第01讲 10.1.1～10.1.2(样本空间与随机事件+事件的关系和运算 知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册

第01讲 10.1.1 有限样本空间与随机事件+10.1.2 事件的关系和运算 课程标准 学习目标 ①理解随机试验的概念及特点。 ②理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间。 ③理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质。 1.数学建模：随机实验及样本空间的概念 2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间 3.数学运算：计算随机实验的样本空间 4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间； 知识点01： 有限样本空间 1.1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1.2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 知识点02：事件的分类 (1)随机事件： ①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． ②随机事件一般用大写字母，，，…表示． ③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2)必然事件： 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． (3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件． 知识点03：事件的关系 3.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 3.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 知识点04：事件的运算 4.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 4.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 【即学即练2】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期末）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的对立关系 【分析】设为三次投篮命中次，可得，，进而逐项分析判断. 【详解】设为三次投篮命中次， 则，可得， 所以，，，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 知识点05：互斥事件与对立事件 5.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 5.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 【即学即练3】（多选）（24-25高二上·河南信阳·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 【答案】AC 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确； 对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；， 对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球， 其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确； 对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误， 故选：AC 知识点06：事件的关系或运算的含义及符号表示 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 发生导致发生 并事件(和事件) 与至少一个发生 或 交事件(积事件) 与同时发生 或 互斥(互不相容) 与不能同时发生 互为对立 与有且仅有一个发生 ， 题型01 事件类型的判断 【典例1】（23-24高一·全国·随堂练习）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（       ）． A．3件都是正品 B．至少有1件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件的定义判断． 【详解】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生． 故选：D 【典例2】（2024高一·全国·课后作业）给出关于满足是的真子集的非空集合A、B的四个命题： ①若任取，则是必然现象；     ②若任取，则是不可能现象； ③若任取，则是随机现象；      ④若任取，则是必然现象． 其中正确的命题有 个． 【答案】3 【知识点】随机现象、子集的概念 【分析】根据集合是集合的真子集，可知集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，再根据随机现象，必然现象，不可能现象的定义判断即可求解. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，作出其韦恩图如图： 对于①：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然现象，故①正确； 对于②：任取，则是随机现象，故②不正确； 对于③：因为集合是集合的真子集，集合中存在元素不是集合中的元素，集合中也存在集合中的元素，所以任取，则是随机现象，故③正确； 对于④：因为集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然现象，故④正确；所以①③④正确. 故答案为：3.    【变式1】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断事件是否是随机事件 【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明. 【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则 对于A，令，则，故选项A不是不可能事件，故A错误； 对于B，由于，故不存在实数x使得，即选项B是不可能事件，故B正确； 对于C，令，则，故选项C不是不可能事件，故C错误； 对于D，令，则，即，故选项D不是不可能事件，故D错误； 故选：B. 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可． 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）下列事件中必然事件为 ，不可能事件为 ，随机事件为 （填序号）. ①13个人中至少有两个人生肖相同； ②车辆随机到达一个路口，遇到红灯； ③函数在定义域内为增函数； ④任意买一张电影票，座位号是2的倍数. 【答案】 ① ③ ②④ 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断即可. 【详解】因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件； 车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件； 因为，所以函数在定义域内为减函数，所以③是不可能事件； 买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件. 故答案为：①；③；②④. 【变式4】（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 (5)不可能事件 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】（1）根据随机事件的定义可得 （2）根据必然事件定义可得 （3）根据不可能事件定义可得 （4）根据随机事件的定义可得 （5）根据不可能事件定义可得 【详解】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. （2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件. （3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件. （4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件. （5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 题型02 样本点与样本空间 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【答案】(1){红心，方块，黑桃，梅花} (2) (3)答案见解析 (4) 【知识点】确定所给事件的包含关系、写出基本事件 【分析】（1） 一副扑克牌有四种花色，进而写出样本空间即可； （2）由扑克牌的点数1～6写出样本空间即可； （3）用列表表示所有结果，进而可得样本空间； （4）一次抽取2张，计算两张点数之和，进而可得样本空间. 【详解】（1）一副扑克牌有四种花色， 所以样本空间为{红心，方块，黑桃，梅花}． （2）扑克牌的点数是从1～6， 所以样本空间为. （3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) 故样本空间为 . （4）一次抽取2张，则 ， ， ， ， 所以样本空间为． 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) (4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1) 【知识点】写出基本事件 【分析】列举法写出样本点即可. 【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． （2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点： (3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). （3）“出现点数相等”包含以下6个样本点： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6). （4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1). 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出基本事件 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有 个样本点． 