第5章 诊断卷四边形(1)-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·三轮复习·抢分练小卷

抢分练小卷·安徽数学 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 第五章诊断卷———四边形(一) 限时:60 分钟 用时:　 　 分钟 满分:86 分 得分:　 　 分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)每小题都给出 A,B,C,D 四个选项,其中只有一 个是符合题目要求的. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 平面图形的镶嵌在生活中的应用非常广泛,从简 单的地板和墙纸设计到复杂的艺术品创作,都展 现了其独特的魅力和实用性. 下列几组多边形组 合不能进行平面图形镶嵌的是 (　 D　 ) A. 正三角形与正方形 B. 正三角形与正六边形 C. 正方形与正八边形 D. 正方形与正六边形 2. 图中表示被撕掉一块的正 n 边形纸片,若 a⊥b, 则 n 的值是 (　 C　 ) A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 第 2 题图　 　 第 3 题图 3. 如图,▱ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,若 AD = 6, AC+BD= 16,则△AOD 的周长为 (　 D　 ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 4. 如图,AC 是正方形 ABCD 的对角线,以 AD 为边 向正方形内部作等边三角形 ADE,边 DE 交 AC 于点 F,则∠EFC 的度数是 (　 D　 ) A. 45° B. 60° C. 65° D. 75° 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,连接 OH,若 OB= 4. 5, S菱形 ABCD = 36,则 OH 的长为 (　 C　 ) A. 3 B. 3. 5 C. 4 D. 4. 5 6. 有公共顶点 A,B 的正五边形和正六边形按如图 所示位置摆放,连接 AC 交正六边形于点 D,则 ∠ADE 的度数为 (　 B　 ) A. 144° B. 84° C. 74° D. 54° 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,点 P 在正方形 ABCD 的边 BC 上,以 PD 为 边作矩形 PDEF,且边 EF 过点 A. 若 AB = 1,则矩 形 PDEF 的面积为 (　 A　 ) A. 1 B. 2 C. 3 4 D. 2 2 8. 如图,顺次连接四边形 ABCD 各边中点得到四边 形 EFGH,要使四边形 EFGH 为正方形,应添加的 条件分别是 (　 D　 ) A. AB∥CD 且 AB=DC B. AB=CD 且 AC⊥BD C. AB∥CD 且 AC⊥BD D. AC=BD 且 AC⊥BD 第 8 题图 　 第 9 题图 9. 如图,菱形 ABCD 的面积为 48,AB = 8,∠B 为锐 角,点 E,F,G 分别在 AB,BC,AD 上, ∠FEG = 90°,EF=EG,若 FG⊥BC,则 BF 的长为 (　 B　 ) A. 5 B. 7 +3 C. 3 2 D. 3 2 +2 10. 如图,P 是矩形 ABCD 内的任意一点,连接 PA, PB, PC, PD, 得 到 △PAB, △PBC, △PCD, △PDA,设它们的面积分别是 S1,S2,S3,S4 . 给出 以下结论:①S1 +S4 = S2 +S3;②S2 +S4 = S1 +S3;③ 若 S3 = 2S1,则 S4 = 2S2;④若 S1 =S2,则点 P 在该 矩形的对角线上,其中正确结论的序号是 (　 B　 ) 第 10 题图 A. ①④ B. ②④ C. ②③④ D. 以上选项均不对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 抢分练小卷·安徽数学 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 3 倍, 那么这个多边形是　 八　 边形. 12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 E,AB = 6,BC = 4,则 EC 的长 为　 2　 . 第 12 题图 　 第 13 题图 13. 如图,矩形 ABCD 中,AB = 2,AD = 3. 在边 AD 上 取一点 E,使 BE = BC. 过点 C 作 CF⊥BE,垂足 为 F,则 BF 的长为　 　 5 　 . 14. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A= 60°,经过点 C 的直 线分别与 AB,AD 的延长线相交于点 P,Q,QB, PD 相交于点 O. 第 14 题图 (1)线段 BP,BD,DQ 之间的数量关系为　 BD2 =BP·DQ　 ; (2)若 OB= 2,OQ= 7,则 BD 的长为　 3 2 　 . 三、解答题(本大题共 2 小题,第 15 题 12 分,第 16 题 14 分,满分 26 分) 15. 如图,等腰三角形 ABC 中,AB = AC,AD⊥BC 于 D 点,E 点是 AB 的中点,分别过 D、E 两点作线 段 AC 的垂线,垂足分别为 G、F,连接 DE. (1)求证:四边形 DEFG 为矩形; (2)若 AB= 10,EF= 4,求 BC 的长. 第 15 题图 (1) 证明:∵ AB = AC, AD⊥BC, ∴D 点是 BC 的中点. ∵E 点是 AB 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位 线,∴DE∥AC. ∵DG⊥AC,EF⊥AC,∴EF∥DG, ∴四边形 DEFG 是平行四边形. 又∵∠EFG=90°,∴四边形 DEFG 为矩形; 16.综合与实践 【问题情境】 如图,正方形 ABCD 中,点 P 是对角线 BD 上一 点,将 Rt△PEF 的直角顶点放在点 P 处,使直角 边 PE 经过点 C,另一条直角边 PF 与 AD 交于 点 M. 【问题解决】 (1)如图①,求证:∠PAD= ∠PMA; (2)如图②,连接 CM,交 BD 于点 N,当 AP∥CM 时,连接 AN. 求证:四边形 APCN 是菱形; (3)如图③,当 PF 与 AD 的延长线交于点 M 时, 连接 CM,若正方形 ABCD 的边长为 4,PD = 2 ,请直接写出 CM 的长. 图① 　 　 图② 图③ 第 16 题图 (1)证明略. (2)证明略. (3)CM 的长为 2 5 . 【详解见本册 PX】 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 参考答案及重难题解析·安徽数学 抢 分 练 小 卷 ∴ AB= 2 3 . 10. C　 【解析】∵ △ABC、△CDE 都是等腰直角三角形,BC = 1,∴ AB=AC= 　 2 2 BC = 　 2 2 ,CD =DE = 　 2 2 CE,∠B = ∠ACB = ∠DEC= ∠DCE= 45°,∵ ∠ACB= ∠DCE= 45°,∴ ∠ACB -∠ACE= ∠DCE-∠ACE,即∠BCE = ∠ACD,选项 A 不符 合题意; ∵ CD EC = AC BC = 　 2 2 , ∠BCE = ∠ACD, ∴ △ACD∽ △BCE,选项 B 不符合题意;∵ △ACD∽△BCE,∴ ∠DAC = ∠B= 45°,∴ ∠DAC = ∠BCA = 45°,即 AD∥BC,选项 D 不符合题意;∵ △ABC 的面积为定值,∴ 若梯形 ABCD 的 面积最大,则△ACD 的面积最大,∵ △ACD 中,AD 边上的 高为定值,∴ 若△ACD 的面积最大,则 AD 的长最大,由 △ACD∽△BCE 知,当 AD 最长时,BE 也最长,故梯形 ABCD 面积最大时,E、A 重合,此时 EC = AC = 　 2 2 ,AD = 1 2 ,故 S梯形 ABCD 的最大值为 1 2 ×(1+ 1 2 ) × 1 2 = 3 8 ,故选项 C 符合题意. 11. AE=AC(答案不唯一) 12. 22　 【解析】∵ AB = 24 m,BC = 7 m,DE = 20 m,∠ABC = 90°, ∠EDC = 90°, ∴ AC = 　 AB2 +BC2 = 　 242 +72 = 25(m),∵ 梯子长度不变, ∴ EC = AC = 25 m, ∴ CD = 　 EC2 -DE2 = 　 252 -202 = 15(m),∴ BD =BC+CD = 7+15 = 22(m) . 13. 12 5 或 8 3 　 【解析】设 AD= x,则 CD=AC-AD = 6-x,∵ 折叠 △ADE 得到△A′DE,∴ A′D = AD = x,当△A′DC∽△BAC 时,A′D ∶BA = DC ∶ AC, ∴ x ∶ 4 = ( 6 - x) ∶ 6, ∴ x = 12 5 ;当 △A′DC∽△ABC 时,A′D ∶AB=DC ∶BC,∴ x ∶ 4 = (6-x) ∶5, ∴ x= 8 3 ,∴ AD 的长是 12 5 或 8 3 . 14. (1)30°;( 2) 3 　 【解析】 ( 1) 如解图①,连接 CD,∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 为 AB 的中点,∴ DC = DA, ∴ ∠DAC = ∠DCA = 60°, ∴ ∠DCF = 90° - 60° = 30°, ∵ ∠EDF= ∠ACB= 90°,∴ D,E,C,F 四点共圆,∴ ∠DEF = ∠DCF= 30°;(2)如解图②,过点 D 分别作 DP⊥AC 于点 P,DQ⊥BC 于点 Q,∵ AC= 3,BC = 4,∴ AB = 32 +42 = 5, ∵ ∠EDF= 90°,DE = 2DF,易得△DPE∽△DQF,∴ DP DQ = DE DF = 2,∴ DP = 2DQ,∵ DP∥BC,∴ △APD∽△ACB,∴ AP AC =PD CB = AD AB ,∴ AP PD = AC CB = 3 4 ,∴ AP = 3 4 PD = 3 2 DQ,易得 DQ=PC,∴ AP PC = 3 2 ,即 AP AC = 3 5 ,∴ AD AB = 3 5 ,∴ AD= 3. 图① 　 　 图② 第 14 题解图 15.解:由题意知,DE=AB= 20 米,EF=BC= 40 米, ∴ DF=DE+EF= 20+40 = 60(米) . 在 Rt△DFG 中,tan∠GDF= tan30° = FG DF , ∴ FG=DF·tan30° = 60× 3 3 = 20 3 ≈34. 6(米), 在 Rt△EFH 中,tan∠HEF= tan50° = FH EF , ∴ FH=EF·tan50°≈40×1. 19 = 47. 6(米), ∴ GH=FH-FG= 47. 6-34. 6 = 13(米) . 答:信号发射塔 GH 的高约为 13 米. 16.解:(1)∵ ∠BAC= ∠DAE= 90°,AB=AC= 2,AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠ABC= 45°, ∴ DE= 　 AD2 +AE2 = 2AD,BC= 　 AB2 +AC2 = 2 2 . 要使 DE 最小,则 AD 最小,当 AD⊥BC 时,AD 最小. 由等腰直角三角形的性质,可得此时 AD= 1 2 BC= 　 2 , ∴ DE 的最小值为 2. (2)2AE2 =BD2 +CD2 . 证明:∵ ∠BAC= ∠DAE= 90°, ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, ∴ ∠BAD= ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAE, AD=AE, { ∴ △ABD≌△ACE(SAS), ∴ BD=CE,∠ACE= ∠ABD= ∠ACB= 45°, ∴ ∠DCE= ∠ACD+∠ACE= 45°+45° = 90°. 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 DE2 =CE2 +CD2 . ∵ BD=CE,DE= 　 2AE, ∴ 2AE2 =BD2 +CD2 . 第五章诊断卷———四边形(一) 1. D 第 2 题解图 2. C　 【解析】如解图,延长 a,b 交于点 C, ∵ a⊥b,∴ ∠ACB = 90°,∴ 正多边形的一 个外角为 180°-90° 2 = 45°,∴ n= 360° 45° = 8. 3. D　 【解析】∵ AC+BD= 16,∴ 1 2 AC+ 1 2 BD = 8,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AC,BD 相交于点 O, ∴ OA=OC = 1 2 AC,OD = OB = 1 2 BD,∴ OA+OD = 1 2 AC+ 1 2 BD= 8,∵ AD= 6,∴ OA+OD+AD = 8+6 = 14,∴ △AOD 的 周长为 14. 4. D　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠ACD = 45°, ∠ADC= 90°, ∵ △ADE 为等边三角形, ∴ ∠ADE = 60°, ∴ ∠CDE= ∠ADC - ∠ADE = 90° - 60° = 30°, ∴ ∠EFC = ∠ACD+∠CDE= 45°+30° = 75°. 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ BO =DO = 4. 5,AO = CO,S菱形 ABCD = 1 2 AC·BD = 36,∴ AC = 8,∵ AH⊥BC,AO = CO= 4,∴ OH= 1 2 AC= 4. 6. B 　 【解析】正五边形的内角是∠ABC = (5-2) ×180° 5 = 108°,∵ AB=BC,∴ ∠CAB= 36°,正六边形的内角是∠ABE 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 68 参考答案及重难题解析·安徽数学 抢 分 练 小 卷 　 = ∠E = (6-2) ×180° 6 = 120°, ∵ ∠ADE + ∠E + ∠ABE + ∠CAB= 360°,∴ ∠ADE= 360°-120°-120°-36° = 84° 7. A　 【解析】如解图,连接 AP,过点 A作 AH⊥PD 于点 H,∵ 四 边形 PDEF 是矩形,∴ ED = AH = FP,S矩形PDEF = PD·ED, ∴ S矩形PDEF = PD · AH, ∵ S△ADP = 1 2 PD · AH, ∴ S矩形PDEF = 2S△ ADP,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD = AB = 1,∠BAD = 90°,∴ S△APD = 1 2 AD·AB = 1 2 ×1×1 = 1 2 ,∴ S矩形PDEF = 2× 1 2 =1. 第 7 题解图 　 　 第 8 题解图 8. D　 【解析】如解图,连接 AC,BD,∵ E,F,G,H 分别为 CD, AD,AB,BC 的中点,∴ EF􀱀 1 2 AC,GH􀱀 1 2 AC,EH􀱀 1 2 DB,FG􀱀 1 2 BD,∴ EF􀱀GH,∴ 四边形 EFGH 是平行四边 形,∵ AC = BD,∴ EF = EH,∴ 平行四边形 EFGH 是菱形, ∵ AC⊥BD,∴ ∠AOD = 90°, ∵ EF∥AC, ∴ ∠FMO = 90°, ∵ EH∥DB,∴ ∠FEH= 90°,∴ 菱形 EFGH 是正方形. 第 9 题解图 9. B　 【解析】如解图,过点 A 作 AN ⊥BC 于点 N,过 E 作 EM⊥BC 于点M,作 EO⊥FG 于点 O. ∵ 四 边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC, BC= AB = 8,∵ FG⊥BC,∴ 菱形 ABCD 的面积 = BC·FG = 48,∴ FG= 6. ∵ ∠FEG = 90°,EG = FE, ∴ O 是 FG 的中点,∴ OE= 1 2 FG= 1 2 ×6 = 3,∴ OE =OF. 又 ∵ EM⊥BC,FG⊥BC,EO⊥FG,∴ 四边形 OEMF 是正方 形,∴ FM=OE= EM =OF = 3,∵ BC⊥FG,EO⊥FG,∴ AD∥ OE∥BF, ∵ OG = OF, ∴ AE = BE = 1 2 AB = 4, ∴ MB = 　 BE2 -EM2 = 　 7 ,∴ BF=MB+MF= 　 7 +3. 10. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB = CD,AD = BC, 设点 P 到 AB、BC、CD、DA 的距离分别为 h1 、h2 、h3 、h4 , S1 = 1 2 AB·h1 ,S2 = 1 2 BC·h2 ,S3 = 1 2 CD·h3 ,S4 = 1 2 AD ·h4 ,∵ 1 2 AB·h1 + 1 2 CD·h3 = 1 2 AB·BC, 1 2 BC·h2 + 1 2 AD·h4 = 1 2 AB·BC,∴ S2 +S4 = S1 +S3 ,不能得出 S1 +S4 =S2 +S3 ,故①错误,②正确;根据 S3 = 2S1 ,能得出 h3 = 2h1 ,不能推出 h4 = 2h2 ,即不能推出 S4 = 2S2 ,故③错误; ∵ S1 =S2 ,S2 +S4 = S1 +S3 ,∴ S4 = S3 ,∴ S1 +S4 = S2 +S3 = 1 2 S矩形ABCD,∴ 点 P 一定在该矩形的对角线上,故④正确. 11. 八 12. 2　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD= 6, DC∥AB, AD = BC = 4, ∴ ∠DEA = ∠EAB, ∵ AE 平分 ∠DAB,∴ ∠DAE = ∠EAB,∴ ∠DAE = ∠DEA,∴ AD =DE, ∵ AD= 4,∴ DE= 4,∴ EC= 6-4 = 2. 13. 　 5 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A = 90°,AD = BC= 3,AD∥BC,∴ ∠AEB = ∠FBC, ∵ BE = BC,AB = 2, ∴ AE= BE2 -AB2 = 　 5 . ∵ CF⊥BE,∴ ∠BFC = 90°,在 △ABE 和△FCB 中, ∠A= ∠CFB, ∠AEB= ∠FBC, BE=CB, { ∴ △ABE≌△FCB (AAS),∴ BF=AE= 　 5 . 14. (1)BD2 =BP·DQ;(2)3 2 　 【解析】(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = AD = BC = CD,AB∥CD,AD∥BC,∴ ∠PBC = ∠A = ∠CDQ, ∠APQ = ∠DCQ, ∴ △BCP ∽ △DQC, ∴ BP DC = BC DQ ,∵ ∠A= 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∴ BD = BC=CD,∴ BP BD =BD DQ ,∴ BD2 =BP·DQ;(2)∵ △ABD 是等 边三角形,∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°,∴ ∠PBD = ∠QDB = 120°,∵ BP BD =BD DQ ,∴ △DBP∽△QDB,∴ ∠BDP = ∠DQB, ∵ ∠DBO= ∠QBD,∴ △BDO∽△BQD,∴ BD BQ =BO BD ,∴ BD 7+2 = 2 BD ,∴ BD= 3 2 (负值舍去) . 