第07讲 三角形的性质与判定（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第07讲 三角形的性质与判定 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CO为AB边上的中线．若∠B＝50°，则∠OCA的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得到OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠A，即可求解． 【解答】解：由条件可知OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°， 故选：A． 2．如图，若∠A＝∠B，∠C＝50°，则∠D的度数是（　　） A．20° B．50° C．40° D．30° 【分析】根据三角形内角和定理与等量代换得到∠D＝∠C＝50°． 【解答】解：∵∠1+∠A+∠C＝180°，∠2+∠B+∠D＝180°， 而∠A＝∠B，∠1＝∠2， ∴∠D＝∠C＝50°． 故选：B． 3．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC＝35°，则∠ECA的度数为（　　） A．35° B．25° C．30° D．45° 【分析】由等边三角形的性质得AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，则∠EAC＝∠DAB＝60°﹣∠CAD，即可根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，因为∠DBA＝∠ABC﹣∠EBC＝25°，所以∠ECA＝∠DBA＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠EAC＝∠DAB＝60°﹣∠CAD， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∵点B，D，E在同一直线上，∠EBC＝35°， ∴∠DBA＝∠ABC﹣∠EBC＝25°， ∴∠ECA＝∠DBA＝25°， 故选：B． 4．在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD．下列条件中，不能推出“F一定是CD的中点”的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠CBE＝∠DEB C．∠BCF＝∠EDF D．∠BAF＝∠EAF 【分析】利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【解答】解：A选项：如下图所示，连接AC、AD， 在△ABC 和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， 又∵AF⊥CD，根据三角形的三线合一定理可知：点F是CD的中点，故A选项不符合题意； B选项：如下图所示，连接BE、AC、AD， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， 又∵∠CBE＝∠DEB， ∴∠ABE+∠CBE＝∠AEB+∠DEB， ∴∠ABC＝∠AED， 由A选项可知点F是CD的中点， 故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，延长BC、ED交于点M，连接AM， ∵∠BCF＝∠EDF， ∴∠MCF＝∠MDF， ∵MC＝MD， ∵BC＝ED， ∴BM＝EM， 在△ABM和△AEM中， ， ∴△ABM≌△AEM（SSS）， ∴△ABM和△AEM关于AM轴对称，且点C和点D 是对应点， ∴AM⊥CD，且AM平分CD， 又∵AF⊥CD， ∴AF与AM重合， ∴点F是CD的中点，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，连接BF、EF， 在△ABF和△AEF中， ， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴BF＝EF，∠AFB＝∠AFE， ∵AF⊥CD，∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴∠BFC＝∠EFD， 在△BCF和△EDF中，两组边和一组边的对角相等， ∴不能证明△BCF和△EDF全等， ∴不能推出F一定是CD的中点， 故D选项不符合题意； 故选：D． 5．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， ∵AB＝6，BC＝7， ∴△ABF＝AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6+7＝13， 故选：A． 6．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝8，则PD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】过P作PH⊥OA于H，由平行线的性质推出∠PCH＝∠AOB＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到PHPC8＝4，由角平分线的性质推出PD＝PH＝4． 【解答】解：过P作PH⊥OA于H， ∵PC∥OB， ∴∠PCH＝∠AOB＝30°， ∵∠PHC＝90°， ∴PHPC8＝4， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PH⊥OA， ∴PD＝PH＝4． 故选：B． 7．如图，CD是△ABC的中线，点E和点F分别是CD和AE的中点，若△BEF的面积为，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积即可求解． 【解答】解：∵F是AE的中点， ∴BF是△ABE的中线， ∴S△ABF＝S△BEF， ∴S△ABE＝2S△BEF＝3， ∵D是AB的中点， ∴ED是△ABE的中线， ∴S△ADE＝S△BDES△ABE， ∵E是CD的中点， ∴AE是△ACD的中线， ∴S△ACD＝2S△ADE＝3， ∴S△ABC＝2S△ACD＝6， 故选：A． 8．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　） A． B．4cm C． D．5cm 【分析】如图，连接BC，过C作CT⊥AB于T，求解，BC，AT＝AC•cos60°＝4，，AD＝4+DT，，由BD最大，可得AD最小，可得DT最小，可得CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小，再进一步求解即可． 【解答】解：如图，连接CD，过C作CT⊥AB于T， ∵三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°， ∴AB16，， ∴AT＝AC•cos60°＝4，， ∴AD＝4+DT，DT， ∵BD最大， ∴AD最小， ∴DT最小， ∴CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小， 此时四边形MPDC为矩形， ∴CD＝MP＝10， ∴DT， ∴AD， ∴BD， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D，E分别在AB，AC上，CD＝BE＝9，记BD长为x，CE长为y，x＞y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2 【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC于点F，设∠ABC＝∠ACN＝α，利用锐角三角函数的定义得DH＝xsinα，BH＝xcosα，则CH＝10﹣xcosα，由勾股定理得DH2+CH2＝CD2，则（xsinα）2+（10﹣xcosα）2＝92，整理得x2+19＝20xcosα①，同理得EF＝ysinα，CF＝ycosα，BF＝10﹣ycosα，由勾股定理得EF2+BF2＝BE2，即（ysinα）2+（10﹣ycosα）2＝92，整理得y2+19＝20ycosα②，由①②得，整理得（x﹣y）（xy﹣19）＝0，然后根据x＞y得xy＝19，据此即可得出答案． 【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示： ∵AB＝AC，BC＝10，CD＝BE＝9，BD＝x，CE＝y， ∴设∠ABC＝∠ACN＝α， 在Rt△BDH中，sin∠ABC，cos∠ABC， ∴DH＝BD•sin∠ABC＝xsinα，BH＝BD•cos∠ABC＝xcosα， ∴CH＝BC﹣BH＝10﹣xcosα， 由勾股定理得：DH2+CH2＝CD2， ∴（xsinα）2+（10﹣xcosα）2＝92， ∴x2sin2α+100﹣20xcosα+x2cos2α＝81， ∴x2（sin2α+cos2α）+19＝20xcosα， 即x2+19＝20xcosα①， 在Rt△CEF中，同理得：EF＝ysinα，CF＝ycosα， ∴BF＝BC﹣CF＝10﹣ycosα， 由勾股定理得：EF2+BF2＝BE2， ∴（ysinα）2+（10﹣ycosα）2＝92， ∴y2sin2α+100﹣20ycosα+y2cos2α＝81， ∴y2（sin2α+cos2α）+19＝20ycosα， 即y2+19＝20ycosα②， 由①②得：， ∴x2y+19y＝xy2+19x， ∴x2y﹣xy2﹣19x+19y＝0， ∴xy（x﹣y）﹣19（x﹣y）＝0， 即（x﹣y）（xy﹣19）＝0， ∴x＞y， ∴x﹣y＞0， ∴xy﹣19＝0， ∴xy＝19， ∴当x，y的值发生变化时，代数式xy的值不变，始终等于19． 故选：A． 10．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①D为AC的中点；②△AEC为等腰三角形；③BE平分∠FEC；④BA+BC＝2BF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据BD是∠ABC的平分线得当AB＝CB时，点D为AC中点，但是根据已知条件无法判定AB＝CB，由此可对结论①进行判断； ②先证明∠BCD＝∠BEA，再证明△ABD和△EBC全等得∠ADB＝∠ECB，再根据∠ADB＝∠EAC+∠BEA，∠ECB＝∠ECA+∠BCD即可得出∠EAC＝∠ECA，由此可对结论②进行判断； ③由∠ABD＝∠CBD＝α得∠ABC＝2α，∠BCD＝90°α，进而得∠BAD＝90°α，由△ABD和△EBC全等得∠BAD＝∠BEC＝90°α，再根据EF⊥AB得∠BEF＝90°﹣α，则∠BEC≠∠BEF，由此可对结论③进行判断； ④过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，证明Rt△BEF和Rt△BEG全等得EF＝EG，BE＝BE，再证明Rt△EFA和Rt△EGC全等得AF＝CG，则BC＝BG﹣CG＝BF﹣AF，进而得BA+BC＝2BF，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵BD是∠ABC的平分线， ∴当AB＝CB时，点D为AC中点， 但是根据已知条件无法判定AB＝CB， ∴结论①不正确； ②∵BD是∠ABC的平分线， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α， ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣﹣∠CBD）＝90°α， ∵BE＝BA， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣∠ABD）＝90°α， ∴∠BCD＝∠BEA， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴∠ADB＝∠ECB， ∵∠ADB是△ADE的外角， ∴∠ADB＝∠EAC+∠BEA， 又∵∠ECB＝∠ECA+∠BCD， ∴∠EAC+∠BEA＝∠ECA+∠BCD， ∵∠BCD＝∠BEA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴△AEC是等腰三角形， 故结论②正确； ③∵∠ABD＝∠CBD＝α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝2α， 又∵∠BCD＝90°α， ∴在△ABC中，∠BAD＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣（2α+90°α）＝90°α， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BAD＝∠BEC＝90°α， ∵EF⊥AB， 在Rt△BEF中，∠BEF＝90°﹣∠ABD＝90°﹣α， ∴∠BEC≠∠BEF， ∴BE不是∠FEC的平分线， 故结论③不正确； ④过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，如图所示： ∵BD是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EG⊥BC， ∴EF＝EG， 在Rt△BEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△BEG（HL）， ∴BF＝BG， ∵∠EAC＝∠ECA， ∴EA＝EC， 在Rt△EFA和Rt△EGC中， ， ∴Rt△EFA≌Rt△EGC（HL）， ∴AF＝CG， ∴BC＝BG﹣CG＝BF﹣AF ∴BA+BC＝BF+AF+BF﹣AF＝2BF， 故结论④正确． 综上所述：正确的结论有②④，共2个． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，AC＝BD＝3，∠ACD+∠ABD＝210°，则AB的长为　6　 ． 【分析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE＝AC，∠ACD＝∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝90°，由勾股定理得出BE2＝DE2+BD2，即可得出结果． 【解答】解：过点A作AE∥CD，使AE＝CD，连接BE、DE，如图所示： 则四边形ACDE是平行四边形， ∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED， ∵∠AOC＝60°，AB＝CD，AE∥CD， ∴∠EAB＝∠AOC＝60°，CD＝AE＝AB， ∴△ABE为等边三角形， ∴BE＝AB， ∵∠ACD+∠ABD＝210°， ∴∠AED+∠ABD＝210°， ∴∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°， ∴BE2＝DE2+BD2， ∴AB2＝AC2+BD2， ∵AC＝BD＝3， ∴AB＝6（负值已舍）， 故答案为：6． 12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　4　 ． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD＝3，再由BD＝BC﹣CD即可得出结论． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7， ∴AD＝CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　135°　 ． 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°． 【解答】解：∵在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3＝∠ACB， ∵∠ACB+∠1＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°， 故答案为：135°． 14．如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，O是斜边AC的中点，D为点O上方一点，且，，∠BDC＝45°，则线段CD的长为 　14　 ． 【分析】作△ABC的外接圆，过点B作BE⊥CD于点E，则点O是△ABC的外接圆的圆心，根据等腰三角形性质及已知得∠A＝∠BCD＝45°，则点D在△ABC的外接圆上，进而得OA＝OB＝OC＝OD，则AC，由勾股定理得AB＝BCAC＝10，证明△BDE是等腰直角三角形，再由勾股定理得BE＝DEBD＝8，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出CE＝6，继而根据CD＝BE+CE即可得出答案.. 【解答】解：作△ABC的外接圆，过点B作BE⊥CD于点E，如图所示： 在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°， ∴AB＝CB，∠A＝∠ACB＝45°， ∵O是Rt△ABC斜边AC的中点， ∴OA＝OB＝OC， ∴点O是△ABC的外接圆的圆心， ∵∠BCD＝45°， ∴点D在△ABC的外接圆上， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝2OA， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：ACAB， ∴AB＝BCAC10， ∵BE⊥CD，∠BDC＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BE＝DE， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BDBE， ∴BE＝DEBD8， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE6， ∴CD＝BE+CE＝8+6＝14． 故答案为：14． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　　 ． 【分析】连接BP，利用等腰三角形的对称性得BP＝PC，则PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，当BQ⊥AC时，BQ的值最小，利用勾股定理列方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BP， 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8， ∴BD＝DC， ∴BP＝PC， ∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ， ∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小， ∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小， 令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a， ∵BQ'⊥AC， ∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2， 即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2， 解得a， ∴BQ'， ∴PC+PQ的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，且BF＝EC，若AC∥FD，AC＝FD．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】先证明∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等． 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF． ∵AB∥ED， ∴∠B＝∠E． ∵AC∥FD， ∴∠ACB＝∠DFE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 17．（7分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网格格点上．求证：BC⊥CE． 【分析】连接BE，利用勾股定理可得BC2＝EC2＝32+12＝10，BE2＝22+42＝20，根据勾股定理的逆定理即可得出答案． 【解答】证明：连接BE， 由勾股定理得，BC2＝EC2＝32+12＝10，BE2＝22+42＝20， ∴BC2+EC2＝BE2， ∴∠BCE＝90°， ∴BC⊥CE． 18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线． （1）若∠A＝40°，求∠CBD的度数． （2）求证：AD﹣CD＝2DE． 【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，而∠A＝40°，所以2∠C+40°＝180°，求得∠C＝70°，因为BD是边AC上的高，所以∠BDC＝90°，则∠CBD＝20°； （2）在AD上取一点F，使FD＝CD，连接FB，分别取AB、FB的中点H、L，连接EH、DL、HL，因为BE是边AC上的中线，所以点E是AC的中点，则EH∥DL∥BC，且EH＝DLBC，所以四边形DEHL是平行四边形，则HL＝DE，所以AF＝2HL＝2DE，即可证明AD﹣CD＝2DE． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，且∠A＝40°， ∴2∠C+40°＝180°， ∴∠C＝70°， ∵BD是边AC上的高， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠C＝20°， ∴∠CBD的度数是20°． （2）证明：在AD上取一点F，使FD＝CD，连接FB，分别取AB、FB的中点H、L，连接EH、DL、HL， ∵BE是边AC上的中线， ∴点E是AC的中点， ∴EH∥BC，且EHBC，DL∥BC，且DLBC， ∴EH∥DL，且EH＝DL， ∴四边形DEHL是平行四边形， ∴HL＝DE， ∴AF＝2HL＝2DE， ∵AF＝AD﹣FD＝AD﹣CD， ∴AD﹣CD＝2DE． 19．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（5，3）．请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，求线段BC在旋转过程中扫过的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）先计算出OB和OC的长，根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求； （2）如图2，△A2B2C2即为所求； （3）由勾股定理得：OB，OC， ∴线段BC在旋转过程中扫过的面积＝扇形OB2B的面积﹣扇形COC2的面积π． 20．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．点M，N分别是AB，AC上的动点，且满足AM＝AN．连接BN，交AD于点E，过点M作MF⊥BN，交BC于点F，垂足为H． （1）如图1，当AE＝AN时，求证：BM＝BF； （2）如图2，当AE≠AN时，依题意补全图形，用等式表示线段DE与BF的数量关系，并证明． 