精品解析：湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期一模数学试题

长沙市一中2025届模拟试卷（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知菱形的边长为是 的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知在首项为1，公差为的等差数列中，是等比数列的前三项，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 是公差为3的等差数列 D. 10. 在正三棱柱中，分别为上的中点，四点均在球的表面上，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与所成的角的余弦值为 D. 球的体积为 11. 已知函数的定义域为，集合，则（ ）. A. 若，则. B. 若，且，则的图象在上存在对称轴. C. 若，且在上单调，则的取值范围是. D. 若中恰有6个不同元素，则. 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若，则__________. 13. 已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为__________. 14. 已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为 的中点. （1）证明： ； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为. （1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 17. 甲、乙两人进行知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求： （1）在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为，求的分布列和期望值； （2）甲在比赛中获胜的概率. 18. 已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，. （1）求双曲线的方程； （2）若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点. （i）求直线的斜率的取值范围； （ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程. 19. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求正实数的取值范围； （3）当时，若正实数满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中2025届模拟试卷（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数，众数，极差，中位数的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】平均数为，故A正确；众数为6，故B正确； 极差为，故C正确；数据的中位数为5，故D错误. 故选：D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集定义列式计算即可. 【详解】集合，因此. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定出的范围，从而可求得答案 【详解】因为， 所以为第一象限的角， 所以， 故选：A 4. 已知，且，则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 5. 已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对化简，然后可得和分别表示以为圆心，1和2为半径的圆，从而可求出点所在区域的面积为圆环的面积. 【详解】因为， 所以表示以为圆心，1为半径的圆， 表示以为圆心，2为半径的圆， 因此由，得点所在区域的面积为. 故选：C 6. 已知菱形的边长为是的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，从而用、作为基底表示出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为，则，，所以， 所以，所以， 故 . 故选：B 7. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质，结合光的反射定律三角形面积公式求得，再利用椭圆的定义，借助勾股定理理建立方程求解. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由与关于直线对称，得， 则，解得， ， 于是，即，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：D 8. 函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义求得，令，利用导数研究的单调性，作出函数的图象，根据直线过定点，通过数形结合的方法可求解. 【详解】， 所以有且仅有一个整数解， 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，单调递减. 当时，；当时，， ， 作出函数的图象，如图所示，直线过定点， 要使不等式恰有一个正整数解，则 解得. 故选：C. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知在首项为1，公差为的等差数列中，是等比数列的前三项，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 是公差为3的等差数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知求出等差数列的公差，然后分别计算分析可判断每个选项的正误． 【详解】因为，即，又，所以， 整理得，又因为，解得，故A正确； 由得，所以，所以，故B正确； 所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故C错误； ，即的公比为4，故，故D正确. 故选：ABD. 10. 在正三棱柱中，分别为上的中点，四点均在球的表面上，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与所成的角的余弦值为 D. 球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知可证平面平面，进而可得结论；对于B，在平面内的射影不垂直于可判断；对于C，设，利用基底求得可求解；对于D，可得球心为的中点，计算可判断. 【详解】对于A，如图1，取的中点，连接， 所以，又平面，平面，所以平面， 又且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面， 则平面平面，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连接，如图2， 若平面，平面，则， 因为分别为上的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又由正三棱柱，可得平面，所以平面， 所以平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 但由是正三角形，显然不成立，故平面不成立，故B错误； 对于C，设，则，注意到， ， 故，故， 因此两直线的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，由题意知，平面，又平面， 所以.同理，因为与均为以为斜边的直角三角形， 则球心为的中点，所以球的体积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，集合，则（ ）. A. 若，则. B. 若，且，则的图象在上存在对称轴. C. 若，且在上单调，则的取值范围是. D. 若中恰有6个不同元素，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数解析式结合角的值化简计算判断ACD，用时举反例判断B选项. 【详解】的定义域为， 对于A：当时，， 令得，所以当时，与矛盾， 所以不存在使，所以，故A正确； 对于B：当时，取，则 ，， 若的图象在上存在对称轴，则对称轴必为，则必有， 又与矛盾，故B错误， 对于C：当时，的单调递增区间是， 则，故C正确； 对于D：若中有6个不同元素，则方程在上恰有3个不同实根，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解 【详解】展开式的通项公式为, 由，故的系数为 而，得，解得. 故答案为： 13. 已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设在底面上投影为，过作，垂足为D，连接，则是二面角的平面角，由体积求得棱锥的高，再结合底面内切圆半径，即可求点到底面的距离，进而求得侧面上的高即可求解. 【详解】因为，所以是以为斜边的直角三角形. 由三棱锥体积公式得三棱锥高， 由点到的距离相等得出点在底面上投影到各边距离也相等， 所以是的内心，则到各边距离为内切圆半径， 过作，垂足为D，连接，则是二面角的平面角， 因为底面为直角三角形，所以内切圆的半径为. 则三棱锥侧面上的高为， 则. 故二面角的正弦值为. 故答案为：. 14. 已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设线段的中点为，设，则点在圆，根据，进而计算可求得的取值范围. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 设，则点在圆上，即圆， 圆心为，半径为， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 设，则， 设，则， 注意到，故，即，当且仅当时等号成立， 故.因此的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，分别取的中点，连接， 因为，故，又平面平面，且平面平面， 因此平面， 同理可知，平面， 因此且，故四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，运用法向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，所以， 以为原点，为轴，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，， ， 所以. 设平面的法向量为， 则有即 令，则，即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为. （1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】（1）120海里 （2），因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，所以能在3小时内赶到救援. 【解析】 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【小问1详解】 在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 17. 甲、乙两人进行知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求： （1）在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为，求的分布列和期望值； （2）甲在比赛中获胜的概率. 【答案】（1） 1 3 . （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知的所有可能取值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件，由计算求解即可. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为， 则， ， 故分布列为 1 3 . 【小问2详解】 设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 18. 已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，. （1）求双曲线的方程； （2）若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点. （i）求直线的斜率的取值范围； （ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）由题意知直线为，再由列式计算即可； （2）（i）设，直线，直线与曲线联立方程结合韦达定理求解即可；（ii）设直线，其中，直线与曲线联立方程结合韦达定理表示出，结合（i）及化简求解即可. 【小问1详解】 当时，此时直线为，代入双曲线可得，，从而， 因此，解得，故双曲线方程为. 【小问2详解】 （i）依题意，直线的斜率存在，设，不妨与上支交于点，直线， 联立得，则， ， 注意到直线与上，下两支交于两点，故，即. 注意到与双曲线上支交于两点，因此，即，即， 即，因此， 故，即斜率的取值范围是. （ii）设直线，其中， 联立得， 则， 则，同理， 则， 由（i）可知，， 则， 即， 得，故，解得 从而的方程为或. 19. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求正实数的取值范围； （3）当时，若正实数满足，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可； （2）对分类讨论，当时，设，二次求导得，再对分情况讨论，然后求解即可； （3）根据题意得出当且时， ，又当时，在单调递增. 设，其中，且，然后证明即可. 【小问1详解】 由得，又，则， 故切线方程为. 【小问2详解】 由，当时，则； 当时，此时，故； 当时，设，，令 则， 若，则单调递增，，因此单调递增， 故，符合题意； 若，令，即， 此时，在上单调递增，在上单调递减，因此. 而，设为的零点，注意到单调递增， 当时，此时，故，从而单调递增，故，符合题意； 当时，则存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，此时，即，因此， 综上可知，. 【小问3详解】 由（2）可知，当且时，，故， 当时，，令，则，其中，故单调递增. 设，其中，且， ，因此单调递增， 从而， 从而可得， 进而可知， 故. 【点睛】方法点睛：1、切线方程的求法：，点斜式写切线方程； 2、单调递增；单调递减； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $