第10讲 上楼梯问题-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               上楼梯问题 第10讲     专题概述 对于楼梯，每个人都走过，这是我们在生活中常见的物品。你可能没有注意到，这里面还有数学问题呢。在奥数竞赛中，有时就会出一些这类题目，它们往往跟行程问题结合起来，甚至还用到了加法原理，因而增添了一定的难度。所谓加法原理，简单讲就是做完一件事有几类方式，而每类方式又有不同的方法，把这些方法加起来就是做完这件事的所有方法。对于这个概念，本书有专门的章节进行详细讲解。 在解决这类问题时，我们要特别注意一点：楼数和所上楼层数其实是两个不同的概念，二者正好相差1。比如说，小明家住18楼，而小明走到他家的楼层数却不是18，而是18-1=17层，因为按照常识，地面是一楼，而上到二楼只需经过一个楼层，以此类推，小明走到自己家只走过了17个楼层。 上楼梯问题，看似简单，其实也很考验同学们的数学思维方式和细心程度，容不得半点差失。 重点例题1 【例1】老王是一个健身爱好者，住在一幢28层的高楼里。他每天坚持爬楼梯锻炼身体，而从不乘电梯。已知每两层楼之间有18级台阶，老王走到自己家要走全部楼梯级数的 请问：老王住在这幢高楼的第几层？ 【思维点拨】解法一：先把这幢楼的总楼梯级数计算出来，即 （级）。然后，计算出老王走到自己家所经过的楼梯级数，（级） 因为 ，所以得出老王家住在 （层） 解法二：解法一比较麻烦，其实还有更简便的方法。因为每两层之间的楼梯级数相同，老王走了总级数的 ，也就是走了楼层数的 ，所以只考虑楼层数也可以作答。列式如下： （层） 答：老王住在这幢高楼的第 22 层。 培优拔尖1 1.小贾和小李比赛走楼梯，小贾走楼梯的速度是小李的 1.5 倍，当小贾走到 16 楼时，小李在第几层楼？ 2.赵先生到一幢政府大楼的某一层办事，非常不巧的是这天电梯维护，停止运行，于是他打算走楼梯上去。他发现一层楼梯有 20 级。在办完事情后，他沿着原路返回。当他回到第 3 层时，发现自己一共走了 320 级楼梯。请你算算：赵先生是到第几层楼办事的？ 3. 某学校有一幢大楼，共 25 层，每相邻两层楼之间的楼梯都是 18 级，电梯除了在一楼停，只在中间停一次。为了使得最不利值（需要步行的楼梯的最多级数）最小，电梯应该停在第几层楼？这时候，最不利值是多少级？ 重点例题2、3 【例2】为了参加学校组织的趣味运动会，小李每天都在训练上楼梯赛跑。他每步可上 1 阶或 2 阶或 3 阶，这样上到 16 阶，但不踏到第 7 阶和第 15 阶，请问：不同的上法一共有多少种？ 【思维点拨】这是一道需要运用加法原理的题，就是从第四个台阶开始。后一项的上法等于前三个台阶上法的和。 第一阶只有1种，记作：（1）。第二阶有2种，记作：（1, 1），（2）。第三阶有4种，记作：（1, 1, 1），（1, 2），（2, 1），（3）。第四阶的种数，即把前三种情况加起来，1+2+4=7种。以此类推，第五阶为2+4+7=13种，第六阶24种，第七阶0种，第八阶为13+24=37种，第九阶61种，第十阶98种，第十一阶196种，第十二阶355种，第十三阶649种，第十四阶1200种，第十五阶0种，第十六阶1849种。 答：不同的上法一共有1849种。 【例3】有快、中、慢三辆车同时从某地出发，沿着同一公路去追赶一个骑车人。这三辆车道上骑车人的用时分别是6分钟、10分钟、12分钟。已知快车的速度为每小时24千米，慢车的速度为每小时19千米。问：中车的速度是多少？ 【思维点拨】我们把8级台阶依次记作：A,B,C,D,E,F,G,H。然后利用逆向思维求解，即可做出来。 解：如左图所示，从 G 到 H，只有1种走法。从 F 到 H，可先到 G, 也可直接到 H，有2种走法。从 E 到 H，可先到 F，也可先到 G, 所以有1+2=3种不同走法。 如右图所示，从 D 到 H，可先到 E，也可先到 F，因此有 2+3=5种走法。同理，从 C 到 H 有3+5=8种走法，从 B 到 H 有5+8=13种走法，从 A 到 H 有8+13=21种走法。