【分析】（1）先根据等腰三角形和直角三角形性质证明∠MAH＝∠FBH，进而可依据“ASA”判定△BHM和△BHF全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）过点C作CH⊥BC交BN的延长线于点H，先证明∠MBF＝∠NCH＝45°，∠1＝∠3，再根据AB＝AC，AM＝AN得BM＝CN，由此可依据“ASA”判定△BMF和△CNH全等，则BF＝CH，然后证明DE是△ACH的中位线得DECH，由此即可得出线段DE与BF的数量关系． 【解答】（1）证明：如图1所示： ∵AE＝AN， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， ∴∠MAH+∠1＝90°，∠FBH+∠3＝90°， ∴∠MAH＝∠FBH， ∵MF⊥BN， ∴∠BHM＝∠BHF＝90°， 在△BHM和△BHF中， ， ∴△BHM≌△BHF（ASA）， ∴BM＝BF； （2）线段DE与BF的数量关系是：DEBF，证明如下： 过点C作CH⊥BC交BN的延长线于点H，如图2所示： ∴∠BCH＝90°， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠MBC＝∠ACB＝45°， 又∴AD⊥BC， ∴点D是ABC的中点， ∴∠NCH＝∠BCH﹣∠ACB＝45°， ∴∠MBF＝∠NCH＝45°， ∵MF⊥BN，∠BAC＝90°， ∴∠1+∠ABN＝90°，∠2+∠ABN＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∵AB＝AC，AM＝AN， ∴AB﹣AM＝AC﹣AN， ∴BM＝CN， 在△BMF和△CNH中， ， ∴△BMF≌△CNH（ASA）， ∴BF＝CH， ∵AD⊥BC，CH⊥BC， ∴AD∥CH， 又∵点D是ABC的中点， ∴DE是△ACH的中位线， ∴DECH， ∴DEBF． 21．（9分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，BD平分∠ABC，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿射线BD以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，点Q、点P同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ与△ABC重叠部分面积为S． （1）AD＝　　 ，BD＝　　 ． （2）用含t的代数式表示点Q到AB的距离． （3）当PQ与△ABC的一边平行时，求S的值． （4）当点Q不与点B重合时，作点Q关于直线AB的对称点Q'，当直线PQ′经过△ABC一边中点时，直接写出t的值． 【分析】（1）如图1中，过点D作DM⊥BC于点M．DN⊥AB于点N．证明四边形DMBN是正方形，设DM＝BM＝BN＝DN＝x，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解可得结论； （2）如图1中，过点Q作QJ⊥AB于点J．利用等腰直角三角形的性质求解即可； （3）分两种情形：如图2中，当PQ∥AC时，如图3中，当PQ∥BC时，分别求解即可； （4）由（3）可知，当t＝2时，PQ′垂直平分线段AB，此时直线PQ′经过AB，AC的中点．如图4中，当直线PA′经过AC的中点H时，过点Q作QJ⊥AB于点J．利用相似三角形的性质，构建方程求解． 【解答】解：（1）如图1中，过点D作DM⊥BC于点M．DN⊥AB于点N． ∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°， ∴AC5， ∵DM⊥BC，DN⊥AB，BD平分∠ABC， ∴DM＝DN， ∵∠DMB＝∠DNB＝∠MBN＝90°， ∴四边形DMBN是矩形， ∵DM＝DN， ∴四边形DMBN是正方形， 设DM＝BM＝BN＝DN＝x， ∵DN∥BC， ∴， ∴， ∴x， ∴DN＝DM＝BM＝BN， ∴AN＝AB﹣BN＝4，BDDN． ∴AD． 故答案为：，； （2）如图1中，过点Q作QJ⊥AB于点J． ∵∠QBJ＝45°，∠QJB＝90°， ∴∠JBQ＝∠JQB＝45°， ∴QJ＝BJ， ∵BQt， ∴QJ＝t， ∴点Q到AB的距离为t； （3）如图2中，当PQ∥AC时， 则有， ∴， ∴t，此时S． 如图3中，当PQ∥BC时，PQ⊥AB，此时PQ＝BP＝t，AP＝t， ∴2t＝4， ∴t＝2，此时S， 综上所述，满足条件的S的值为或； （4）由（3）可知，当t＝2时，PQ′垂直平分线段AB，此时直线PQ′经过AB，AC的中点． 如图4中，当直线PA′经过AC的中点H时，过点Q作QJ⊥AB于点J． ∵AP＝BJ＝t， ∴AJ＝BP＝4﹣t， ∴PJ＝4﹣2（4﹣t）＝2t﹣4， 由对称的性质可知∠APQ＝∠APQ′＝∠BPH， ∵∠QJP＝∠PBH＝90°， ∴△QJP∽△HBP， ∴， ∴， 解得t＝3或﹣2， 经检验t＝3是分式方程的解，且符合题意． 综上所述，满足条件的t的值为2或3． 22．（13分）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围； （2）如图2，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，D为BC的中点，求证：EF＝2AD； （3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，∠BAC+∠BAD＝180°，试探究BD与EF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据△ADC≌△PDB可得BP＝AC＝5，在△ABP中利用三角形的三边关系可求得3＜AP＜13，即可根据AP＝2AD求解； （2）延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，先证明△ADC≌△GDB（SAS），得到AC＝BG，∠C＝∠GBD，再证明△ABG≌△EAF（SAS），即可得结论； （3）延长EF到G，使得EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使得AH＝AD，连接BH，先证△BEF≌△CGF（SAS）可得BE＝CG，∠G＝∠BEF，再证明△BAH≌△BAD（SAS），得到BD＝BH，∠H＝∠ADB＝∠CEF，最后证明△HBE≌△EGC（AAS），得到BH＝EG＝BD＝2EF． 