山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中2024-2025学年高一下学期第一次模块考试数学试卷

命题人:数学学科中心组 使用时间:2025年5月 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数 学 一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.若复数z满足(1-2i)z-4-3i,则z的虚部为( ) C.1 A.2 B.1 D.2 2.已知向量ā-(3.1).6-(2.3),:-(-1.2),若向量aa+与+5平行,则实数&-( ) -# C. 2 D.- 3.在AABC中,角A.B,C的对边长分别为a,b,c.若4--.cosB-.a=13则c=( _ B.7 C.3 A.17 D.13 B-3 c D- 5. 已知正四校台的上、下底面边长分别为7,9,体积为193,则该正四校台的侧校长为 A.7 B.0 C. D.B 6.如下图,在三校锥P-ABC中,点D,E分别为校PB,BC的中点,F为线段AC上的点, 若AF-aFC,且满足AD//平面PEF,则a-( ) A. C.1 D.2 sin乙BCA等于( ) 8.2 A. C. 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为3,圆O的圆心为正六边形的中心,直径为1,若点P在正六边形的边上 运动,MN为圆O的直径,则PM.PN的最大值是( ) 。- B.8 D.10 二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.设m,"是两条不同的直线,“,B是两个不同的平面,下列命题中错误的是( A.若m/n,ncB,则m/B B.若a/B.mCa,则m/B C若a/B,mCa,ncB,则m/n D.若m/a,n/a,则m/n 试卷第1页,共4页 命题人:数学学科中心组 使用时间:2025年5月 10.已知函数y=2sin(x+)的图象横坐标变为原来的倍后得到g(x),再将g(x)的图像向有平移一个单 3 位,得到/(x),则下列说法正确的是() A. 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x C. (x)在区(_)上单调逃增 D. 若关于x的方程(x)-m=0在(.])上有1个实数根,则me(2)[-1] 11.已知函数/(x)=cos2x+asinx,a*0,则() A. 函数/(x)的最小正周期为2 8. 当a-1时.函数(t)的值域为[-2-] C. 当a-2时,函数/(x)的单调增区间为2k-→.2k-+-(kez) D. 若a=1,函数/(x)在区间(0.kh)(keZ)内恰有2025个零点,则k=1350 三、填空题(本大题共3小题.每小题5分,共15分. 12复数(2)的模是 13.如图,在等腰△ABC中,底边BC=2.D.E是腰AC上的两个动点,且BD+BE一xBA+yBC 则当+取得最小值时,BC·(BD+BE)的值为_. 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知ā,5为单位向量,且a与万的夹角为60* (1求a-2]的值: (2)若向量2-与1-的夹角为锐角,求实数入的取值范围 试卷第2页,共4页 命题人:数学学科中心组 使用时间:2025年5月 16.(15分)如图,正方形ABCD为圆柱OO'的轴截面,EF是圆柱上异于AD,BC的母线,M,N分别是DE,BF 的中点,AB-2.DF-5. (1)证明:MN//平面ABF; (2)设平面BDE与圆O所在平面的交线为/,证明:1//平面BEF. 17.(15分) 已知平面向量ā-(cosx,3sinx),b-(2cosx,2cosx).f(x)-ā.-1 (1)求函数f(x)在[0,可]上的单调区间 (2)当xe[{.-]时,求函数y-/(x)的最小值及此时x的值. 18.(17分)如图1:设半圆的半径为2,点B,C三等分半圆,P.M,N分别是OA,OB,OC的中点,将此 半圆以O4为母线卷成一个圆锥(如图2).在图2中完成下列各题 圈1 圈2 (1)求证:平面PMN//平面ABC (2)求四面体ACMN的体积 OE的值,并证 (3)若D是AN的中点,在线段OB上是否存在一点E,使得DE//平面ABC?若存在,求 EB 明你的结论:若不存在,说明理由 试卷第3页,共4页 命题人:数学学科中心组 使用时间:2025年5月 19.(17分)我们知道,三角形中存在诸多特殊位置的点,并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学 者托里拆利在研究时发现:在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形,这三个等边三角形的外接圆交于一点 T,该点r即称为托里拆利点(以下简称"T点”).通过研究发现三角形中的"T点”满足到三角形三个顶点的距 离和TA+TB+TC最小.当AABC的三个内角均小于120”时,使得乙AOB=乙BOC-乙COA=120”的点O即为*T 点”:当aABC有一个内角大于或等于120”时,最大内角的项点为"T点”.试用以上知识解决下面问题:已知 AABC的内角A.B.C所对的边分别为a,b,c. (1)若3-csinA-3acosC,则 ①求A: ②若bc-4.设点P为AABC的"T点",求P.PB+PB.PC+PC.PA: (2)若acosB-bcos A-c,设P点为△ABC的"T点”. PB+PC-2rPA.求实数t的最小值 试卷第4页,共4页 =1时,2 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试参考答案 1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C 9.AC 10.BC 函数y-asinx(a*0)的最小正周期为T.-2π. 故函数/(x)的最小正周期为2π,A对: 对于B选项,当a-1时,/(x)=cos2x+sinx--2sin’x+sinx+1. 令1-snx,则:e$-11 -211--). 所以,_=-2,B对: 对于C选项.当a--2时,/(x)=cos2x-2sinx. 则/(4)-2sn-2sin +1-#gin41). 令(-sinx,则-15151,则外层函数y-2〔)3 外层函数y--2+1)+3的单调递增区间为-1-]单调递减区间为1 所以,2k-<x<2kn--(kez): 所以,2ax+<is2k→7n( z). 综上所述,当a-2时,函数/(x)的单调递增区间为2kn-".2kax-)(kez) (2a+=-2k7)(kez). c错 对于D选项,当a=1时,f(x)=cos2x+sinx=-2sinx+sinx+l-0 可得sinx-1或sinx--1. 由于函数/(x)的最小正周期为2x,且/(2x)-1. 现在考虑函数f(x)在(0.2t)上的零点个数 由snx-1可得-,由sinx--可得x-7-或x-11n 所以,函数f(x)在(0.2x)上的零点个数为3. 因为2025-3=675,故k-2$675-1350,D对. 故选:ABD. 13. 【详解】因为D.E是腰AC上的两个动点,则BD=ABA+(1-4)BC,BE=uBA+(1-)BC. 所以BD+BE=(+n)BA+(2-A-)BC BD+BE=XBA+yBC 6-“y-2. -1+)(-1(14)(×)一# 当且仅当即xy所以BD+BE-2BA+BC 则BC.(BA+:BC)-BCBA+BC 又AABC是等腰三角形。且底边BC=2,取BC中点H:连接AH,则AH4BC,且BH=1 所以BC.(+-B.+Bc一 l+:Bc-(×1x2+×A--. 故答案为:20 14.【详解】设CD-2BD-2m>0. 则在△ABD中.AB}=BD+AD-2BD.ADcos ADB=m$+4+2m 在ACD中,AC*=CD}+AD-2CD:ADcos ADC=4m}+4-4m: .4c* 4m"4-4m 4(m'+4+2m)-12(m)_12 所以4_42-2 m+4+2m (m+1)+ m1 故答案为:5-1. 15 【详解$(1)1-2-”+6-4--1+4-2-3 1-23 (2)因为向量2ā-a5与aā-5的夹角为锐角, 所以(2ā-a5)(aā-b)>0且向量2ā-a与Aa-不共线, 由(2-a)-(a-)>o,得2-(a”+2)a+a*:o 即2-(+2)+0,解得3-7<入<3+7. 当向量2ā-a5与aā-共线时,则存在唯一实数,使得2ā-a5-u(aā-). 因为向量2-福与入-不共线,所以2去t 缘上所述,实数1的取值范围为(3-7.2)(2.3+7). 16. 【详解】(1)证明:如图连接AE、AE, 根据圆柱的性质可得AD//IEF且AD=EF,所以四边形AEFD为平行四边形 因为M为DE的中点,所以M为AF的中点,又N为BF的中点,所以MNIIAB. 因为MN2平面ABE,ABC平面ABE. 所以MN//平面ABE (2)证明:根据圆柱的性质可得圆C//平面4BE 又平面BDEO圆C=I,平面BDEO平面ABE=BE 所以I//BE, 因为Igt平面BEF,BE一平面BEF,所以I/平面BEF 17. 解:(1)f(x)-ā.b-1=2cos}x+23sinxcosx-1 , =cos2x+3sin 2x A+2ks2++2hr, kez, 6-2 解得:-+sxs+hn, kez, 又xe[0.z],得xe[o.1,, 所以单调增区间为:0n,,单调减区间为: ##0o} .sin(2)-1 [(),--1此时,2x+--7. 18. 【解析】(1)证明:因为M,N分别是OB,OC的中点,所以MNlIBC 又MN平面ABC,BCC平面ABC 所以MNI/平面ABC,同理得PN//平面ABC 又MNC平面PMN,PNC平面PMN,MNOPN=N. 所以平面PMN//平面ABC (2)如图所示: 所以在图中,B,C为圆锥的底面圆周的三等分点, $.-×##3# .圆锥的高-2-12-. 即四面体ACMN的体积为一 16 (3)如图所示 (1, -3,使得DE//平面ABC. EB 理由如下: 取AC的中点F,且D是AN的中点,连接DF 所以DF//CN,2DF=CN 取CB的四等分点G,使CG=3BG,连接GE FG 因为OE=3EB.所以EG//OC.4EG=OC. 所以2EG=CN=2DF,EGIIDF,所以四边形DFGE是平行四边形. 所以DEIIFG,又DEt平面ABC,FGC平面ABC,所以DEI/平面ABC 19.【详解】(1)①在△ABC 中,由正弦定理得3sinB-sinCsinA-3sinAcosC .B-x-(4+C).有sinB=sin(A+C). 3(sin AcosC+cos AsinC)-sinCsin A-3 sin AcosC. 3cos AsinC-sinCsin A. .sinC*0,: tan A-.又4=(0.n). -_ ②由①知A-.则△ABC 的三个角都小于120”。 由"T点“定义知: APB=BPC-APC=120. , 设PA4-x. P-y. Pd-..由S..S.+.S.得 所以P.P+P.PC+PPC -(-)+”(--)-(-)--4--2 (2)由acosB-beosA-e,结合正弦定理sinAcosC-sinBcosA=sinC 有sin(4-B)-sinC,:A.B,C均为三角形内角..A-B-C(舍) 由点P为AABC的*r点”,得乙APB=乙BPC=乙APC=120. 设PB=mlP.1PC-lPll.lPA-x.(m>0,n>0.xo). 由|PPB+lPC-2tP4,得m+n-2f,由余弦定理得 10PR'-20-(-#{11)-. l#df'-'& 'r'-2m"co2-#n m). 相加得ACf+AB=lBc^,得(n}++1)x*+(m”+m+1)”-(}+n}+mn)x”. 整理得m+n+2-m. 于是m→n+2- mn (-).当且仅当m-n,即m=n=1+3时取等号, 又m+n=2f,因为^-2t-2>0,而1>0,解得:21+3,所以实数:的最小值为1+ ,