第12讲 解直角三角形实际应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块六 锐角三角函数 第12讲 解直角三角形实际应用 （思维导图+1考点+4种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 中考考点 命题预测 解直角三角形实际应用 解直角三角形的实际应用在广东省统考的中考主要设计勾股定理、相似三角形和锐角三角函数等知识点进行结合考查，难度中等。一般对数形结合思想要求较高，要会将实际问题几何模型化。要求同学们在复习时熟练掌握勾股定理、相似三角形、锐角三角函数的基本性质，构建直角三角形，运用直角三角形的边角关系进行求解。 考点一 解直角三角形的实际应用 题型01 仰角俯角问题 1．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 2．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 　（15+15）　 米（结果保留根号）． 3．（2022•广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD． （1）求BC的长； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40． 4．（2024•广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米． （1）求CD的长； （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75． 1．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．请判断沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；（精确到0.01） （参考数据：1.414，1.732） 2．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）． 3．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m） （1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值； （2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588cos15°≈0.9659tan15°≈0.2677） 4．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 题型02 方位角问题 1．（2023•广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）n mile． A． B． C．20 D． 2．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　） A．200tan70°米 B．米 C．200sin 70°米 D．米 1．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 2．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 3．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 题型03 坡度坡比问题 1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：1.732，1.414） A．58J B．159J C．1025J D．1732J 2．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 1．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 2．如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到） 3．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：） 4．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 题型04 解直角三角形的其他问题 1．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 2．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 3．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$模块六 锐角三角函数 第12讲 解直角三角形实际应用 （思维导图+1考点+4种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 中考考点 命题预测 解直角三角形实际应用 解直角三角形的实际应用在广东省统考的中考主要设计勾股定理、相似三角形和锐角三角函数等知识点进行结合考查，难度中等。一般对数形结合思想要求较高，要会将实际问题几何模型化。要求同学们在复习时熟练掌握勾股定理、相似三角形、锐角三角函数的基本性质，构建直角三角形，运用直角三角形的边角关系进行求解。 考点一 解直角三角形的实际应用 题型01 仰角俯角问题 1．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 【分析】根据题意可得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，然后设BD＝CN＝x m，则EM＝BF＝（x+5）m，分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB， 设BD＝CN＝x m， ∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m， 在Rt△AEM中，∠AEM＝45°， ∴AM＝EM•tan45°＝（x+5）m， 在Rt△ACN中，∠ACN＝53°， ∴AN＝CN•tan53°x（m）， ∵AM+BM＝AN+BN＝AB， ∴x+5+1.8x+1.5， 解得：x＝15.9， ∴ANx＝21.2（m）， ∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m）， ∴电子厂AB的高度约为22.7m， 故选：A． 2．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 　（15+15）　 米（结果保留根号）． 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E， 在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15米；可得CE＝BE×tan45°＝15米． 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15米，可得AE＝BE×tan30°＝15米． 故教学楼AC的高度是AC＝（15）米． 答：教学楼AC的高度是（15）米． 故答案为：（15）． 3．（2022•广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD． （1）求BC的长； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40． 【分析】（1）根据已知BC＝5CD，进行计算即可解答； （2）若选择条件①，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答； 若选择条件②，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m， ∴BC＝5×1.6＝8（m）， ∴BC的长为8m； （2）若选择条件①： 由题意得： ， ∴， ∴AB＝12.8， ∴旗杆AB的高度为12.8m； 若选择条件②： 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m， 在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°， ∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m）， ∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m）， ∴旗杆AB的高度约为12.8m． 4．（2024•广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米． （1）求CD的长； （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75． 【分析】（1）根据题意可得：AC⊥CD，BE∥CD，从而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，即可解答； （2）在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，从而利用线段的和差关系求出AB的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：AC⊥CD，BE∥CD， ∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°， 在Rt△BCD中，BD＝10米， ∴CD＝BD•cos36.87°≈10×0.80＝8（米）， ∴CD的长约为8米； （2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°， ∴BC＝BD•sin36.87°≈10×0.6＝6（米）， 在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米， ∴AC15（米）， ∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米）， ∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间＝9÷2＝4.5（秒）， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒． 1．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．请判断沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；（精确到0.01） （参考数据：1.414，1.732） 【分析】过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD为x米，在Rt△ACD和Rt△BCD中，分别表示出AD和BD的长度，然后根据AB＝2000米，求出x的值，求出点C距离海面的距离，判断是否在极限范围内； 【解答】解：（1）过点C作CD垂直AB延长线于点D， 设CD＝x米， 在Rt△ACD中， ∵∠DAC＝45°， ∴AD＝x， 在Rt△BCD中， ∵∠CBD＝60°， ∴BDx， ∴AB＝AD﹣BD＝xx＝2000， 解得：x≈4732.05， ∴船C距离海平面为4732.05+1800＝6532.05米＜7062.68米， ∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内． 2．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）． 【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长． 【解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠EBA＝90°， ∵∠E＝30°， ∴ABAE＝8米， ∵BC＝1.2米， ∴AC＝AB﹣BC＝6.8米， ∵∠DCA＝90°﹣∠A＝30°， ∴CD＝AC×cos∠DCA＝6.85.9米． 答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米． 3．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m） （1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值； （2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588cos15°≈0.9659tan15°≈0.2677） 【分析】（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，BD＝20，得出CD＝BD•sin15°求得答案即可； （2）由图可知：AB＝AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得AF即可． 【解答】解：（1）在Rt△BCD中， ∵∠CBD＝15°，BD＝20， ∴CD＝BD•sin15°， ∴CD≈5.2m； 答：小明与地面的垂直距离CD的值是5.2m； （2）在Rt△AFE中，∵∠AEF＝45°， ∴AF＝EF＝BC， 由（1）知，BC＝BD•cos15°≈19.3（m）， ∴AB＝AF+DE+CD＝19.3+1.6+5.2＝26.1（m）． 答：楼房AB的高度是26.1m． 4．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【解析】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 题型02 方位角问题 1．（2023•广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）n mile． A． B． C．20 D． 【分析】连接AC，根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答． 【解答】解：连接AC， 由题意得：AC⊥CB， 在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里， ∴AC＝BC•tan60°＝10（海里）， ∴此时渔船与小岛A的距离为10海里， 故选：D． 2．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　） A．200tan70°米 B．米 C．200sin 70°米 D．米 【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长． 【解答】解：在Rt△PQT中， ∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°， ∴∠PTQ＝70°， ∴tan70°， ∴PT， 即河宽米， 故选：B． 1．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解． 【解析】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 在中，， ∴． 答：大桥的长度约为米． 2．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【解析】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    3．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【解析】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 题型03 坡度坡比问题 1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：1.732，1.414） A．58J B．159J C．1025J D．1732J 【分析】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025）≈159（J）， 故选：B． 2．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC，BC＝30m， ∴tan∠BAC， 解得，AC＝75， 故选：A． 1．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【解析】解：过点作于点，作于点    由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 2．如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到） 【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论． 【解析】解：过B作于H，    ∵坡度i为， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， 则， 设， ∵． ∴， ∴， ∵坡度i为， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：堤坝高为8米，山高为20米． 3．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：） 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【解析】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中，（米）． 答：斜坡的长约为10米． 4．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【解析】解：过作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 题型04 解直角三角形的其他问题 1．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长． 【解析】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 2．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【解析】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 3．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案； 【解析】解：∵，，； ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长为； $$