【解答】（1）解：如图1，延长AD至P，使AD＝DP，连接BP， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵∠ADC＝∠PDB， ∴△ADC≌△PDB（SAS）， ∴BP＝AC＝5． ∵AB﹣BP＜AP＜AB+BP， ∴8﹣5＜AP＜8+5， ∴3＜AP＜13， ∵DP＝AD， ∴AP＝2AD， ∴3＜2AD＜13， 解得1.5＜AD＜6.5， 即AD的取值范围为1.5＜AD＜6.5； （2）证明：如图2，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，则AG＝2AD， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴∠C＝∠GBD，AC＝BG， ∴AC∥BG， ∴∠ABG+∠BAC＝180°， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠ABG＝∠EAF， 在△EAF和△ABG中， ， ∴△EAF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝EF， ∴EF＝2AD； （3）解：BD＝2EF，理由如下： 如图3，延长EF到G，使得EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使得AH＝AD，连接BH， ∵F是BC的中点， ∴CF＝BF． ∵∠EFB＝∠CFG， ∴△BEF≌△CGF（SAS）， ∴BE＝CG，∠G＝∠BEF， ∴CG∥BE， ∴∠BEH＝∠GCE． ∵∠BAC+∠BAH＝180°，∠BAC+∠BAD＝180°， ∴∠BAH＝∠BAD． 在△BAH和△BAD中 ， ∴△BAH≌△BAD（SAS）， ∴BH＝BD，∠H＝∠ADB． ∵∠ADB＝∠CEF， ∴∠H＝∠CEF， ∴△HBE≌△EGC（AAS）， ∴EG＝BH＝BD＝2EF， 即BD＝2EF． 23．（14分）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论： 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN； 【学以致用】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系． 【分析】（1）①证明△BDE≌△MDF，得到BE＝MF，证明∠FMC＝∠ACB，得到MF＝CF，即可证明结论； ②证明△DEM≌△DFC，得到ME＝CF，证明∠EMD＝∠MBE，得到ME＝BE，即可证明结论； （2）延长AD，使得AD＝DM，连接CM，证明△ABD≌△MCD，得到∠EAD＝∠CMN，AB＝MC，证明∠CNM＝∠CMN，得到CN＝MC，即可证明结论； （3）延长ED，使得DM＝ED，连接CM，证明△CDM≌△BDE，得到CM＝BE，∠M＝∠BED，证明∠CNM＝∠M，得到CN＝CM，根据直角三角形的性质得到ABBC，根据BE﹣AE＝ABBC，即可证明结论． 【解答】（1）证明：①∵ED＝DF，DM＝BD，∠BDE＝∠MDF， ∴△BDE≌△MDF（SAS）， ∴BE＝MF，∠DBE＝∠DMF， ∴180°﹣∠DBE＝180°﹣∠DMF， 即∠ABC＝∠FMC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠FMC＝∠ACB， ∴MF＝CF， ∵BE＝MF， ∴BE＝CF； ②∵EM∥AC， ∴∠EMD＝∠ACB， ∵∠MDE＝∠CDF，ED＝DF， ∴△DEM≌△DFC（AAS）， ∴ME＝CF， ∵AB＝CD， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠EMD＝∠ACB，∠MBE＝∠ABC， ∴∠EMD＝∠MBE， ∴ME＝BE， ∴BE＝CF； （2）证明：延长AD，使得AD＝DM，连接CM， ∵D是BC中点， ∴BD＝CD， ∵AD＝DM，∠ADB＝∠MDC， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴∠EAD＝∠CMN，AB＝MC， ∵∠EAD+∠ANC＝180°，∠ANE+∠ANC＝180°， ∴∠EAD＝∠ANE， ∵∠ANE＝∠CNM，∠EAD＝∠CMN， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝MC， ∵AB＝MC， ∴AB＝CN； （3）解：CN﹣AEBC，理由如下： 延长ED，使得DM＝ED，连接CM， ∵BD＝CD，∠CDM＝∠BDE，DM＝ED， ∴△CDM≌△BDE（SAS）， ∴CM＝BE，∠M＝∠BED， ∴CM∥BE， ∴∠ACM＝180°﹣∠BAC＝90°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF∠BAC＝45°， ∵ED∥AF， ∴∠CNM＝∠CAF＝45°， ∴∠M＝180°﹣∠CNM﹣∠ACM＝45°， ∴∠CNM＝∠M， ∴CN＝CM， ∴CN＝BE， ∵∠ACB＝30°，∠BAC＝90°， ∴ABBC， ∵BE﹣AE＝ABBC， ∴CN﹣AEBC． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形的性质与判定 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CO为AB边上的中线．