15. (1)证明:∵ AB=AC,AD⊥BC, ∴ D 点是 BC 的中点. ∵ E 点是 AB 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线,∴ DE∥AC. ∵ DG⊥AC,EF⊥AC,∴ EF∥DG, ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形. 又∵ ∠EFG= 90°,∴ 四边形 DEFG 为矩形; (2)解:∵ AD⊥BC 于 D 点,E 点是 AB 的中点,AB= 10, ∴ DE=AE= 1 2 AB= 5. 由(1)知,四边形 DEFG 为矩形,则 GF = DE = 5,DG = EF = 4, ∴ AF= AE2 -EF2 = 52 -42 = 3. ∵ AB=AC= 10,FG=ED= 5, ∴ GC=AC-FG-AF= 10-5-3 = 2, ∴ DC= 　 DG2 +CG2 = 42 +22 = 2 5 , 由(1)知 D 点是 BC 的中点, ∴ BC= 2DC= 4 5 . 16. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=CD,∠ADC= 90°,DB 平分∠ADC, ∴ ∠ADP= ∠CDP, 在△ADP 和△CDP 中, AD=CD, ∠ADP= ∠CDP, DP=DP, { ∴ △ADP≌△CDP(SAS), ∴ ∠PAD= ∠PCD. 在四边形 MPCD 中,∠MPC= ∠MDC= 90°, ∴ ∠PMD+∠PCD= 180°, 又∵ ∠AMP+∠PMD= 180°, ∴ ∠DCP= ∠PMA,∴ ∠PAD= ∠PMA; (2)证明:在正方形 ABCD 中,BD 是对角线, ∴ AB = BC = CD = DA, ∠ABD = ∠CBD = ∠CDB = ∠ADB = 45°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78 参考答案及重难题解析·安徽数学 抢 分 练 小 卷 在△AND 和△CND 中, AD=CD, ∠ADN= ∠CDN, DN=DN, { ∴ △AND≌△CND(SAS),∴ AN=CN, 同理△ABP≌△CBP,∴ AP=CP. ∵ AP∥CN,∴ ∠APN= ∠CNP, ∴ 180°-∠APN= 180°-∠CNP, ∴ ∠APB= ∠CND, 在△ABP 和△CDN 中, ∠APB= ∠CND, ∠ABP= ∠CDN, AB=CD, { ∴ △ABP≌△CDN(AAS), ∴ AP=CN,∴ AP=CP=CN=AN, ∴ 四边形 APCN 是菱形; (3)解:CM 的长为 2 5 . 【解法提示】如解图,过点 P 作 PG⊥AD 于点 G,设 PF,CD 交于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是 正方形, ∴ AD = CD = 4, ∠ADB = ∠CDB = 45°, ∠ADC = ∠CDM= 90°. 在△ADP 和△CDP 中, AD=CD, ∠ADP= ∠CDP, DP=DP, { ∴ △ADP≌△CDP(SAS),∴ ∠PAD = ∠PCD,∵ ∠EPF = ∠CDM = 90°, ∠CHP = ∠DHM, ∴ ∠PCD = ∠AMP, ∴ ∠PAD= ∠AMP,∴ AP = PM,∵ PG⊥AD,∴ MG = AG, ∵ △PDG 是等腰直角三角形, ∴ PD = 2 PG = 2 DG, ∵ PD= 2 ,∴ PG=DG = 1,∴ AG =MG = AD-DG = 3,∴ DM = MG - DG = 2, 在 Rt △CDM 中, CM = CD2 +DM2 = 42 +22 = 2 5 . 第 16 题解图 第五章诊断卷———四边形(二) 1. C　 2. B 3. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ DO = CO = 1 2 BD = 3 3 ,∵ ∠AOB = ∠COD = 60°,∴ △ODC 为等边三角形, ∴ DC=OD= 3 3 . 4. B　 【解析】∵ ▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AB = 11,∴ CD=AB = 11,AC = 2OC,BD = 2OD,∵ △OCD 的周长 为 29,∴ OC+OD = 29 - 11 = 18, ∴ AC +BD = 2 (OC +OD) = 36. 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,AC = 2OC, BD= 2OB,∵ ∠ACB = 60°,∴ ∠CBO = 30°,∴ OC OB = tan30° = 　 3 3 ,∴ BD AC = 2OB 2OC = 3 . 第 6 题解图 6. C　 【解析】如解图,过点 E 作 EF⊥BD, 交 BD 于点 F. ∵ 四边形 ABCD 为正方 形,AB = 2,∴ ∠DBE = 45°,BC = AB = 2, ∴ BD= BC cos45° = 2 2,∵ E 为 BC 中点, ∴ BE= 1 2 BC=1,∴ EF=BF=BE·sin45° = 2 2 ,∴ DF=BD-BF= 3 2 2 ,∴ tan∠BDE= EF DF = 1 3 . 7. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA =OC,OB = OD, AC=BD,∠ABC= 90°,∴ OA=OB,∵ AE 是 OB 的垂直平分 线,∴ OA = AB,∴ OA = AB = OB,∴ △AOB 是等边三角形, ∴ OA= AB = 3, ∴ OC = OA = 3, ∴ AC = OA +OC = 6. 在 Rt △ABC 中,由勾股定理得 BC = AC2 -AB2 = 62 -32 = 3 3 . 8. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AD =BC,∠BAD= ∠C= 60°,∵ ∠EAB = 40°,∴ ∠EAD = ∠BAD -∠EAB= 20°. ∵ ∠DAB = 60°,∴ ∠ABC = 120°,∵ BE 平分 ∠ABC,∴ ∠CBE = 1 2 ∠ABC = 60°,∴ △BCE 是等边三角 形,∴ BE = BC, ∴ BE = AD, ∴ ∠BED = 120° = ∠ADE. 在 △BDE 与△AED 中, BE=AD, ∠BED= ∠ADE, ED=DE, { ∴ △BDE≌ △AED ( SAS), ∴ ∠DBE = ∠EAD = 20°, ∴ ∠CBD = 20° + 60° = 80°. 9. D　 【解析】 ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADO = ∠CBO,在△AOD 和 △COB 中, ∠ADO= ∠CBO, ∠AOD= ∠BOC, AO=OC, { ∴ △AOD≌ △COB ( AAS), ∴ AD=BC,∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,若 AC=BD,则四边形 ABCD 是矩形,故 A 选项不符合题意; 若 BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠ADB,∴ AB=AD,则四边形 ABCD 是菱形,故 B 选项不符合题意;若 AB⊥BC 且 AC⊥ BD,则四边形 ABCD 是正方形,故 C 选项不符合题意;若 AB=BC 且 AC⊥BD,则四边形 ABCD 是菱形,故 D 选项符 合题意. 10. A　 【解析】如解图,作点 M 关于 AD 的对称点 M′,连接 M′N 交 AD 于点 P,连接 AM′,MM′,作 M′K⊥AC 于点 K, 连接 BD 交 AC 于点 O,∵ ∠ABC = 120°,∴ ∠BAD = 60°, ∴ ∠DAC= 1 2 ∠BAD = 30°. 易得 BD = AB = 6,∴ DO = 1 2 BD= 3,∴ AO = 　 3 DO = 3 3 ,∴ AC = 2AO = 6 3 ,∴ AM = MN=NC= 1 3 AC= 2 3 . 由对称性可得 AM = AM′,∠M′AM = 2∠DAO= 60°,∴ △M′AM 为等边三角形,∴ K 为 AM 中 点,∴ KM= 1 2 AM= 3 ,∴ KM′= 　 3KM= 3,KN=KM+MN = 3 3 . 在 Rt △M′ KN 中, 由 勾 股 定 理 得, M′ N = 　 M′K2 +KN2 = 6,∴ PM+PN 的最小值为 6. 由对称性可 知,每条边上都有一个点 P 符合条件,∴ 满足 PM+PN = 6 的点 P 有 4 个. 第 10 题解图 　 第 11 题解图 11. 1 2 　 【解析】如解图,连接 BD,∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC = BD, ∵ M,N 分别为 BC, CD 的中点, ∴ MN 是 △CDB 的中位线,∴ MN BD = 1 2 ,∴ MN AC = 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 88