数学（海南卷专用）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D C B D B B C A B C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 13．x（x-5） 14．且/或 15．2 三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 【详解】（1）解：原式--------------------------2分 ；--------------------------5分 （2）解：， 由①得，，--------------------------7分 由②得，，--------------------------9分 故不等式组的解集为：．--------------------------10分 17．（10分） 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，--------------------------2分 ，--------------------------4分 在与中，，--------------------------6分 ，--------------------------8分 ∴；--------------------------10分 18．（10分） 【详解】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查； 故答案为：抽样调查；--------------------------2分 （2）教育局抽取的初中生人数为：（人）--------------------------4分 B组人数为： ∴B组所占的百分比为： ∴--------------------------6分 （3）∵9名初中生中有5名男生和4名女生， ∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是--------------------------8分 （4）样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比 ∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人．--------------------------10分 19．（10分） 【详解】解：（1） --------------------------1分 是“共生数”， --------------------------2分 --------------------------3分 不是“共生数”． --------------------------4分 （2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 ＜ 且为整数，--------------------------5分 所以： 由“共生数”的定义可得： --------------------------6分 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除， 或或 --------------------------7分 当 则 则 不合题意，舍去， 当时，则 当时， 此时： ，而不为偶数，舍去， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时，则 而则不合题意，舍去， 综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或--------------------------10分 20．（10分） 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， --------------------------1分 由题意得：米，米， 设米， 在中，， 米， 米，--------------------------3分 在中，， ， ，--------------------------5分 解得：， 米，--------------------------7分 塔高达米， 米，--------------------------9分 桅杆天线的高度约为米．--------------------------10分 21．（12分） 【详解】（1）解：由题意可得，，--------------------------1分 解得，--------------------------2分 ∴抛物线的解析式为；--------------------------3分 （2）解：连接，过点P作于点E，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， 令，则， 解得或，--------------------------4分 ∴， ∴， ∵，， ∴，，--------------------------5分 ∴， ；--------------------------6分 （3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： 如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，--------------------------7分 ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；--------------------------8分 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， 分解因式得：， 解得：（舍去），（舍去），， ∴此时点Q的坐标为：． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或；--------------------------9分 （4）证明：∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线，--------------------------10分 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，--------------------------11分 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的中点．--------------------------12分 22．（13分） 【详解】解：（1）小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证，--------------------------1分 为中点，为的中位线，．--------------------------2分 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，， ---3分 ，，可证，；-----------4分 （2）方法一：延长至，使得，连接， --------------------------5分 ∵D为中点 ∴--------------------------6分 在与中 ∴--------------------------7分 ∴ ∴；--------------------------8分   方法二：延长至，使得，--------------------------5分 ∵D为中点 ∴， ∴--------------------------6分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴--------------------------7分 在与中 ，， ∴    ∴，即；--------------------------8分 （3）如图所示，连接，，延长至G，使得，--------------------------9分 ∴，，     在与中 ∵ ∵ ∴ ∴ --------------------------10分 ∴， ∴ 作 ∴ ∴--------------------------11分 ∴当最小时，取得最小值     ∵，E在射线上 ∴当时，取得最小值，即为--------------------------12分 ∴线段的最小值．--------------------------13分 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共9分） 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（10分） 18．（10分） 19（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米，将数字用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】将数字用科学记数法表示为． 故选：A． 3．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断简单组合体的三视图 【详解】俯视图是从上面看到的图形，这个由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形是，故选D. 4．某青年排球队12名队员的年龄情况如表： 年龄（单位：岁） 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员的年龄（   ） A．众数是19，中位数是19 B．众数是19，中位数是19.5 C．众数是19，中位数是20 D．众数是19，中位数是20.5 【答案】C 【知识点】求中位数、求众数 【分析】根据众数和中位数的概念即可得出答案． 【详解】将这12个数据按照从小到大的顺序排列为18，19，19，19，19，20，20，20，21，21，22，22， 众数是指一组数据中出现次数最多的数，19出现了4次，所以众数是19， 中位数为， ∴这12名队员的年龄众数是19，中位数是20， 故选：C． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，掌握众数和中位数的求法是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】作轴于Q，得到，利用P点坐标求出三角形的两条边长，将绕O点旋转后得到，Q点由y轴旋转到了x轴，根据的位置和的长度得到点坐标． 【详解】解：作轴于Q，如图， ， ，， 点绕原点O顺时针旋转得到点相当于把绕原点O顺时针旋转得到， ，，， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标系与图形旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，本题中旋转是解题的关键． 6．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根是否符合题意是解题的关键． 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法解分式方程即可． 【详解】解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， 检验，当时，原分式方程中的分母不为零， ∴原分式方程的解为， 故选：D ． 7．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得出的度数是解题的关键． 8．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明与小华从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明与小华恰好选中同一门课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图求出概率即可． 【详解】解：把“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程分别记为，画出树状图如下： 共有16种等可能得结果，其中小明与小华恰好选中同一门课程的结果共有4种， 小明与小华恰好选中同一门课程的概率， 故选：B． 9．细胞的相对表面积是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积与细胞的半径成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为 B．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 C．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的性质逐一排除即可，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：、设细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为， 当，， ∴， ∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意； 、若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的半径每增大，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意； 、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 故选：． 10．如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 11．如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形、全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可证，，由此即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．如图，已知中，，，点是边上一动点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．延长至，使，连接，过点作于，先证明，然后得，此时有最小值，再根据特殊角的三角函数值求即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于， ∵中，，，， ∴， ∴， 垂直平分线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分） 13．因式分解： ． 【答案】x（x-5） 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接提公因式，即可得到答案. 【详解】解：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 14．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】且/或 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： Δ=9+4m＞0且 ， 解得：m＞-且， 故答案为：m＞-且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、求不等式组的解集、零指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，解一元一次不等式组，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，计算零指数幂和有理数乘法，再进行加减计算； （2）分别计算每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：． 17．（10分）如图，平行四边形中，E，F是直线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，，再利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中，， ， ∴； 18．（10分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：      请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________； (3)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________； (4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人． 【答案】(1)抽样调查； (2)300，30 (3) (4)3000 【知识点】判断全面调查与抽样调查、由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查； （2）读图可得，A组有45人，占15%，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘100%即可得出答案； （3）根据概率公式计算即可； （4）由样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的比例乘以10000人即可； 【详解】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查； 故答案为：抽样调查； （2）教育局抽取的初中生人数为：（人） B组人数为： ∴B组所占的百分比为： ∴ （3）∵9名初中生中有5名男生和4名女生， ∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是 （4）样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比 ∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 19．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n． 【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或 【知识点】新定义下的实数运算、二元一次方程的解 【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案； （2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案． 【详解】解：（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 ＜ 且为整数， 所以： 由“共生数”的定义可得： 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除， 或或 当 则 则 不合题意，舍去， 当时，则 当时， 此时： ，而不为偶数，舍去， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时，则 而则不合题意，舍去， 综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或 【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键． 20．（10分）建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 【答案】桅杆天线的高度约为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：米，米， 设米， 在中，， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 塔高达米， 米， 桅杆天线的高度约为米． 21．（12分）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 【答案】(1) (2)9 (3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或 (4)证明过程见解析 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）当为矩形的边时，画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；当为对角线时，画出相应的图形，求出结果即可； （4）利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线、的解析式，进而求得点I、G的坐标，利用点的坐标表示出线段、的长度，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点P作于点E，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ； （3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： 如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， 分解因式得：， 解得：（舍去），（舍去），， ∴此时点Q的坐标为：． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或； （4）证明：∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的中点． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 22．（13分）（1）如图1，已知，，，，，连接，，点为中点，连接，求证：． 小明，小亮两位同学针对题目中的中点条件给出了两种处理策略： 小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证______，为中点，为的中位线，______． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，______，可证______，． （2）如图4，在中，，，在中，，，连接，，点为中点，连接，请求出线段与线段的数量关系； （3）如图5，中，，，点在射线上，，延长至，使得，边绕点顺时针旋转至，连接并延长至，使得点为中点，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）；；；；（2）；（3）3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求解即可； （2）方法一：延长至，使得，连接，，根据题意证明出，即可求解； 方法二：延长至，使得，证明出，得到，然后证明出，即可求解； （3）如图所示，连接，，延长至G，使得，证明出，得到，，作，然后得到当最小时，取得最小值，进而求解即可． 【详解】解：（1）小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证，为中点，为的中位线，． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，，可证，； （2）方法一：延长至，使得，连接， ∵D为中点 ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴；   方法二：延长至，使得， ∵D为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在与中 ，， ∴    ∴，即； （3）如图所示，连接，，延长至G，使得， ∴，，     在与中 ∵ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 作 ∴ ∴ ∴当最小时，取得最小值     ∵，E在射线上 ∴当时，取得最小值，即为 ∴线段的最小值． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米，将数字用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．某青年排球队12名队员的年龄情况如表： 年龄（单位：岁） 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员的年龄（   ） A．众数是19，中位数是19 B．众数是19，中位数是19.5 C．众数是19，中位数是20 D．众数是19，中位数是20.5 5．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明与小华从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明与小华恰好选中同一门课程的概率为（    ） A． B． C． D． 9．细胞的相对表面积是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积与细胞的半径成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为 B．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 C．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 10．如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 12．如图，已知中，，，点是边上一动点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分） 13．因式分解： ． 14．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算： （2）解不等式组： 17．（10分）如图，平行四边形中，E，F是直线上两点，且．求证：． 18．（10分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：      请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________； (3)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________； (4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人． 19．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n． 20．（10分）建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 21．（12分）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 22．（13分）（1）如图1，已知，，，，，连接，，点为中点，连接，求证：． 小明，小亮两位同学针对题目中的中点条件给出了两种处理策略： 小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证______，为中点，为的中位线，______． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，______，可证______，． （2）如图4，在中，，，在中，，，连接，，点为中点，连接，请求出线段与线段的数量关系； （3）如图5，中，，，点在射线上，，延长至，使得，边绕点顺时针旋转至，连接并延长至，使得点为中点，连接，求线段的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共9分） 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 17. （10分） 18（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （10分） 20. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（12分） 22.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米，将数字用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．某青年排球队12名队员的年龄情况如表： 年龄（单位：岁） 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员的年龄（   ） A．众数是19，中位数是19 B．众数是19，中位数是19.5 C．众数是19，中位数是20 D．众数是19，中位数是20.5 5．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明与小华从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明与小华恰好选中同一门课程的概率为（    ） A． B． C． D． 9．细胞的相对表面积是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积与细胞的半径成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为 B．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 C．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 10．如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 12．如图，已知中，，，点是边上一动点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分） 13．因式分解： ． 14．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算： （2）解不等式组： 17．（10分）如图，平行四边形中，E，F是直线上两点，且．求证：． 18．（10分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：      请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________； (3)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________； (4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人． 19．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n． 20．（10分）建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 21．（12分）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 22．（13分）（1）如图1，已知，，，，，连接，，点为中点，连接，求证：． 小明，小亮两位同学针对题目中的中点条件给出了两种处理策略： 小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证______，为中点，为的中位线，______． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，______，可证______，． （2）如图4，在中，，，在中，，，连接，，点为中点，连接，请求出线段与线段的数量关系； （3）如图5，中，，，点在射线上，，延长至，使得，边绕点顺时针旋转至，连接并延长至，使得点为中点，连接，求线段的最小值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$