若∠B＝50°，则∠OCA的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 2．如图，若∠A＝∠B，∠C＝50°，则∠D的度数是（　　） A．20° B．50° C．40° D．30° 3．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC＝35°，则∠ECA的度数为（　　） A．35° B．25° C．30° D．45° 4．在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD．下列条件中，不能推出“F一定是CD的中点”的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠CBE＝∠DEB C．∠BCF＝∠EDF D．∠BAF＝∠EAF 5．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 6．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝8，则PD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，CD是△ABC的中线，点E和点F分别是CD和AE的中点，若△BEF的面积为，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　） A． B．4cm C． D．5cm 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D，E分别在AB，AC上，CD＝BE＝9，记BD长为x，CE长为y，x＞y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2 10．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①D为AC的中点；②△AEC为等腰三角形；③BE平分∠FEC；④BA+BC＝2BF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，AC＝BD＝3，∠ACD+∠ABD＝210°，则AB的长为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ． 13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　 　 ． 14．如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，O是斜边AC的中点，D为点O上方一点，且，，∠BDC＝45°，则线段CD的长为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，且BF＝EC，若AC∥FD，AC＝FD．求证：△ABC≌△DEF． 17．（7分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网格格点上．求证：BC⊥CE． 18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线． （1）若∠A＝40°，求∠CBD的度数． （2）求证：AD﹣CD＝2DE． 19．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（5，3）．请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，求线段BC在旋转过程中扫过的面积． 20．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．点M，N分别是AB，AC上的动点，且满足AM＝AN．连接BN，交AD于点E，过点M作MF⊥BN，交BC于点F，垂足为H． （1）如图1，当AE＝AN时，求证：BM＝BF； （2）如图2，当AE≠AN时，依题意补全图形，用等式表示线段DE与BF的数量关系，并证明． 21．（9分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，BD平分∠ABC，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿射线BD以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，点Q、点P同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ与△ABC重叠部分面积为S． （1）AD＝　 　 ，BD＝　 　 ． （2）用含t的代数式表示点Q到AB的距离． （3）当PQ与△ABC的一边平行时，求S的值． （4）当点Q不与点B重合时，作点Q关于直线AB的对称点Q'，当直线PQ′经过△ABC一边中点时，直接写出t的值． 22．（13分）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围； （2）如图2，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，D为BC的中点，求证：EF＝2AD； （3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，∠BAC+∠BAD＝180°，试探究BD与EF的数量关系，并说明理由． 23．（14分）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论： 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN； 【学以致用】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$