【答案】36 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用古典概型和样本空间的性质求解即可. 【详解】由题意得，一个骰子有6个面，抛两次，基本事件有种， 故这个试验的样本空间共有36个样本点. 故答案为：36 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出这个游戏对应的样本空间； (2)写出这个游戏的样本点总数； (3)写出事件A：“甲赢”的集合表示； (4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)} (2)9 (3)事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)} (4)事件B表示“平局” 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）根据题意结合样本空间的概念分析求解； （2）根据（1）即可得结果； （3）根据题意结合集合A的定义分析求解； （4）根据题意结合集合B的定义分析求解. 【详解】（1）由题意可知：样本空间为 {(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}. （2）由（1）可知：这个游戏的样本点总数为9. （3）由题意可知：事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}. （4）由题意可知：事件B表示“平局”. 【变式4】（23-24高一·全国·随堂练习）写出下列试验的样本空间： (1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况； (2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果； (3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和； (4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数． 【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面 ； (2)答案见解析； (3)； (4)． 【知识点】写出基本事件 【分析】确定样本点，再根据样本空间的定义求解. 【详解】（1）第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为： 正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面 （2）四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为： 甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙； （3）第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为： ； （4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为：． 题型03事件的关系 【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定所给事件的包含关系 【解析】根据事件间的基本关系直接判定即可. 【详解】根据事件之间的关系,知事件发生当且仅当事件发生或事件发生,所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题. 【典例2】（24-25高二·上海·课堂例题）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件； (2)既是互斥事件，又是对立事件； (3)； (4)； (5) 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】（1）（2）根据互斥事件和对立事件的定义分析判断； （3）（4）根据事件的包含关系分析判断； （5）根据事件的运算关系分析判断. 【详解】（1）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A与B是互斥事件， 但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A与B不是对立事件， 所以A与B是互斥事件，不是对立事件； （2）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以C与D既是互斥事件，又是对立事件； （3）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一定是黑色牌， 但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花， 所以事件B发生时，事件D一定发生，而事件D发生时，事件B不一定发生， 所以； （4）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的牌点数大于9，即牌点数为10，一定是5的倍数， 而抽出的牌点数为5的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10， 所以事件F发生时，事件E一定发生，而事件E发生时，事件F不一定发生， 所以； （5）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张， 若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10， 所以 【变式1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【知识点】确定所给事件的包含关系 【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案. 【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定所给事件的包含关系 【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可. 【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了事件的包含关系,属于基础题型. 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）抛掷两枚硬币，事件A：至少有一个正面朝上，事件B：两个正面朝上，则事件A、B的关系是 . 【答案】 【知识点】确定所给事件的包含关系 【分析】列举出事件A发生的不同结果以及事件B发生的不同结果，从而可得答案. 【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）； 事件B：：两个正面朝上，事件发生的不同结果是：（正，正）； 所以，事件A、B的关系是. 故答案为：. 题型04 事件的运算 【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 【典例2】（多选）（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】事件的运算及其含义、写出某事件的对立事件 【分析】要使电路是通路，则需甲原件正常，乙原件和丙原件至少有一个正常，分析各个选项表示的实际意义，得出结果. 【详解】A. 由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. B. “甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路. C. “甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. D. “甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路. 故选：ACD. 【典例3】（23-24高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设出现偶数，出现3的倍数．写出下面两个事件的对应子集： (1)至少有一个发生； (2)同时发生． 【答案】(1) (2) 【知识点】事件的运算及其含义、写出基本事件 【分析】由题可得事件与事件，再由事件的交与并即可求解． 【详解】（1）由题可得，，， 则至少有一个发生对应事件集合为：． （2）由题可得，同时发生对应事件集合为：． 【典例4】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．设A：至多一个点数是偶数，B：点数之和是奇数．求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)都是奇数 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】（1）（2）（3）（4）抛掷两颗骰子，出现的两个点数可以分成三个互斥的事件：两个都是偶数，记为；一奇一偶，记为；两个都是奇数，记为，所以，，然后利用事件的运算求解即可. 【详解】（1）抛掷两颗骰子，出现的两个点数可以分成三个互斥的事件：两个都是偶数，记为；一奇一偶，记为；两个都是奇数，记为， 所以，, 所以； （2）由（1）知, 所以； （3）由（1）知，，, 所以， 所以； （4）由（1）（3）知，, 所以都是奇数. 【变式1】（多选）（24-25高二上·海南海口·期中）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】事件的运算及其含义、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】利用随机事件的关系和运算直接判断选项即可. 【详解】对空中飞行的飞机连续射击两次， 其样本点有：“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”， 和“恰有一次击中飞机”， 所以，AC正确； 事件和事件交集为，且，B正确，D错. 故选：ABC 【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断两个集合的包含关系、事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据题意，由事件之间的基本关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 故选：BC 【变式3】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 【变式4】（多选）（24-25高一下·全国·课前预习）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据事件之间的关系与运算对每个选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，事件包含于事件，故A正确； 对于选项B，由于事件，不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知，故C错误； 对于选项D，由于至少有一次击中目标，恰有一次击中目标，所以两次都击中目标，故D正确． 故选：ABD. 题型05 互斥事件与对立事件的判定 【典例1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断. 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确. 故选:D. 【典例2】（23-24高一下·河南焦作·阶段练习）口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（    ） A．取出的“1元”硬币仅有一枚 B．取出的“5角”硬币仅有一枚 C．恰好取出2枚硬币 D．恰好取出3枚硬币 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】分析各选项的所指事件与总共取出元钱的事件的关系，再利用互斥事件的意义判断作答. 【详解】对于A选项：取出的“1元”硬币仅有一枚，这个事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，A不正确； 对于B选项：取出的“5角”硬币仅有一枚，这个事件有取出0.5元钱，1.5元钱，2.5元钱，共三个事件，不包含总共取出元钱的事件，B正确； 对于C选项：恰好取出2枚硬币的事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，C不正确； 对于D选项：恰好取出3枚硬币的事件有取出2元钱，2.5元钱，共两个事件，包含了总共取出元钱的事件，D不正确. 故选：B 【典例3】（多选）（2025高三·全国·专题练习）从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 【答案】AD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由互斥事件的概念逐项判断即可； 【详解】从中有放回地依次取出两个数， 共有三种情况：两个奇数一个奇数一个偶数两个偶数}， 且两两互斥，所以A选项：是互斥事件，但不是对立事件；B选项：不互斥；C选项：不互斥；D选项：是互斥事件，也是对立事件． 故选：AD 【典例4】（多选）（24-25高一·全国·课后作业）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义和性质判断. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个， 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立. 在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立； 在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立； 在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立； 故选：BD. 【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 【变式1】（2024高二·湖北·学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ） A．三次均未中靶 B．只有两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶 【答案】A 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念分析判断. 【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥， 事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误； 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（    ） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，选出正确选项. 【详解】事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”，显然两个事件不可能同时发生， 但两者可能同时不发生，如“甲分得红牌和白牌”与“乙分得蓝牌和黑牌”， 综上，这两个事件为互斥但不对立事件. 故选：C. 【变式3】（23-24高一下·北京）从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球 B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球 C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球 D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件 B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件 C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件 D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件 故选：D 【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单. 【变式4】（多选）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 【答案】ACD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于与合格率为均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解. 【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生， 对于A， 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件； 对于B，统计一个班级数学期中考试成绩， 平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件； 对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件； 对于D，检查某种产品，合格率高于与合格率为,为互斥事件； 故选：ACD. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ） ①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】先判断①是必然事件，③是不可能事件，而②④既有可能发生也有可能不发生，再根据随机事件的定义即可得到答案. 【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件； 由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件； 而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生； 函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生. 根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④. 故选：C. 2．（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】A 【知识点】随机现象、判断事件是否是随机事件 【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答. 【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 3．（24-25高二·上海·课堂例题）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据确定事件、不确定事件的定义可得答案. 【详解】事件A：一年最多有366天，所以367人中至少有2人生日相同，是确定事件； 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况， 点数为偶数是不确定事件. 故选：D. 4．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 【答案】C 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据题设及对立事件的定义写出A事件的对立事件即可. 【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”. 故选：C 5．（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】理解题意即可选出正确答案. 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 6．（23-24高一下·贵州毕节·期末）掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（    ） A．向上的点数小于3 B．向上的点数大于3 C．向上的点数至少为3 D．向上的点数为3 【答案】B 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据对立事件的定义求解即可. 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上的点数不超过3”的对立事件是 向上的点数大于3. 故选：B 7．（24-25高二上·上海·随堂练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有1个白球和都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和都是红球 【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】利用互斥事件和对立事件的概念分析各个选项的具体含义求解即可. 【详解】“至少有1个白球”和“都是白球”可以同时发生，故它们不互斥； “至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不互斥； “恰有1个白球”和“恰有2个白球”不可能同时发生，所以它们互斥，当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件； “至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，所以它们互斥. 因为它们必有一个发生，所以它们是对立事件. 故选：C. 8．（23-24高一下·福建三明·期末）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（    ） A．都是蓝球 B．都是黄球 C．恰有一个蓝球 D．至少有一个蓝球 【答案】A 【知识点】确定所给事件的对立关系 【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可. 【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”， 所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件、互斥事件，并事件，积事件的概念及事件之间的关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，“点数大于2”“点数大于5”“点数大于2”，故A错误； 对于B，点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即为对立事件，故B正确； 对于C，点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即与不是互斥事件，故C错误； 对于D，点数为奇数与点数大于5不可能同时发生，故，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．不一定是必然事件 C． D． 【答案】BD 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据三个事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解. 【详解】对于选项A：因为，，不一定是两两互斥事件，无法判断与是不是互斥事件，是不是对立事件，所以A不正确； 对于选项B：因为，，不一定是两两互斥事件，所以不一定是必然事件，所以B正确； 对于选项C：，所以C不正确； 对于选项D：，所以D正确； 故选：BD. 三、填空题 11．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 12．（2024高一下·全国·专题练习）从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件用样本点表示为 . 【答案】 【知识点】写出基本事件 【分析】先根据题意写出所有的样本点，表示出事件A和事件B，再根据交事件的定义即可解答. 【详解】从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数， 所有的样本点为10，12，13，14，15，20，21，23，24，25， 30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25个， 其中事件； 事件. 故事件用样本点表示为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【答案】(1) (2) 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 所以事件、事件恰好有一个发生为 14．（2024高三下·全国·专题练习）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C； (2)B与C； (3)B与D； (4)B与E； (5)A与E． 【答案】(1)A与C不是互斥事件 (2)B与C不是互斥事件 (3)B与D不是互斥事件 (4)B与E是互斥事件，B与E是对立事件 (5)A与E是互斥事件，A与E不是对立事件 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据是否可能同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立，即可逐一求解. 【详解】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”， 即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． （2）事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”． 事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”． 也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． （3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”， 也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． （4）由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的， 故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． （5）事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生， 故A与E是互斥事件，但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件． 15．（2024高一下·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)，{出现2点} (2)＝{出现1,2,3,4,5或6点}，＝{出现1,2,4或6点}． (3)＝{出现1或2点}；＝{出现1点}． 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】（1）写出事件包含的基本事件，利用事件的运算性质进行求解； （2）在（1）的基础上进行求解； （3）写出事件，并结合（1）得到答案. 【详解】（1）事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}， 事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}， 事件包含的基本事件为{出现1,2点}， 故，{出现2点}； （2）＝{出现1,2,3,4,5或6点}， ＝{出现1,2,4或6点}． （3）＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}； ＝{出现1点}． B能力提升 1．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 2．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】D 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：D． 3．（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是 ． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 【答案】② 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】由互斥事件和对立事件的性质逐一判断即可； 【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在①中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故①错误， 在②中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故②正确， 在③中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故③错误， 在④中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，且概率和为1，是对立事件，故④错误． 故答案为：②． 4．（19-20高一·全国·课后作业）已知关于的一元二次函数，设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和． （1）以为元素的样本空间共包含多少个样本点？ （2）指出事件“函数在区间上是增函数”的所有样本点． 【答案】（1）15个；（2），，，，共个． 【知识点】确定所给事件的包含关系、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）本题可结合题意写出以为元素的样本空间所包含的所有元素，即可得出结果； （2）本题首先可根据一元二次函数的性质得出且，然后找出满足条件的样本点，即可得出结果. 【详解】（1）以为元素的样本空间： ， 共包含个样本点. （2）因为函数的图像的对称轴为， 所以要使函数在区间上是增函数，需要满足且， 若，则； 若，则、； 若，则、， 故事件“函数在区间上是增函数”的所有样本点有： ，，，，共个. 【点睛】本题考查样本空间中包含的元素数目以及一元二次函数的相关性质，主要考查一元二次函数的单调性，能否明确题意中构成样本的元素特征是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 10.1.1 有限样本空间与随机事件+10.1.2 事件的关系和运算 课程标准 学习目标 ①理解随机试验的概念及特点。 ②理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间。 ③理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质。 1.数学建模：随机实验及样本空间的概念 2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间 3.数学运算：计算随机实验的样本空间 4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间； 知识点01： 有限样本空间 1.1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1.2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 知识点02：事件的分类 (1)随机事件： ①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． ②随机事件一般用大写字母，，，…表示． ③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2)必然事件： 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． (3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件． 知识点03：事件的关系 3.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 3.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 知识点04：事件的运算 4.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 4.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 【即学即练2】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期末）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的对立关系 【分析】设为三次投篮命中次，可得，，进而逐项分析判断. 