精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年下学期九年级数学质检模拟卷（4月）

2024-2025 学年 (下)厦门双十中学 初三数学质检模拟卷 班级:_____________座位:_____________姓名:_____________ (试卷满分:150分 考试时间:120分钟) 考生注意: 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题(本大题有10小题，每题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意．) 1. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：11040000用科学记数法可表示为， 故选：D． 2. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握负数小于零、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键． 直接比较各数的大小即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的是，D选项符合题意． 故选D． 3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，解题关键是掌握一个图形沿一条直线对折，图形两部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，所以此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，所以此选项不符合题意； C、是轴对称图形，所以此选符合题意； D、不是轴对称图形，所以此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式与单项式的除法，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了单项式与单项式的除法，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键． 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 7. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 8. 某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（ ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A. 0.12 B. 0.15 C. 0.16 D. 0.18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数应用，首先利用待定系数法得到，然后将代入求解即可． 【详解】根据题意得，电流I和电阻R，成反比例函数关系，即 ∴将，代入得， ∴ ∴将代入得，． ∴若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为． 故选：B． 9. 如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，则与的数量关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，，，根据圆周角定理得到，得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：连接，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题(共6题，共24分) 11. 举例说明命题“若，则”是假命题，__________，__________． 【答案】 ①. a=2（答案不唯一） ②. b=－3（答案不唯一） 【解析】 【分析】去分母，不等式两边同乘ab，结果结论不正确，则ab必为负数，此刻不等号需要变号 【详解】∵ 不等式两边同时乘ab，去分母，不等式左边变为：b，右边为：a 又∵b＞a是假命题 ∴在去分母的过程中，不等号要变号 ∴ab＜0 故答案可以为：a=2，b=－3（答案不唯一） 【点睛】在解不等式的过程中，需要注意，不等式两边同乘或除一个负数时，不等号是需要变号的 12. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用树状图和列表法求概率，解题的关键在于根据题意画出树状图．利用树状图展示12种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算，即可解题． 【详解】解：记孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者分别为A，B，C，D， 根据题意可画树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的有2种结果， 所以两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是． 故答案为：． 13. 手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是______元． 【答案】支出 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用、正数和负数，根据题意列式计算并结合正数和负数的意义判断即可得解． 【详解】解：由题意可得：（元）， 故小明的爸爸当天微信收支的最终结果是支出元， 故答案为：支出． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形，边长为， ∴，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 已知实数k、m、， 且满足，，则的值为______________________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：， 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴点为的中点， ∴， ∵点、是反比例函数上的点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、 解答题 (共9题， 共86分) 17. 计算∶ 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算，涉及零次幂、负整数指数幂的运算，要熟练掌握． 注意明确实数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算．应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号要先做括号内的运算． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴， 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 如图，在正方形中，对角线与相交于点． （1）在上求作点，使得点到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求点到的距离． 【答案】（1） 如图所示，点就是所求的点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，正方形的性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． （1）如图，作的角平分线与的交点即为所求； （2）根据正方形的性质得出，，．过点作于点．由角平分线的性质得，得出．由勾股定理求出．设，则．由勾股定理求出，即可求出点到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是正方形的对角线， ，，． 过点作于点． 由（1）得， ． 由勾股定理，得， ． ． 设，则． 由勾股定理，得， ∴． 解得：（舍去）． 点到的距离为． 21. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）已知，，求的半径． 【答案】（1） 直线与相切， 理由如下：如图，连接， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、等边对等角、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等边对等角得出，，求出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，求出，则，由勾股定理得出，求出的值即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 由（1）可得：， ， 设，则，， ， ， ， ， 解得：， ， 的半径为． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 （2）购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 23. 阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： （1）求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） （2）若测得，，，求出小土坡的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解； （2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作交延长线于点，则， 设， 在中，，， ，， ， 在中，， ， ， ，即， ， 的长度为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， ， 答：小土坡的高度为． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 25. 如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G． （1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形； （2）求证：D、F、E三点共线； （3）当BG＝2EG时，求的值． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ∴，， 绕点B逆时针旋转至△BAF， ∴，， ∴△BDF是等边三角形． （2） 证明：连接DE，如图所示： ∵△BDF是等边三角形， ∴． ∵CD平移得到BE， ∴DE∥BC，， ∴， ∴， ∴点F在DE上， 即D，E，F三点共线． （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到； （2）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到； （3）由平移的性质可得EF∥BC，得到△GEF∽△GBH，再利用边之间的关系得到△ADF∽△ABH，利用相似三角形的性质得到AB与BE的长度，进而解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长AG，CB交于点H，如图所示： ∵EF∥BC， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵DF∥BH， ， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴，即D为AB中点， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∴． ∵BE∥CD， ∴， 在Rt△ABE中，． 【点睛】本题考查了平移旋转的性质及等边三角形的性质，根据平移旋转的性质找到不变的量是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年 (下)厦门双十中学 初三数学质检模拟卷 班级:_____________座位:_____________姓名:_____________ (试卷满分:150分 考试时间:120分钟) 考生注意: 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题(本大题有10小题，每题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意．) 1. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 8. 某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（ ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A. 0.12 B. 0.15 C. 0.16 D. 0.18 9. 如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，则与的数量关系是（　　） A. B. C. D. 10. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 二、填空题(共6题，共24分) 11. 举例说明命题“若，则”是假命题，__________，__________． 12. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________． 13. 手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是______元． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 15. 已知实数k、m、， 且满足，，则的值为______________________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为_______． 二、 解答题 (共9题， 共86分) 17. 计算∶ 18. 如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在正方形中，对角线与相交于点． （1）在上求作点，使得点到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求点到的距离． 21. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）已知，，求的半径． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 23. 阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： （1）求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） （2）若测得，，，求出小土坡的高度． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 25. 如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G． （1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形； （2）求证：D、F、E三点共线； （3）当BG＝2EG时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $