专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题（5大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题 【题型归纳目录】 题型一：空间向量的坐标表示与运算 题型二：利用向量法证明平行问题 题型三：利用向量法证明垂直问题 题型四：利用向量法证明三点共线问题 题型五：利用向量法证明共面问题 【知识点梳理】 知识点1、设，，则 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）若．为非零向量，则． （6）若，则． （7）． （8）． （9），，则． 知识点2、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量． 知识点3、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点． 知识点4、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置． 知识点5、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． ⑵平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． ⑶平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为． ③求出平面内两个不共线向量的坐标． ④根据法向量定义建立方程组． ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量．（如图） 知识点6、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即． 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线． ⑵线面平行 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即． 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． ⑶面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证． 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线． 知识点7、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直． ⑵线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即． ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直． ⑶面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证． 即：两平面垂直两平面的法向量垂直． 【典型例题】 题型一：空间向量的坐标表示与运算 【例1】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于轴的对称点为点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）设，向量，，，且，，则    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知空间向量，，满足，则实数的值是（   ） A．-5 B．-4 C．4 D．5 【变式1-3】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【变式1-4】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量的夹角． 题型二：利用向量法证明平行问题 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【变式2-1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【变式2-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型三：利用向量法证明垂直问题 【例3】（2020高三·全国·专题练习）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【变式3-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【变式3-2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【变式3-3】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 题型四：利用向量法证明三点共线问题 【例4】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【变式4-1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式4-2】（21-22高二·湖南·课后作业）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.    【变式4-3】（21-22高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 题型五：利用向量法证明共面问题 【例5】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【变式5-1】（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为等腰梯形，且，点是棱的中点，过点，，的平面交棱于点． (1)证明：平面； (2)求的值． 【强化训练】 1．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图，正四面体的长为，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西·期末）已知向量，则（    ） A． B．18 C． D． 3．（24-25高二上·广东江门·期末）已知向量，则（    ） A． B．8 C．3 D．9 4．（24-25高二上·四川成都·期末）向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川广安·期中）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（21-22高二上·湖南·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 9．（多选题）（24-25高二下·河南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）（24-25高二上·四川乐山·期末）已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）（24-25高二上·四川南充·期末）下列给出的命题中正确的有（    ） A．已知两个向量，，且，则 B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C．已知，，则在上的投影向量坐标为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 12．（多选题）（24-25高二上·吉林四平·期中）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知空间向量，，若，则实数的值为 ． 14．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为 ． 15．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 16．（24-25高二下·甘肃金昌·阶段练习）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 17．（24-25高二下·上海·阶段练习），，则向量在向量上的投影向量是 ． 18．（24-25高二上·上海·期末）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 19．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 20．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为 . 21．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 22．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为 ． 23．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 24．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    25．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 26．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 27．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 28．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 29．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 30．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 31．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 32．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题 【题型归纳目录】 题型一：空间向量的坐标表示与运算 题型二：利用向量法证明平行问题 题型三：利用向量法证明垂直问题 题型四：利用向量法证明三点共线问题 题型五：利用向量法证明共面问题 【知识点梳理】 知识点1、设，，则 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）若．为非零向量，则． （6）若，则． （7）． （8）． （9），，则． 知识点2、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量． 知识点3、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点． 知识点4、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置． 知识点5、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． ⑵平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． ⑶平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为． ③求出平面内两个不共线向量的坐标． ④根据法向量定义建立方程组． ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量．（如图） 知识点6、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即． 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线． ⑵线面平行 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即． 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． ⑶面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证． 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线． 知识点7、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直． ⑵线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即． ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直． ⑶面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证． 即：两平面垂直两平面的法向量垂直． 【典型例题】 题型一：空间向量的坐标表示与运算 【例1】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于轴的对称点为点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于轴的对称点为点， 所以点的坐标为， 所以 则． 