【详解】设为三次投篮命中次， 则，可得， 所以，，，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 知识点05：互斥事件与对立事件 5.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 5.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 【即学即练3】（多选）（24-25高二上·河南信阳·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 【答案】AC 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确； 对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；， 对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球， 其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确； 对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误， 故选：AC 知识点06：事件的关系或运算的含义及符号表示 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 发生导致发生 并事件(和事件) 与至少一个发生 或 交事件(积事件) 与同时发生 或 互斥(互不相容) 与不能同时发生 互为对立 与有且仅有一个发生 ， 题型01 事件类型的判断 【典例1】（23-24高一·全国·随堂练习）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（       ）． A．3件都是正品 B．至少有1件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【典例2】（2024高一·全国·课后作业）给出关于满足是的真子集的非空集合A、B的四个命题： ①若任取，则是必然现象；     ②若任取，则是不可能现象； ③若任取，则是随机现象；      ④若任取，则是必然现象． 其中正确的命题有 个． 【变式1】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）下列事件中必然事件为 ，不可能事件为 ，随机事件为 （填序号）. ①13个人中至少有两个人生肖相同； ②车辆随机到达一个路口，遇到红灯； ③函数在定义域内为增函数； ④任意买一张电影票，座位号是2的倍数. 【变式4】（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 题型02 样本点与样本空间 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有 个样本点． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出这个游戏对应的样本空间； (2)写出这个游戏的样本点总数； (3)写出事件A：“甲赢”的集合表示； (4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 【变式4】（23-24高一·全国·随堂练习）写出下列试验的样本空间： (1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况； (2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果； (3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和； (4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数． 题型03事件的关系 【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二·上海·课堂例题）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 【变式1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）抛掷两枚硬币，事件A：至少有一个正面朝上，事件B：两个正面朝上，则事件A、B的关系是 . 题型04 事件的运算 【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【典例2】（多选）（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设出现偶数，出现3的倍数．写出下面两个事件的对应子集： (1)至少有一个发生； (2)同时发生． 【典例4】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．设A：至多一个点数是偶数，B：点数之和是奇数．求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（多选）（24-25高二上·海南海口·期中）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）（24-25高一下·全国·课前预习）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 互斥事件与对立事件的判定 【典例1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【典例2】（23-24高一下·河南焦作·阶段练习）口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（    ） A．取出的“1元”硬币仅有一枚 B．取出的“5角”硬币仅有一枚 C．恰好取出2枚硬币 D．恰好取出3枚硬币 【典例3】（多选）（2025高三·全国·专题练习）从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 【典例4】（多选）（24-25高一·全国·课后作业）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 【变式1】（2024高二·湖北·学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ） A．三次均未中靶 B．只有两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶 【变式2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（    ） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 【变式3】（23-24高一下·北京）从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球 B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球 C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球 D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球 【变式4】（多选）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ） ①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 2．（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 3．（24-25高二·上海·课堂例题）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 4．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 5．（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 6．（23-24高一下·贵州毕节·期末）掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（    ） A．向上的点数小于3 B．向上的点数大于3 C．向上的点数至少为3 D．向上的点数为3 7．（24-25高二上·上海·随堂练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有1个白球和都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和都是红球 8．（23-24高一下·福建三明·期末）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（    ） A．都是蓝球 B．都是黄球 C．恰有一个蓝球 D．至少有一个蓝球 二、多选题 9．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．不一定是必然事件 C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 12．（2024高一下·全国·专题练习）从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件用样本点表示为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 14．（2024高三下·全国·专题练习）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C； (2)B与C； (3)B与D； (4)B与E； (5)A与E． 15．（2024高一下·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求： (1)，； (2)，； (3)，. B能力提升 1．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 2．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 3．（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是 ． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 4．（19-20高一·全国·课后作业）已知关于的一元二次函数，设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和． （1）以为元素的样本空间共包含多少个样本点？ （2）指出事件“函数在区间上是增函数”的所有样本点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$