现在出发点在平地，所以有13+21=34种走法。 培优拔尖2 1.如图所示，从A点沿着线段走最短路线到达B点，一共有多少种不同的走法？ 2.如图所示，从A点沿着线段走最短路线到达B点，每次走一步或两步，一共有多少种不同的走法？注：路线相同而步骤不同的，属于不同的走法。 3.刘阿姨是某医院10层住院楼的电梯管理员，她有一个奇怪的习惯：电梯运行到二楼时，如果有人上或下，她就在盒子里放入一个小球；电梯运行到三楼时，如果有人上或下，她就在盒子里放入两个小球；电梯运行到四楼时……按照这个规律，以此类推。如果没有人上或下，她就不放个小球。有一次，电梯从一楼到达顶楼，有3层无人上、下，她一共在盒子里放了25个小球。请你思考一下，有哪几层楼无人上、下？（请把所有情况一一列举出来） 第10讲 上楼梯问题 强化训练 1.数学迷晓东到一幢大楼办事，门卫问他到几楼办事。他说了一段有趣的话："我知道这幢大楼每层之间的楼梯有16级台阶，我从您这里出发，等办完事再回到您这里，一共要走96级台阶。"门卫听了，一头雾水。请你帮门卫算一算，数学迷晓东到这幢大楼的第几层办事？ 2.有甲、乙、丙三人，他们同时从地面爬楼梯上一座高塔。甲每步爬3个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬2个台阶；乙每步爬4个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬3个台阶；丙每步爬5个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬4个台阶。这座高塔大约有100到150个台阶，请问，这座高塔的楼梯一共有多少个台阶？ 3.小雪发现，学校教学楼旁边新建了一个健身房。这里有一个楼梯，一共有10级。小雪每步跨上2级或3级，如果要登上第10级，一共有多少种不同的走法？ 4.某写字楼的一楼和二楼之间，设有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶。一个男孩和一个女孩同时从自动扶梯上一楼，他们都做匀速运动，而且男孩每分钟上的级数是女孩的2倍。已知男孩走27级到了扶梯顶部，而女孩走18级到了扶梯顶部。在自动扶梯的附近，有一个从二楼到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的可见级数相等，二人各自到了自动扶梯顶部后按原速度再走楼梯道，到楼梯底部又乘自动扶梯（不考虑扶梯与楼梯之间的距离），请你仔细算一算：男孩第一次追上女孩的时候走了多少级台阶？ 5.一个小单员要到一幢高层的政府办公大楼的第8层办公。可是，他今天的运气太差了，正好赶上了停电，电梯停运。也就是说，今天他只有步行上楼去办公了。如果他从1层走到4层需要48秒，请问：他以前样的速度走到第8层，还需要多少秒呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 对于楼梯，每个人都走过，这是我们在生活中常见的物品。你可 能没有注意到，这里面还有数学问题呢。在奥数竞赛中，有时就会出 一些这类题目，它们往往跟行程问题结合起来，甚至还用到了加法原 理，因而增添了一定的难度。所谓加法原理，简单讲就是做完一件事 有几类方式，而每类方式又有不同的方法，把这些方法加起来就是做 完这件事的所有方法。对于这个概念，本书有专门的章节进行详细讲 解。 在解决这类问题时，我们要特别注意一点：楼数和所上楼层数其 实是两个不同的概念，二者正好相差 1。比如说，小明家住 18 楼， 而小明走到他家的楼层数却不是 18，而是 18-1=17 层，因为按照常 识，地面是一楼，而上到二楼只需经过一个楼层，以此类推，小明走 到自己家只走过了 17个楼层。 上楼梯问题第 10 讲 专题概述 上楼梯问题，看似简单，其实也很考验同学们的数学思维方式和 细心程度，容不得半点差失。 【例 1】老王是一个健身爱好者，住在一幢 28层的高楼里。他每 天坚持爬楼梯锻炼身体，而从不乘电梯。