精品解析：新疆乌鲁木齐市2025届高三第三次质量监测数学试题

乌鲁木齐地区2025年高三年级第三次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上． 2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知抛物线，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据抛物线方程计算可得. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 故选：A 2. 已知，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得解 【详解】由题意，推不出，故充分性不成立； 但可以推出，故必要性成立 故p是q的必要不充分条件 故选：B 3. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. （1，3） D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的模的几何意义作图，数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由可理解为复数表示的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 而则可理解为圆上的点到原点的距离，作出图形如下. 如图，当点在时，与原点距离最大为3，当点当点在时，与原点距离最小为1， 故的取值范围是. 故选：D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，可求得，解不等式，求得集合，进而求得. 【详解】由，得，解得， 所以，所以， 由，可得，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用数列的性质得到，进而求出公差，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，所以数列的公差为，所以， 则， 故选：B. 6. 溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得. 【详解】设稀释前溶液的值为，氢离子的浓度为， 加水稀释后值为，氢离子的浓度为. 则， 两式相减，可得， 化简得，解得. 故选：D. 7. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求. 【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心， 设，则，又，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得，解得， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以函数的最小正周期为， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知椭圆，直线，若，都存在椭圆上两点，关于对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点和点关于直线对称得出和 ，再利用点差法得出， 将前两个式子代入化简即可求得，，最后利用等比数列的前项和公式计算即可. 【详解】由题意可得，线段的中点坐标为， 则点坐标满足直线的方程，即， 即，① 又由题意可得，则，② 因点，都在椭圆， 则，， 两式相减得，， 即， 将①式和②式代入得，， 化简得， 则， 则， 则 . 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙，丙，丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是（ ） A. 甲：平均数为3，中位数为2 B. 乙：众数为3，平均数为2.4 C. 丙：平均数为2，方差为2.4 D. 丁：中位数为3，众数为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据选项中的数字特征通过举例说明A，D满足条件但出现了点数6，对于B，C项，则通过分析说明没有出现点数6即可判断. 【详解】对于A，当甲的统计结果为时，满足平均数为3，中位数为2，故A不正确； 对于B，因乙同学的统计平均数为2.4，则总点数为，又众数为3，则至少有两个3. 当有两个3时，另外三个骰子点数之和为6，则任何一个骰子不可能出现点数6； 当有三个3时，另外两个骰子点数之和为3，不可能出现点数6；有四个3更不可能，故B正确； 对于C，因丙同学的统计平均数为2，若出现了至少一次点数6，设其余四次点数分别为， 则其方差为，故C正确； 对于D，当丁同学的统计结果为时，满足中位数为3，众数为2，故D不正确. 故选：BC. 10. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，互相不垂直且有公共原点的两条数轴构成平面斜坐标系，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点的斜坐标这样定义：若，（其中，是分别与轴，轴方向相同的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为．已知点的斜坐标分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据斜坐标定义将表示成的形式，可判断A正确，再由数乘运算可得B正确，利用向量数量积的坐标运算可得，不一定为0，即C错误；再由向量模长的坐标表示计算可求得D正确. 【详解】对于A，由定义可知， 所以， 即可得，可知A正确； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，若， 则 ， 因此，不一定为0，即C错误； 对于D，易知， 所以 ，即D正确. 故选：ABD 11. 设函数的定义域为，的导函数满足，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. 的最大值为1 B. 在点处的切线为 C. 若方程有两个不同的解，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求表达式：由，根据求导法则得，再代入求出，进而得到，用除法求导法则对求导. 