专题01 空间向量及其运算（6大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题01 空间向量及其运算 【题型归纳目录】 题型一：空间向量的有关概念 题型二：空间向量线性表示 题型三：空间共线向量定理 题型四：空间共面向量定理 题型五：空间向量的数乘运算 题型六：空间向量的数量积运算 【知识点梳理】 知识点1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． （2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作． （4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量． （5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 知识点2、空间向量的加法和减法： （1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则． 知识点3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍． 知识点4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：；结合律：． 知识点5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 知识点6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 知识点7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 知识点8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则． 知识点9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：． 知识点10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作． 知识点11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为． 知识点12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点13若，为非零向量，为单位向量，则有 ；； ，，；；． 知识点14、数量乘积的运算律： ； ； ． 知识点15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得． 知识点16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 知识点17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标． 【典型例题】 题型一：空间向量的有关概念 【例1】（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（22-23高二上·河南·阶段练习）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【变式1-2】（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【变式1-3】（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 题型二：空间向量线性表示 【例2】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在直三棱柱中，点在棱上，且．设，则（   ） A． B． C． D． 题型三：空间共线向量定理 【例3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式3-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 题型四：空间共面向量定理 【例4】（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 ． 【变式4-3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 题型五：空间向量的数乘运算 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为），则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量的数量积运算 【例6】（22-23高二上·上海·期中）如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 【变式6-1】（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【变式6-2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 【变式6-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 【变式6-4】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【强化训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏扬州·期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 10．（多选题）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 11．（多选题）（24-25高二下·上海·阶段练习）三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 12．（多选题）（24-25高二上·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 13．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 14．（24-25高二上·上海·期末）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 15．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 16．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 17．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    18．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 .    19．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 20．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 21．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 22．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 23．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 24．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算 【题型归纳目录】 题型一：空间向量的有关概念 题型二：空间向量线性表示 题型三：空间共线向量定理 题型四：空间共面向量定理 题型五：空间向量的数乘运算 题型六：空间向量的数量积运算 【知识点梳理】 知识点1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． （2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作． （4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量． （5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 知识点2、空间向量的加法和减法： （1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则． 知识点3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍． 知识点4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：；结合律：． 知识点5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 知识点6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 知识点7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 知识点8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则． 知识点9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：． 知识点10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作． 知识点11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为． 知识点12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点13若，为非零向量，为单位向量，则有 ；； ，，；；． 知识点14、数量乘积的运算律： ； ； ． 知识点15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得． 知识点16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 知识点17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标． 【典型例题】 题型一：空间向量的有关概念 【例1】（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 【变式1-1】（22-23高二上·河南·阶段练习）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】C 【解析】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确； B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确； C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】C 【解析】任意两个空间向量一定共面，A错误. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误． 平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确. 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解析】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 题型二：空间向量线性表示 【例2】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【变式2-1】（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，， . 故 故选：A 【变式2-2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： . 故选：B 【变式2-3】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在直三棱柱中，点在棱上，且．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接,． 故选：A. 题型三：空间共线向量定理 【例3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式3-1】（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】 ， 所以， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 【变式3-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解析】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 题型四：空间共面向量定理 【例4】（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【解析】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得. 故答案为： 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型五：空间向量的数乘运算 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为），则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量在基底下的斜坐标为）， 所以可得， 设， 即有 即可得，解得， 即， 即向量在基底下的斜坐标为. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 题型六：空间向量的数量积运算 【例6】（22-23高二上·上海·期中）如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 【解析】（1） . （2） ， ，， 即. 【变式6-1】（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【解析】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 【变式6-2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 【解析】（1）在平行六面体中，， 由，，得，， 所以. （2）依题意，，则， ，则， 所以异面直线与的夹角余弦值为. 【变式6-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 【解析】（1）在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 . （2）由，得， 所以 . 【变式6-4】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 【强化训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ，所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 5．（24-25高二下·江苏扬州·期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因A，B，C三点不共线，则不共线， 则点P在平面ABC内，即四点共面， 也即存在唯一的一组实数，满足， 即， 整理得：. 对于A，因，可得， 因，故此时点P不在平面ABC内，故A错误； 对于B，因，可得， 因，故此时点P不在平面ABC内，故B错误； 对于C，因，可得， 因，故点P在平面ABC内，故C正确； 对于D，由可得， 整理得：，因，故点P不在平面ABC内，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】依题意，，所以. 故选：A 7．（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面，平面，所以向量在平面上的投影向量为， 故选：A. 8．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 9．（多选题）（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【解析】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 10．（多选题）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 11．（多选题）（24-25高二下·上海·阶段练习）三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而， 所以，即A正确； 对于B，易知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为， 可得，可得，即D正确. 故选：ABD 12．（多选题）（24-25高二上·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 【答案】ACD 【解析】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 13．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】 【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期末）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 【答案】/ 【解析】由题意可知， ，，则， ， ，，三点共线，，． 故答案为：. 15．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【解析】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 16．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 【答案】 【解析】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 17．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    【答案】/0.25 【解析】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 18．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 .    【答案】 / 【解析】第一空，因为矩形， 所以 第二空，分别过作，分别交于， 因为二面角为，所以平面平面， 又平面平面,平面所以平面， 因为平面,所以， 因为矩形，所以， 同理可得， 因为 所以 故答案为：，. 19．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1）因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）由， 所以 . 20．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【解析】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 21．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 22．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【解析】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 23．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【解析】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 24．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【解析】（1）因为，所以， 所以. （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$