已知每两层楼之间有 18 级台阶，老王走到自己家要走全部楼梯级数的 7 9 请问：老王住在 这幢高楼的第几层？ 【思维点拨】解法一：先把这幢楼的总楼梯级数计算出来，即 18 × (28−1) = 486（级）。然后，计算出老王走到自己家所经过 的楼梯级数，486 × 7 9 = 378（级） 因为 378 ÷ 18 = 21，所以得出老王家住在 21 + 1 = 22（层） 解法二：解法一比较麻烦，其实还有更简便的方法。因为每两层之 间的楼梯级数相同，老王走了总级数的 7 9 ，也就是走了楼层数的 7 9 ，所以只考虑楼层数也可以作答。列式如下： (28−1) × 7 9 +1 = 22（层） 重点例题 1 答：老王住在这幢高楼的第 22 层。 1.小贾和小李比赛走楼梯，小贾走楼梯的速度是小李的 1.5 倍，当 小贾走到 16 楼时，小李在第几层楼？ 2.赵先生到一幢政府大楼的某一层办事，非常不巧的是这天电梯维护， 停止运行，于是他打算走楼梯上去。他发现一层楼梯有 20 级。在办 完事情后，他沿着原路返回。当他回到第 3 层时，发现自己一共走 了 320 级楼梯。请你算算：赵先生是到第几层楼办事的？ 3.某学校有一幢大楼，共 25 层，每相邻两层楼之间的楼梯都是 18 培优拔尖 1 级，电梯除了在一楼停，只在中间停一次。为了使得最不利值（需要 步行的楼梯的最多级数）最小，电梯应该停在第几层楼？这时候，最 不利值是多少级？ 【例 2】为了参加学校组织的趣味运动会，小李每天都在训练上楼 梯赛跑。他每步可上 1 阶或 2 阶或 3 阶，这样上到 16 阶，但 不踏到第 7 阶和第 15 阶，请问：不同的上法一共有多少种？ 【思维点拨】这是一道需要运用加法原理的题，就是从第四个台阶 开始。后一项的上法等于前三个台阶上法的和。 第一阶只有 1 种，记作：（1）。第二阶有 2 种，记作：（1, 1）， 重点例题 2、3 （2）。第三阶有 4种，记作：（1, 1, 1），（1, 2），（2, 1），（3）。 第四阶的种数，即把前三种情况加起来，1+2+4=7种。以此类推， 第五阶为 2+4+7=13 种，第六阶 24 种，第七阶 0 种，第八阶为 13+24=37 种，第九阶 61 种，第十阶 98 种，第十一阶 196 种，第 十二阶 355 种，第十三阶 649 种，第十四阶 1200 种，第十五阶 0 种，第十六阶 1849种。 答：不同的上法一共有 1849种。 【例 3】有快、中、慢三辆车同时从某地出发，沿着同一公路去追 赶一个骑车人。这三辆车道上骑车人的用时分别是 6分钟、10分 钟、12分钟。已知快车的速度为每小时 24千米，慢车的速度为每 小时 19千米。问：中车的速度是多少？ 【思维点拨】我们把 8 级台阶依次记作：A,B,C,D,E,F,G,H。然后 利用逆向思维求解，即可做出来。 解：如左图所示，从 G 到 H，只有 1种走法。从 F 到 H，可先到 G, 也可直接到 H，有 2种走法。从 E 到 H，可先到 F，也可先到 G, 所以有 1+2=3种不同走法。 如右图所示，从 D 到 H，可先到 E，也可先到 F，因此有 2+3=5 种走法。同理，从 C 到 H 有 3+5=8种走法，从 B 到 H 有 5+8=13 种走法，从 A 到 H 有 8+13=21种走法。现在出发点在平地，所以 有 13+21=34种走法。 1.如图所示，从 A点沿着线段走最短路线到达 B点，一共有多少种不 同的走法？ 培优拔尖 2 2.如图所示，从 A点沿着线段走最短路线到达 B点，每次走一步或两 步，一共有多少种不同的走法？注：路线相同而步骤不同的，属于不 同的走法。 3.刘阿姨是某医院 10 层住院楼的电梯管理员，她有一个奇怪的习惯： 电梯运行到二楼时，如果有人上或下，她就在盒子里放入一个小球； 电梯运行到三楼时，如果有人上或下，她就在盒子里放入两个小球； 电梯运行到四楼时……按照这个规律，以此类推。如果没有人上或下， 她就不放个小球。有一次，电梯从一楼到达顶楼，有 3层无人上、下， 她一共在盒子里放了 25 个小球。请你思考一下，有哪几层楼无人上、 下？（请把所有情况一一列举出来） 第 10 讲 上楼梯问题 强化训练 1.数学迷晓东到一幢大楼办事，门卫问他到几楼办事。他说了一段有 趣的话："我知道这幢大楼每层之间的楼梯有 16级台阶，我从您这里 出发，等办完事再回到您这里，一共要走 96级台阶。"门卫听了，一 头雾水。请你帮门卫算一算，数学迷晓东到这幢大楼的第几层办事？ 2.有甲、乙、丙三人，他们同时从地面爬楼梯上一座高塔。甲每步爬 3个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬 2个台阶；乙每步爬 4个台阶， 但到达塔顶的最后一步只爬 3个台阶；丙每步爬 5个台阶，但到达塔 顶的最后一步只爬 4个台阶。这座高塔大约有 100到 150个台阶，请 问，这座高塔的楼梯一共有多少个台阶？ 3.小雪发现，学校教学楼旁边新建了一个健身房。这里有一个楼梯， 一共有 10级。小雪每步跨上 2级或 3级，如果要登上第 10级，一共 有多少种不同的走法？ 4.某写字楼的一楼和二楼之间，设有一部自动扶梯，以均匀的速度向 上行驶。一个男孩和一个女孩同时从自动扶梯上一楼，他们都做匀速 运动，而且男孩每分钟上的级数是女孩的 2倍。已知男孩走 27级到 了扶梯顶部，而女孩走 18级到了扶梯顶部。在自动扶梯的附近，有 一个从二楼到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的可见级数相等， 二人各自到了自动扶梯顶部后按原速度再走楼梯道，到楼梯底部又乘 自动扶梯（不考虑扶梯与楼梯之间的距离），请你仔细算一算：男孩 第一次追上女孩的时候走了多少级台阶？ 5.一个小单员要到一幢高层的政府办公大楼的第 8层办公。可是，他 今天的运气太差了，正好赶上了停电，电梯停运。也就是说，今天他 只有步行上楼去办公了。如果他从 1层走到 4层需要 48秒，请问： 他以前样的速度走到第 8层，还需要多少秒呢？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               上楼梯问题 第10讲     专题概述 对于楼梯，每个人都走过，这是我们在生活中常见的物品。你可能没有注意到，这里面还有数学问题呢。在奥数竞赛中，有时就会出一些这类题目，它们往往跟行程问题结合起来，甚至还用到了加法原理，因而增添了一定的难度。所谓加法原理，简单讲就是做完一件事有几类方式，而每类方式又有不同的方法，把这些方法加起来就是做完这件事的所有方法。对于这个概念，本书有专门的章节进行详细讲解。 在解决这类问题时，我们要特别注意一点：楼数和所上楼层数其实是两个不同的概念，二者正好相差1。比如说，小明家住18楼，而小明走到他家的楼层数却不是18，而是18-1=17层，因为按照常识，地面是一楼，而上到二楼只需经过一个楼层，以此类推，小明走到自己家只走过了17个楼层。 上楼梯问题，看似简单，其实也很考验同学们的数学思维方式和细心程度，容不得半点差失。 重点例题1 【例1】老王是一个健身爱好者，住在一幢28层的高楼里。他每天坚持爬楼梯锻炼身体，而从不乘电梯。已知每两层楼之间有18级台阶，老王走到自己家要走全部楼梯级数的 请问：老王住在这幢高楼的第几层？ 【思维点拨】解法一：先把这幢楼的总楼梯级数计算出来，即 （级）。然后，计算出老王走到自己家所经过的楼梯级数，（级） 因为 ，所以得出老王家住在 （层） 解法二：解法一比较麻烦，其实还有更简便的方法。因为每两层之间的楼梯级数相同，老王走了总级数的 ，也就是走了楼层数的 ，所以只考虑楼层数也可以作答。列式如下： （层） 答：老王住在这幢高楼的第 22 层。 培优拔尖1 1.小贾和小李比赛走楼梯，小贾走楼梯的速度是小李的 1.5 倍，当小贾走到 16 楼时，小李在第几层楼？ 【答案】11层楼 【分析】小贾一共向上走了15层楼梯，所以小李此时走了（层），此时小李在（层）。 2.赵先生到一幢政府大楼的某一层办事，非常不巧的是这天电梯维护，停止运行，于是他打算走楼梯上去。他发现一层楼梯有 20 级。在办完事情后，他沿着原路返回。当他回到第 3 层时，发现自己一共走了 320 级楼梯。请你算算：赵先生是到第几层楼办事的？ 【答案】10层楼 【分析】赵先生再走（级）楼梯就能回到底层了，这样他来回一共走了（级）楼梯，所以赵先生是到360÷2÷20+1=10（层）楼办事。 3.某学校有一幢大楼，共 25 层，每相邻两层楼之间的楼梯都是 18 级，电梯除了在一楼停，只在中间停一次。为了使得最不利值（需要步行的楼梯的最多级数）最小，电梯应该停在第几层楼？这时候，最不利值是多少级？ 【答案】17层楼，144级 【分析】这幢大楼一共有25-1=24（层）楼梯，要使步行的楼梯级数最少，将所有楼梯平均分成3份（因为中间只停一次电梯，宜在中部停留），电梯应停在第24÷3×2+1=17（层）。第1层到第8层，不乘电梯，直接步行上去；第9层到第16层，先乘电梯到第17层，然后再步行下去；第18层到第25层，先乘电梯到第17层，然后再步行上去。这样，要步行楼梯级数的最大值是8×18=144（级）。 重点例题2、3 【例2】为了参加学校组织的趣味运动会，小李每天都在训练上楼梯赛跑。他每步可上 1 阶或 2 阶或 3 阶，这样上到 16 阶，但不踏到第 7 阶和第 15 阶，请问：不同的上法一共有多少种？ 【思维点拨】这是一道需要运用加法原理的题，就是从第四个台阶开始。后一项的上法等于前三个台阶上法的和。 第一阶只有1种，记作：（1）。第二阶有2种，记作：（1, 1），（2）。第三阶有4种，记作：（1, 1, 1），（1, 2），（2, 1），（3）。第四阶的种数，即把前三种情况加起来，1+2+4=7种。以此类推，第五阶为2+4+7=13种，第六阶24种，第七阶0种，第八阶为13+24=37种，第九阶61种，第十阶98种，第十一阶196种，第十二阶355种，第十三阶649种，第十四阶1200种，第十五阶0种，第十六阶1849种。 答：不同的上法一共有1849种。 【例3】有快、中、慢三辆车同时从某地出发，沿着同一公路去追赶一个骑车人。这三辆车道上骑车人的用时分别是6分钟、10分钟、12分钟。已知快车的速度为每小时24千米，慢车的速度为每小时19千米。问：中车的速度是多少？ 【思维点拨】我们把8级台阶依次记作：A,B,C,D,E,F,G,H。然后利用逆向思维求解，即可做出来。 解：如左图所示，从 G 到 H，只有1种走法。从 F 到 H，可先到 G, 也可直接到 H，有2种走法。从 E 到 H，可先到 F，也可先到 G, 所以有1+2=3种不同走法。 如右图所示，从 D 到 H，可先到 E，也可先到 F，因此有 2+3=5种走法。同理，从 C 到 H 有3+5=8种走法，从 B 到 H 有5+8=13种走法，从 A 到 H 有8+13=21种走法。现在出发点在平地，所以有13+21=34种走法。 培优拔尖2 1.如图所示，从A点沿着线段走最短路线到达B点，一共有多少种不同的走法？ 【答案】 42种 【分析】 如图所示。 2.如图所示，从A点沿着线段走最短路线到达B点，每次走一步或两步，一共有多少种不同的走法？注：路线相同而步骤不同的，属于不同的走法。 【答案】 80种 【分析】 如图所示。 从 到 一共有10种不同的走法。对每种走法，一共要走5步，每次又可以走一步和两步，比如要登上5级台阶，每次可走1级和2级，所以登上台阶的方法依次是1, 2, 3, 5, 8。对于每条路线有8种不同的步骤，所以从 到 一共有 （种）不同的走法。 3.刘阿姨是某医院10层住院楼的电梯管理员，她有一个奇怪的习惯：电梯运行到二楼时，如果有人上或下，她就在盒子里放入一个小球；电梯运行到三楼时，如果有人上或下，她就在盒子里放入两个小球；电梯运行到四楼时……按照这个规律，以此类推。如果没有人上或下，她就不放个小球。有一次，电梯从一楼到达顶楼，有3层无人上、下，她一共在盒子里放了25个小球。请你思考一下，有哪几层楼无人上、下？（请把所有情况一一列举出来） 【答案】 有四种情况： 1、 4，9，10层； 2、 5，8，10层； 3、 6，7，10层； 4、 6，8，9层。 