对于A选项：令得极值点，根据导数正负判断单调性，求出最大值. 对于B选项：先求处的函数值和导数值，再用点斜式求切线方程. 对于C选项：设，通过构造函数，判断其单调性来证明. 对于D选项：由得，将变形，换元后根据二次函数性质求最值. 【详解】已知，可知. 可得（为常数）. 因为，将，代入，可得，即，解得. 所以，则，. 对求导，可得： . 对于选项A，令，即，解得. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，，但当时，，所以没有最小值，A选项正确. 对于选项B，当时，. . 根据点斜式方程可得，即，所以在点处的切线为，B选项正确. 对于选项C，由前面分析可知在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，若，则，因为，且在上单调递减，所以只需证明，又因为，所以只需证明. 令，，则. 当时，，， 所以，在上单调递增， 则，即，所以，与矛盾，C选项错误. 对于选项D，因为，所以. . 令，则，所以. 对于二次函数，其对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值，. 则，D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】因为，则，又， 所以， 故答案为：. 13. 单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由题设，接着结合题意得到，再结合两角和的余弦公式、以及求根公式求出x即可得解. 【详解】由题可设， 则， 则由题， 所以，即， 解得， 又，所以. 故答案为：. 14. 已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过作面，利用正三棱锥的性质，知是的中心，再利用几何关系和条件，可得，由正三棱锥的性质知外接球球心在上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再利用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解. 【详解】如图，过作面，因为是正三棱锥，则是的中心， 连接并延长交于，则是的中点，连接， 因为，，所以为二面角的平面角， 又，是中心，则，， 在中，由，得到， 因为是正三棱锥，则的外接球球心在上，设球心为，半径为，连接， 如图，由，得到，解得. 因为，所以， 则，又，， 设正三棱锥内切球的圆心为，半径为，易知在上， 由，得到，所以， 又，， 则线段长度的最大值为， 故答案为：，. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题和正弦定理边化角并结合两角和正弦公式化简得，接着由两角差的正弦公式得到即可求解角A； （2）结合（1）求出角C，接着由即可求解. 【小问1详解】 由题和正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 又，所以，所以，即； 【小问2详解】 由题意可得，， 解得． 16. 如图，点在以为直径的圆周上运动，平面，，是的中点． （1）若，求三棱锥P－AMC的体积； （2）当面积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，推得的长即点平面的距离，利用是的中点可得，即可求出三棱锥P－AMC的体积； （2）依题意建系，写出相关点的坐标，求得平面的法向量，利用两空间向量的夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 因为直径，则，可得， 因是的中点，则点到平面的距离等于点平面的距离的一半. 因平面，平面，则， 因平面，则平面，则的长即点平面的距离. 故. 【小问2详解】 因为直角三角形，，故当且仅当时，面积最大， 此时以点为坐标原点，，所在直线为轴、轴，过作轴平面，建立空间直角坐标系， 则，，，，． ，，． 设平面的法向量为， 则，则可取， 于是 直线与平面所成角的正弦值为 17. 在数字通信中，信号的每一次传输都是从一个基站发到下一个基站，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知正确接收的概率为0.9，错误接收的概率为0.1． （1）在计算机内部，所有的信息都表示为一个二进制的字符串，八个二进制位被称为一个字节（byte），上个世纪60年代制定了一套字符编码，对英语字符与二进制位之间的关系做了统一规定，这被称为ASCII码，一直沿用至今，比如小写字母a的编码值是97（二进制01100001），d的编码值是100（二进制01100100），ASCII码一共规定了128个字符的编码，这128个字符只占用了一个字节的后面7位，最前面的1位统一规定为0．假如信息录入人员不小心将字母a看成了，求接收端仍然接收为的概率． （2）假如发送字符a时，接收为a和d的概率分别为0.99和0.01，发送字符d时，接收为a和d的概率分别为0.01和0.99，试求发送字符a经过次传输后仍然接收为的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）设第次传输后仍然接收为的概率为，则，构造等比数列可求得. 【小问1详解】 由题知，. 【小问2详解】 设第次传输后仍然接收为的概率为， 则， ，， ，又， 所以数列是以0.49为首项，0.98为公比的等比数列， ， . 18. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）当时，设，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数二次求导，分类讨论原函数的单调性，求解不等式即得； （2）由（1）得时，，使，即，则得，令，通过求导求出该函数的最大值，即得的最大值. 【小问1详解】 由可得，设，则 ①当时，，则在上单调递增． 因为当时， 此时不可能在上单调递增； ②当时，．则在上单调递增，符合题意； ③当时，令，得 － 0 + 递减 极小 递增 故需使 ， 解得 ，故 ． 综上，的取值范围是． 【小问2详解】 由 （1）知，时，，使． 即，可得， － 0 + 递减 极小 递增 令， ． 令，得 －1 + 0 - 递增 极大 递减 所以，即的最大值为. 19. 材料一：二次方程（不同时为）可以表示圆，椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线，其中椭圆，双曲线，抛物线的曲线方程可以通过坐标旋转变换，平移变换得到相应曲线的标准方程． 材料二：在平面直角坐标系中，点绕原点按逆时针方向旋转角后，可得点． 根据上述材料回答以下问题： （1）求曲线绕原点按逆时针方向旋转后的曲线方程； （2）探索角满足什么条件时，方程（）对应的曲线经过旋转后所得曲线方程中的系数为； （3）曲线，点为曲线上任意一点，过点且与曲线在点处切线垂直的直线分别交直线，直线于，两点，线段的中点为.当点运动时，记点的轨迹为曲线，判断曲线是什么曲线并给出相应说明. 【答案】（1）； （2） 当时，， 当时，. （3）曲线的轨迹为去除顶点的双曲线，理由： 在方程中，根据上一问探究： 当时，不妨取．此时将曲线按逆时针旋转， 对应方程按照变换后得曲线即． 与此同时，直线，直线分别旋转至轴，轴的位置， 根据题意：任取曲线上一点，其中， 设曲线在处的切线方程为且，联立方程， 当时，，则过且垂直于切线的直线方程为，令，令， 则该直线与轴，轴交点分别为， 线段的中点，则，即， 代入，，得， 则当点在曲线上运动时，点的轨迹方程为： 所以曲线的轨迹为去除顶点的双曲线. 【解析】 【分析】（1）设绕着原点按逆时针旋转角后得到点，根据旋转坐标公式代入计算即可； （2）将代入方程，然后再分当和讨论即可； （3）取，将曲线按逆时针旋转，得到变换后得曲线方程，再联立切线方程与曲线方程得到线段的中点，则得到其轨迹方程. 【小问1详解】 设绕着原点按逆时针旋转角后得到点，根据坐标旋转公式： ，即 当时，代入方程，则旋转后的曲线方程： ，即 【小问2详解】 将代入方程： 将上述方程记为： 则， 当时，，即， 当时，满足. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐地区2025年高三年级第三次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上． 2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知抛物线，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. （1，3） D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ） A. 2 B. C. 100 D. 7. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知椭圆，直线，若，都存在椭圆上两点，关于对称，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙，丙，丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是（ ） A. 甲：平均数为3，中位数为2 B. 乙：众数为3，平均数为2.4 C. 丙：平均数为2，方差为2.4 D. 丁：中位数为3，众数为2 10. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，互相不垂直且有公共原点的两条数轴构成平面斜坐标系，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点的斜坐标这样定义：若，（其中，是分别与轴，轴方向相同的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为．已知点的斜坐标分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 设函数的定义域为，的导函数满足，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. 的最大值为1 B. 在点处的切线为 C. 若方程有两个不同的解，，则 D. 若，，，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，则_____． 13. 单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为_____． 14. 已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求的值． 16. 如图，点在以为直径的圆周上运动，平面，，是的中点． （1）若，求三棱锥P－AMC的体积； （2）当面积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在数字通信中，信号的每一次传输都是从一个基站发到下一个基站，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知正确接收的概率为0.9，错误接收的概率为0.1． （1）在计算机内部，所有的信息都表示为一个二进制的字符串，八个二进制位被称为一个字节（byte），上个世纪60年代制定了一套字符编码，对英语字符与二进制位之间的关系做了统一规定，这被称为ASCII码，一直沿用至今，比如小写字母a的编码值是97（二进制01100001），d的编码值是100（二进制01100100），ASCII码一共规定了128个字符的编码，这128个字符只占用了一个字节的后面7位，最前面的1位统一规定为0．假如信息录入人员不小心将字母a看成了，求接收端仍然接收为的概率． （2）假如发送字符a时，接收为a和d的概率分别为0.99和0.01，发送字符d时，接收为a和d的概率分别为0.01和0.99，试求发送字符a经过次传输后仍然接收为的概率． 18. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）当时，设，求的最大值． 19. 材料一：二次方程（不同时为）可以表示圆，椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线，其中椭圆，双曲线，抛物线的曲线方程可以通过坐标旋转变换，平移变换得到相应曲线的标准方程． 材料二：在平面直角坐标系中，点绕原点按逆时针方向旋转角后，可得点． 根据上述材料回答以下问题： （1）求曲线绕原点按逆时针方向旋转后的曲线方程； （2）探索角满足什么条件时，方程（）对应的曲线经过旋转后所得曲线方程中的系数为； （3）曲线，点为曲线上任意一点，过点且与曲线在点处切线垂直的直线分别交直线，直线于，两点，线段的中点为.当点运动时，记点的轨迹为曲线，判断曲线是什么曲线并给出相应说明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $