精品解析：重庆市第十八中学2024—2025学年下学期期中考试七年级数学试题

2025年春季重庆市第十八中学初一年级半期学习能力测查 数学试卷 考试说明： 1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：7页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数，0，，中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3．14 2. 的值为（ ） A. B. 0 C. 16 D. 4 3. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 5. （跨语文学科）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，垂直和平行三种 B. 若，，则 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行 7. 已知是方程的一个解，则的值是（ ） A. 16 B. 6 C. D. 4 8. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2025次运动后，点的坐标是（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有8个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到轴的距离是________． 12. 一个角的两倍加上等于这个角的补角，则这个角为________． 13. 设、为实数，且，则的立方根是________． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__________． 15. 规定：对于任意有理数与，满足，如，．若有理数满足，则的值为________． 16. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为_________；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为_________． 18. 一个四位正整数，如果满足各数位上的数字均不为0，且十位与个位之和为9，千位与百位之和为9，则这个数称为“树本数”．若交换千位与百位、十位与个位得到一个新数称为“励新数”，则最大的“树本数”与对应的“励新数”之差为_________；若能够被13整除，则满足条件的最小“树本数”为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，20-26题均为10分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解答下列各题 （1）； （2）． 21. 已知，如图，、直线，，，，求证：． 证明：（已知） （ ） （已知） （ ） （已知） （ ） 即 （ ） （ ） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位； （2）写出点，，坐标：________，________，________； （3）设点在轴上，且面积等于面积的两倍，求出点的坐标． 24. 如图，已知，于点，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的度数． 25. 随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． （3）若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 26. 如图1，点，，且满足． （1）直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； （2）点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季重庆市第十八中学初一年级半期学习能力测查 数学试卷 考试说明： 1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：7页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数，0，，中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3．14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：在实数，0，，中，属于无理数， 故选：C． 2. 的值为（ ） A. B. 0 C. 16 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； C、由，可以由同位角相等，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，再由数轴可知被覆盖的数在3和4之间，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知被覆盖的数在3和4之间， ∴被覆盖的数可能为， 故选：C． 5. （跨语文学科）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，据此解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：原图形平移后，水平的两根火柴的火柴头应在左边，竖直的两根火柴的火柴头应一上一下，只有符合， 故选：． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，垂直和平行三种 B. 若，，则 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面内直线的位置关系、平行线的判定与性质等相关知识，解题的关键是准确掌握这些概念和定理并对每个选项进行分析判断． 依次对每个选项依据相应的数学概念和定理进行分析，判断其真假性． 【详解】A、在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，垂直是相交的一种特殊情况，并非独立的一种位置关系，所以该选项错误； B、若，当a，b，c同一平面内时，；但如果不在同一平面内，与不一定平行，该选项缺少“在同一平面内”这个条件，所以该选项错误； C、必须是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，如果这个点在已知直线上，是无法作出与已知直线平行的直线的，所以该选项错误； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．那么一对内错角的角平分线所分得的小角也相等，根据内错角相等，两直线平行，可知这两条角平分线互相平行，所以该选项正确． 故选：D. 7. 已知是方程的一个解，则的值是（ ） A. 16 B. 6 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】已知方程组的解，将代入原方程即可求出m．本题主要考查了二元一次方程的解，已知方程的解则可以把解代入原方程得到一个新的参数方程，正确的理解和掌握方程的解的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，将代入， 得， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2025次运动后，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点在坐标系中的变化规律，分析图形是解题关键，由点的坐标变化得，坐标变化满足每5次一循环，探究出纵坐标为，然后再探究其横坐标的变化规律即可． 【详解】解：由图得，点的坐标变化规律是先沿边长为2的等边三角形的边运动，再沿边长为2的正方形的边运动，点的位置变化满足运动5次一循环， 即点的次运动与第5次运动的位置相同， 第5次坐标， 第10次坐标， 第15次坐标， ， 第次坐标， 第次坐标为即， 故选：． 9. 如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到进行求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ，即 过点作， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有8个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②不符合题意 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到轴的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标性质，解题的关键是注意不要将点到两坐标轴的距离混淆．根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，依此求解即可． 【详解】解：点的坐标是， 点到轴的距离为． 故答案为：． 12. 一个角的两倍加上等于这个角的补角，则这个角为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与补角有关计算，设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，再根据这个角的两倍加上等于这个角的补角建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 13. 设、为实数，且，则的立方根是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由平移的性质可得，空白部分是一个长方形，且长为，宽为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 15. 规定：对于任意有理数与，满足，如，．若有理数满足，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】解： 若， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：（舍去）． 故答案为：6 16. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，把方程，变形为，根据关于的一元一次方程的解为可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解满足， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为_________；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，再由在y轴上的点横坐标为0，得到，据此可求出点B的坐标；分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，则，由由垂线段最短可知，据此可得答案． 【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点， ∴点B的坐标为，即， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 如图所示，分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T， ∴ ， 由垂线段最短可知， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：；． 18. 一个四位正整数，如果满足各数位上的数字均不为0，且十位与个位之和为9，千位与百位之和为9，则这个数称为“树本数”．若交换千位与百位、十位与个位得到一个新数称为“励新数”，则最大的“树本数”与对应的“励新数”之差为_________；若能够被13整除，则满足条件的最小“树本数”为_________． 【答案】 ①. ②. 1845 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，对于第一空，要使“树本数”最大，那么首先要保证千位数字最大，据此确定千位数字和百位数字，同时也要保证十位数字最大，据此可确定十位数字和个位数字；对于第二空，设四位正整数的千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为，个位数字为，则，，则可求出，再由能够被13整除，得到能被13整除，要保证m最小，则要保证a最小，据此可得答案． 【详解】解：要使“树本数”最大，那么首先要保证千位数字最大，即千位数字为8，则百位数字为1，同时要保证十位数字最大，即十位数字为8，则个位数字为1， ∴最大的“树本数”为8181， ∴此时对应的“励新数”为， ∴最大的“树本数”与对应的“励新数”之差为； 设四位正整数的千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为，个位数字为， ∴， ， ∴ ， ∵能够被13整除， ∴能被13整除， ∵ 要保证m最小， ∴要保证a最小， ∴当时，，此时， ∴满足题意的最小的“树本数”为1845， 故答案为：6363；1845． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，20-26题均为10分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、化简绝对值、整式的加减，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简算术平方根、立方根、化简绝对值，再运算除法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理原式，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解答下列各题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解： 整理得 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 21. 已知，如图，、是直线，，，，求证：． 证明：（已知） （ ） （已知） （ ） （已知） （ ） 即 （ ） （ ） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质求出，求出，推出，根据平行线的判定推出即可． 详解】证明：（已知） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （已知） （等式的性质） 即： （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 非负数的性质，实数的运算，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位的； （2）写出点，，的坐标：________，________，________； （3）设点在轴上，且的面积等于面积的两倍，求出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）；； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （3）先求出面积，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到，，， ∴，，． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴轴， ∴， ∵的面积等于面积的两倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 24. 如图，已知，于点，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）连接，设，则，再根据建立方程，解方程可得，然后根据平行线的性质即可得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， ， ， ， 由（1）已得：， ， ， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 25. 随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． （3）若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 （2）共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 （3）购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润元 【解析】 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 26. 如图1，点，，且满足． （1）直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； （2）点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②图见解析，或 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案； （3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$