，则满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，先去括号合并同类项得，再结合不含有的一次项，得，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：A 9. 有四张不透明的卡片，除正面的代数式不同外，其余完全相同．这四个代数式分别为：、、、，将它们背面朝上洗匀后，小明和小东两人依次从中有放回地随机抽取一张，则两人抽出的卡片均能用平方差公式计算的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率，平方差公式，熟练掌握列表法或树状图求概率和平方差公式是解题的关键．先确定哪个可以用平方差公式计算，再利用列表法或树状图求概率即可． 【详解】解：根据平方差公式的形式，即左边需同时有相同项和相反项， 得、、、中，能用平方差公式计算的是和，共个， 设、、、分别记为，，，，其中，可以用平方差公式计算， 列表得： 其中共有种等可能的结果，其中均能用平方差公式计算的是，，，， 则两人抽出卡片均能用平方差公式计算的概率是， 故选：D． 10. 已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据，可得，从而得到，可判断①；根据，可得，从而得到，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，可判断②；根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，无法得到与平行，可判断③． 详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴无法得到与平行， ∵，即， ∴无法得到，故③错误． 故选：B 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向_______色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． 【答案】绿 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最少．哪一种颜色少，指针指向那种颜色的可能性就小． 【详解】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块， 所以转动一次转盘后，指针指向绿颜色的可能性小， 故答案为：绿． 13. 如图，直线是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是_________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，熟练理解题意是解题的关键．根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 14. 已知，则的值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，同底数幂相乘，先整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8 15. 如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式的结构特征得出关于的方程，再求解即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， 当时，无解； 当时， 解得：， 故答案为：． 16. 有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得，图②阴影部分面积，图③阴影部分面积，即得，得到，据此即可求解，根据图形表示出图①②阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：由图②可得，阴影部分面积， 由图③可得，阴影部分面积， ∵图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的倍， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2）（简便运算） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，乘方，还考查平方差公式，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键． （1）先利用零指数幂，负整数指数幂，乘方化简，再进行加减即可； （2）利用平方差公式对式子进行变形，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后计算除法，再把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，已知，平分，试说明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角度的和差，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用，得，结合平分，得出，再结合对顶角相等，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中随机抽取个球，求抽到的是红球的概率； （2）在袋中加入个白球后，进行如下实验：随机抽取一个球，然后放回，多次重复这个实验．通过大量重复实验后发现，抽到红球的频率稳定在，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，利用频率估计概率，熟练掌握概率公式和频率的定义是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可； （2）根据大量重复实验时，频率可以估计概率，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同， ∴随机抽取个球，抽到的是红球的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得： 经检验，是分式方程的解且符合题意． 21. 如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） （2）若，，求休息区域的面积． 【答案】（1）平方米，平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减乘除混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则． （1）根据图形可知，游泳池的面积长宽，休息区域的面积长方形土地的面积游泳池的面积，列式计算即可； （2）将，代入（1）中化简后的式子计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，游泳池的面积是： 休息区域的面积是：， 即游泳池的面积是：平方米，休息区域的面积是：平方米； 【小问2详解】 解：当，时， （平方米）， 即若，，休息区域的面积是平方米． 22. 如图，内部有一点，过点的直线，交于点． （1）求作：射线，使得射线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是画一个角等于已知角，平行线的判定与性质： （1）作，即可求解； （2）根据，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 理由：∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： （1）第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； （2）关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是___________（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行②两直线平行，同位角相等③对顶角相等 （3）如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 【答案】（1） （2）① （3） 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质； （1）由对折可得折痕与直线所夹的角为，从而可得答案； （2）由对折可得，，从而可得答案； （3）先求解，再证明，结合平行线的性质可得答案. 【小问1详解】 解：第一步操作可得折痕与直线所夹的角为， ∴得到的折痕与直线的位置关系是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴可以利用同位角相等，两直线平行得到：， 故答案为：① 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 24. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ （1）指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数，）： 3 1 4 2 5 3 ______①_______…… ．．． ．．． ．．． ．．． ____②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：_____①______；____②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差______（填“能”或“不能”）被4整除； （2）兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：． 设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 【答案】（1）（I）①；②；（II）能 （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）（Ⅰ）①根据表格中数据信息进行解答即可； ②根据数据规律得出即可； （Ⅱ）根据可以得出结论； （2）根据，得出，即可得出答案． 本题主要考查数字规律探索，整式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【小问1详解】 解：（Ⅰ）①根据表格中数据可知：； ②根据题意可知：； （Ⅱ）∵， ∴两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差能被4整除； 【小问2详解】 解：． 证明如下： ， ． 同为偶数或奇数，且， 、均为正整数． 两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差． 25. 如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧， （1）如图1，若，求的度数； （2）连接，过点作，交于点．过点作于点， ①如图2，若，试说明平分． ②连接，若，则_______（用含、的代数式表示，结果要求化简）． 【答案】（1） （2）①见解析②或 【解析】 【分析】（1）过点作，证明，再利用平行线的性质可得结论； （2）①当时，，结合平行线的性质可得，可得．进一步可得结论；②如图，当在左边时，当在右边时，如图，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【小问1详解】 解：如图1，过点作． ． ∵， ∴， ． ． ∴， ， ． 【小问2详解】 解：①当时，， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． ， 平分． ②或；理由如下： 如图，当在左边时， ∵，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右边时，如图， 同理可得： ； 综上或. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，垂直的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$