2025年中考数学二轮专题训练圆的阅读理解题常考热点题型专题提升训练

2025年中考数学二轮专题训练圆的阅读理解题常考热点题型专题提升训练 1．阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务： (1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 3．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 4．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    5．阅读材料： 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点到直线的距离为 ； 问题2： 已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值； 问题3：如图，设点为问题2中上的任意一点，点、为直线上的两点，且，请求出的最大值和最小值． 6．阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 7．【阅读新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为直径作．若交轴于点，则为方程的两个实数根． (1)由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：．同理可得：______． 所以为方程的两个实数根． (2)【运用新知】已知点，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． (3)【拓展提升】在平面直角坐标系中，已知两点，若以为直径的圆与交轴有两个交点，则以点的横坐标为根的一元二次方程是______． 8．阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 9．【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 10．阅读下列材料，并按要求解答相关问题： 【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论． 如图1，若是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边为直径的（直径两端点A、B除外） (1)已知：如图2，四边形是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接相交于点P． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数． ②求点P运动的路经长． (2)已知：如图3，在图2的条件下，连接，请直接写出E、F运动过程中，的最小值． 11．【阅读新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根．          (1)由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：．同理可得： ． 所以m、n为方程的两个实数根． 【运用新知】 (2)在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N． (3)已知点、，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展提升】 (4)在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 ． 12．阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边． 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，． 当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为． 模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立． 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题． 任务： (1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项） A．方程思想   B．统计思想   C．分类讨论   D．函数思想 (2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　； (3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　； (4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离． 13．阅读下列材料，然后解答问题． 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为． (1)当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）； (2)当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)； (3)当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由． 14．请阅读以下材料，并完成相应的问题． 作业15中有这样一道题：如图1，在中，平分，则． (1)如图2，若是的外角的平分线，则=______．请完成证明； (2)填空：如图3，已知中，，，，平分，则的面积与周长的比值是______； (3)如图4，请用直尺和圆规在上画一点P使得．（写出必要的文字说明） 15．（1）阅读材料：小红遇到这样一个问题：如图，在四边形中，，，，，求的长．小红发现，延长与相交于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决如图请回答：的长为 ． （2）参考小红思考问题的方法，解决问题： ①如图，在四边形中，，，，，求和的长； ②如图，四边形内接于，，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮专题训练圆的阅读理解题常考热点题型专题提升训练》参考答案 1．(1)见解析 (2)见解析 (3)转化思想和类比思想 (4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，则，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，可得，即可； （3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； （4）接并延长，交于点，连接，则，证明，即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 2．(1)见解析 (2)3 (3)8+8 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE； （3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． 又∵BA=GC，∠A=∠C， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB=MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD=GD， ∴DC=GC+GD=AB+BD； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF， ∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA， ∴△DCF≌△DBA（SAS）， ∴DF=AD， 又∵DE⊥AC， ∴AE=EF， ∵CF=AB=4，AC=10， ∴AE=3； （3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE=AB=4， 则△BDC的周长=2BE+BC=8+8． 故答案为：8+8． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 3．(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 4．（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 5．问题1：；问题2：或；问题3：的最大值和最小值分别是和 【分析】问题1：把直线化为：直接利用公式即可得到答案； 问题2：把直线整理，得，利用公式列方程求解即可； 问题3：先求圆心到直线的距离，判断出P到的最大距离与最短距离可得答案． 【详解】解：问题1：∵， ∴， ∵， ， ； 问题2：直线整理，得， 故， ∵，且与直线相切， ∴点到直线的距离等于半径1， 即， 解得或； 问题3：如图，过点作于点． ∵在中，，，， ∴圆心到直线的距离， ∴上的点到直线的最大距离为， 最小距离为， ∵， ∴的最大值为， 最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值． 6．(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）有题意可知利用了直径所对的圆周角是直角混合同弧所对的圆周角相等； （2）进一步证明，有即可； （3）连接AD，BF，利用切割定理即可求得，，，则，结合勾股定理求得．进一步证明，则，求得，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明： 又， ． ． ． （3）解：如图，连接，， ， ∴设，，，则． ∵是的切线，是割线， ∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去）， ，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线， ． ． ，， ，则． ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及勾股定理，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质． 7．(1) (2)与x轴相切，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用． （1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）先根据题意得出方程，再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； （3）由题意直接得出结论． 【详解】（1），，， 在中，， ∴， 化简得：， 故答案为：； （2）由题意得：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （3）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 10．(1)①的大小不会发生变化，的度数总等于；②点P运动的路经的长； (2)的最小值为． 【分析】（1）①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可； ②利用题干中的结论和圆的弧长公式解答即可； （2）通过分析得到当点P运动的轨迹的圆心与P，C两点在一条直线上时，取得最小值，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，理由： ∵四边形是边长为8的正方形， ∴， ∵点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，的度数总等于； ②∵，是一条定线段，， ∴所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边为直径的圆， 由于点E与点B重合，点F与点C重合时，点P与点B重合，点E与点C重合，点F与点D重合时，点P与正方形的对角线的交点重合， ∴点P运动的路经为以的中点为圆心，以的长为半径，圆心角为的圆弧， ∴点P运动的路经的长； （2）解：的最小值为，理由： 由（1）②知：在图2的条件下，在E、F运动过程中，点P运动的路经为以的中点为圆心，以的长为半径，圆心角为的圆弧， ∴当P，C两点与圆弧的圆心在一条直线上时，的值最小， 设的中点为O，则， 在中， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的弧长公式，勾股定理，点的运动轨迹，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的结论是解题的关键． 11．(1) (2)见解析 (3)与x轴相切，理由见解析 (4) 【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点； （3）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】（1）解：如图，连接，    由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：． 所以m，n为方程的两个实数根． 故答案为：； （2）解：以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图所示：    （3）解：与x轴相切，理由如下： 由题意知，与x轴两个交点的横坐标为的两个根， ， 与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）解：如图，    由勾股定理得，，． 在中，， 所以． 化简得：． 同理可得：． 所以m、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程的解，圆周角定理，一元二次方程的根的判别式，直线与圆的位置关系等，涉及知识点较多，解题的关键是看懂题目中所给的证明过程． 12．(1)C (2)10 (3)2 (4) 【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想； （2）根据两点之间线段最短可得出答案； （3）由点和圆的位置关系可知点在圆上，由直径的定义可得出答案； （4）取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大． 【详解】（1）解：上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想， 故答案为：C； （2）解：如图所示：线段与的和最小是． 故答案为：； （3）解：∵的直径为，， ∴点在圆上， ∵点为上一点， ∴直径时，有最大值，即， 故答案为：2； （4）解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系，， ∴当过点时，等号成立，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 13．(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可知，，则根据计算即可得出答案； （2）由正方形的性质可知四边形也是正方形，且其面积，则根据即可得出、、之间的关系； （3）由可得，过点作，，垂足分别为、，易证四边形为正方形，于是可得，，利用可证得，于是可得，进而可得，易证，则，然后根据即可得出结论． 【详解】（1）解：当经过点时，由正方形的性质可知： ，， ； （2）解：当于时，由正方形的性质可知： 四边形也是正方形，且其面积， ， 故答案为：； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： ， ， 如图，过点作，，垂足分别为、， 易证四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 易证， ， ． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，三角形的面积公式，列代数式，正方形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．(1)，见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（１）作，结合是的平分线，得到，，根据相似三角形的判定，得到，，即，根据平行线截线段成比例得到，即可求解， （2）作，根据角平分线的性质，设，通过，求出，进而求出，，即可求解， （3）根据垂径定理，找到的中点，结合圆周角定理，及的三等分点，根据图１的结论，即可求解， 本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，角平分线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是：充分利用材料提供的结论． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴设， ∵， ∴，，， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：作的中垂线，交于点，交于点，作的中垂线，交于点，作直线与交于点， ∵是的中垂线， ∴，， ∴， 由（）可知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 15．（1）；（2）①的长为，的长为；② 【分析】（1）延长、交于点，解，得出的长，那么，再解，即可求出； （2）①延长、交于点，由，得，那么，，设，则，，，在中，由得，求出，即可得解； ②延长、交于点，根据余弦的定义求出，根据相似三角形的性质求出． 【详解】解：（1）如图，延长、交于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴的长为 故答案为：； （2）①如图，延长、交于点， ∵，，， ∴， ∴，， 设， ∴，，， 在中，，， ∴， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴，，， ∴， ∴的长为，的长为； ②如图，延长、交于点， ∵四边形内接于，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题属于解直角三角形的相关计算，考查了角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，等角对等边，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$