【分析】 一共少放小球 （个），因为每层放的小球个数比楼层数少1，所以可以把 分解成三个从2到10之间的数的和。23可拆解为：4，9，10；5，8，10；6，7，10；6，8，9。这些数字也就是相应的楼层数了。 第10讲 上楼梯问题 强化训练 1.数学迷晓东到一幢大楼办事，门卫问他到几楼办事。他说了一段有趣的话："我知道这幢大楼每层之间的楼梯有16级台阶，我从您这里出发，等办完事再回到您这里，一共要走96级台阶。"门卫听了，一头雾水。请你帮门卫算一算，数学迷晓东到这幢大楼的第几层办事？ 【答案】 4层楼 【分析】 数学迷晓东上、下一个来回一共走了96级台阶，所以他上楼要走 （级）台阶。因为每层楼梯有16级台阶，所以他走了 （层）楼梯，故他到 （层）楼办事。 2.有甲、乙、丙三人，他们同时从地面爬楼梯上一座高塔。甲每步爬3个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬2个台阶；乙每步爬4个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬3个台阶；丙每步爬5个台阶，但到达塔顶的最后一步只爬4个台阶。这座高塔大约有100到150个台阶，请问，这座高塔的楼梯一共有多少个台阶？ 【答案】119个台阶 【分析】由题可知，楼梯数同时为3的倍数加2，4的倍数加3，5的倍数加4。也就是，3的倍数减1，4的倍数减1，5的倍数减1。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以楼梯数可能为60-1，60×2-1，……已知这座塔大约有100到150个台阶，所以楼梯数为60×2-1=119（阶）。 3.小雪发现，学校教学楼旁边新建了一个健身房。这里有一个楼梯，一共有10级。小雪每步跨上2级或3级，如果要登上第10级，一共有多少种不同的走法？ 【答案】7种 【分析】可将此题看成有10级楼梯，每次走2级或3级，要登上第10级，一共有多少种不同的走法。不难得出，走到各级的走法依次为0,1,1,1,2,2,3,4,5,7，即一共有7种不同的走法。 4.某写字楼的一楼和二楼之间，设有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶。一个男孩和一个女孩同时从自动扶梯上一楼，他们都做匀速运动，而且男孩每分钟上的级数是女孩的2倍。已知男孩走27级到了扶梯顶部，而女孩走18级到了扶梯顶部。在自动扶梯的附近，有一个从二楼到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的可见级数相等，二人各自到了自动扶梯顶部后按原速度再走楼梯道，到楼梯底部又乘自动扶梯（不考虑扶梯与楼梯之间的距离），请你仔细算一算：男孩第一次追上女孩的时候走了多少级台阶？ 【答案】198级台阶 【分析】女孩比男孩少走：27-18=9（级）。当男孩走完27级时，女孩应该走：27÷2=13.5（级）。当男孩到达顶部后，女孩又走了：18-13.5=4.5（级）。与此同时，电梯走了9级，因此女孩与扶梯的速度比是：。 扶梯可见部分一共有：（级）。 女孩到达顶部时男孩已经下了（级）。 男孩第二次登上扶梯顶部时，女孩下了（级）台阶。 女孩第二次登上扶梯时，男孩还有（级）台阶没有下完。 当男孩第三次即将登上扶梯时，女孩已经在（级）扶梯处。 此时女孩还要走（级）扶梯才能到达顶部。 当男孩到达顶部时，女孩已经下了楼梯道（级）楼梯处。 要追上这4.5级，男孩还需要走（级）台阶。 综上所述，男孩一共上楼3趟下楼2趟多9级。 所以，男孩第一次追上女孩的时候一共走了（级）。 5.一个小单员要到一幢高层的政府办公大楼的第8层办公。可是，他今天的运气太差了，正好赶上了停电，电梯停运。也就是说，今天他只有步行上楼去办公了。如果他从1层走到4层需要48秒，请问：他以前样的速度走到第8层，还需要多少秒呢？ 【答案】 64秒 【分析】上一层楼梯需要：（秒）；从四层走到八层的楼梯数：（层）；还需要的时间：（秒）。 学科网（北京）股份有限公司 $$