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）设，向量，，，且，，则    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，及，得，解得， 由及，得，解得，则， 所以. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知空间向量，，满足，则实数的值是（   ） A．-5 B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【解析】，， 即，解得：. 故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 【变式1-4】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量的夹角． 【解析】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量的夹角为. 题型二：利用向量法证明平行问题 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【解析】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式2-1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【解析】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【变式2-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2） 作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 题型三：利用向量法证明垂直问题 【例3】（2020高三·全国·专题练习）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【解析】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 【变式3-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 【变式3-2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式3-3】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 题型四：利用向量法证明三点共线问题 【例4】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【解析】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 【变式4-1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式4-2】（21-22高二·湖南·课后作业）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.    【解析】证明：取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设，，， 因为M为BCD的重心， 所以 因为，所以， 所以， 同理得， ∴. 又， ∴B，G，N三点共线 【变式4-3】（21-22高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【解析】（1）由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， 故 ,因为有公共点D， 故、、三点共线． 题型五：利用向量法证明共面问题 【例5】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【解析】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 【变式5-1】（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为等腰梯形，且，点是棱的中点，过点，，的平面交棱于点． (1)证明：平面； (2)求的值． 【解析】（1）因为底面等腰梯形，且，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，，取中点，连接，则. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为，，为中点，为中点，所以. 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ,且为等边三角形，可求得. 则，，， 那么. 设，所以设. 又因为点是棱的中点，设，则. 因为，，，四点共面，所以，，共面. ，，. 设存在实数，，使得，则可得方程组： 解得,, 所以，则，. 所以. 【强化训练】 1．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图，正四面体的长为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 2．（24-25高二上·广西·期末）已知向量，则（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，所以， 所以. 故选：A 3．（24-25高二上·广东江门·期末）已知向量，则（    ） A． B．8 C．3 D．9 【答案】C 【解析】由向量，得， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·四川成都·期末）向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 故选：A． 5．（24-25高二下·四川广安·期中）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 所以，解得. 故选：D. 6．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 8．（多选题）（21-22高二上·湖南·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 【答案】BC 【解析】对于A，由，可知与不共线，故A错误； 对于B，由，，可得，故B正确； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由且，可得，，故,故D错误． 故选：BC. 9．（多选题）（24-25高二下·河南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对A，若点，关于平面对称，则， 所以，故A错误； 对B，若点，关于轴对称，则， 所以，故B正确； 对C，若，则，故C正确； 对D，若，则， 所以，两式相减得，故D错误. 故选：BC 10．（多选题）（24-25高二上·四川乐山·期末）已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 11．（多选题）（24-25高二上·四川南充·期末）下列给出的命题中正确的有（    ） A．已知两个向量，，且，则 B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C．已知，，则在上的投影向量坐标为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】对A选项：由，所以存在，使得，即， 所以，所以，故A正确； 对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得, 即. 因为，所以，故B正确； 对C选项：在上的投影向量为：，故C正确； 对D选项：因为，所以，，三个向量共面， 所以不是空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC 12．（多选题）（24-25高二上·吉林四平·期中）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 13．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知空间向量，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，因为，设，则有， 可得，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为 ． 【答案】 【解析】直线的方向向量为，， 则，， 则向量在直线上的投影向量坐标为：． 故答案为：． 15．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 【答案】 【解析】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 16．（24-25高二下·甘肃金昌·阶段练习）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【解析】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习），，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【解析】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 18．（24-25高二上·上海·期末）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 19．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【答案】14 【解析】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 20．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为 . 【答案】 【解析】因为向量，设轴上的一个单位向量为， 所以在轴上的投影向量为. 故答案为： 21．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【解析】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 22．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 由得，得， 故， 故由二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 根据正方体的性质可知平面，因平面， 故，故， 故的面积最小值为， 故答案为： 23．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 24．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【解析】由题意，故，，， 故， 故答案为： 25．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【解析】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 26．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【解析】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 27．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【解析】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 28．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 【解析】选取作为空间的一个基底，设． 由已知条件和三棱柱的性质，得，， ，． 所以， 所以，即． 29．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 【解析】（1），， ， 又，，． （2）设，由，，得，， 解得或， 或． 30．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【解析】（1）因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． （2）解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 31．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 【解析】（1）如图，由题意可知， 因，则 . （2）为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 32．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【解析】（1）因为，. 得，所以. 由，可得， 因为，所以向量与的夹角为. （2）， 故4. （3）由向量与互相垂直，得， ，整理得，解得. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【解析】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$