2025年中考数学专题训练：图形的相似

2025年中考数学专题训练：图形的相似 一、单选题 1．如图，四边形的对角线，相交于点O，分别记，，，的面积为，，，，若，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　） A．15 B．18 C．21 D．24 3．如图，在中，为直角，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 5．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A．5cm B．4cm C．6cm D．4.5cm 6．在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，的垂直平分线与反比例函数的图象交于点E，与交于点D，与x轴交于点C．连接并延长，交于点F．若，且，则k的值为（　　） A．7 B． C．6 D． 8．如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边、于点、．若、是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为（   ）． A． B． C． D．不确定 二、填空题 9．如图，在中，，，点为的中点，，若过点作交于点，则的长为 ． 10．已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 11．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为 ． 12．在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时， ；当以、、、为顶点的四边形是矩形时， ． 13．如图，边长为6的正六边形内接于圆O，点P为劣弧的中点，连接，． （1）的度数为 ； （2）连接交于点，则 ． 14．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ． 15．如图，在矩形和矩形中，，矩形绕点在平面内旋转一周的过程中，直线，相交于点，则 °，的最小值为 ． 16．如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则 ． 三、解答题 17．图1，图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，点，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成两个画图任务，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图中画线段且，点均在格点上． (2)在图中画边上的高，在射线上找一点，使．(画线条数不超过三条） 18．如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作，交于点，且与相切于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 19．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 20．定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图1所示． 操作1：将正方形沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边上，折痕为，则四边形为矩形． (1)证明：四边形为矩形； (2)点M是边上一动点．如图2，O是对角线的中点，若点N在边上，，连接，求证． 21．如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． (1)如图2，若为的直径，求的度数． (2)求证： ①； ②． 22．如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ (3)求的面积与的关系式； (4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 《2025年中考数学专题训练：图形的相似》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C C C A A 1．B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到，，进而可判断B和C；将代入即可判断D． 【详解】解：∵ ∴（同底等高的两个三角形面积相等） ∴ ∴，故A正确； ∵点A，O，C共线 ∴点B到的距离等于点B到的距离 ∴，即 同理可得，，即 ∴ ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，故B正确； ∴，故C正确； ∴ ∴ ∴，故D正确． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，①， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴②， 解①②得，， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵为直角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 4．C 【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键． 设，证明，列出关系式，结合图象求出值，进而求出矩形面积． 【详解】解：根据图2得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， 当时，有最大值， ， ∴矩形的面积为 12 ， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴ 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义等知识，过A作轴于C，过B作轴于D，证明，得出，根据反比例函数的几何意义得出，，代入化简即可求解． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∵顶点A、B恰好分别落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】连接，由是的垂直平分线可得是的中位线，结合，可得，即．易证，所以，则，设，则，则，，，求出x的值，则可求出点E的坐标，进而可求出k的值． 【详解】解：如图，连接OD， 由题意可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即点D为的中点． ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， 则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的相关运算等知识，解题的关键是根据面积之间的关系得出方程． 8．A 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用以上知识点，确定相似三角形是解题的关键．延长交于点，设，，由题意可得，根据，易得，即，由题意得，因此，又根据，易得，即，得，因此，解得：或（负值舍去），即，在中，利用勾股定理得，最后根据正方形面积公式即可求出面积比． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是正方形， ，， 大正方形是由个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成， ，， 设，， ， ， ， ， 、是线段的两个三等分点， ， ， 即， 四边形是正方形， ， ， ， 即， ， 解得：或（负值舍去）， 即， 在中，， ， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据含角的直角三角形的性质可得，由，点为的中点，可得，，得到，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，点为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 根据矩形的性质以及勾股定理可得、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 12． 6 或或 【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：根据轴的性质得，由勾股定理得，求得，再根据两点间距离公式求出；第二空：分点在轴上和不在轴上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得，当与重合时，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况： ①当点在轴上，如图， 此时， ∴； ②当点不在轴上，如图， 过点作于点，于点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，或， 综上，的值为：1或5或6； 故答案为：6；1或5或6． 13． /度 【分析】（1）连接，交于点，先根据正六边形的性质求出，再根据圆周角定理可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据垂径定理可得，利用勾股定理求出的值，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点， ∵边长为6的正六边形内接于圆， ∴， ∵点为劣弧的中点， ∴， 由圆周角定理得：，， ∴， 故答案为：． （2）∵点为劣弧的中点，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 由圆周角定理得：， 由（1）已得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的性质是解题关键． 14． 【分析】延长到，使得，连接，可证明得到，再导角证明，得到三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点P的轨迹是解题的关键． 15． 90 【分析】本题考查矩形的性质，圆与多边形的综合，相似三角形的性质和判定以及解直角三角形，综合性比较高，难度较大． ①在矩形和矩形中，，则，由，得到，证明，得到，设直线与直线交于点，，从而得到结果； ②当与相切时，此时的值最小，分点在在上方和下方两种情况讨论，两种情况计算方法相同，在中，，则，，求得的长度，再利用和的关系，即可得结果． 【详解】在矩形和矩形中，， ， ， 又 ， ∴， 设直线与直线交于点， 如图（1）， 则， ， 连接，点在以为直径的圆上运动，如图（2）， 在右侧作，并使，连接，，， 则， 在矩形中，， ，且． ∵， ， ， 四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，， 若点在上方，则当与相切时，，此时点与点重合，如图（3）， 此时的值最小，， 在中，， ， ， ， ， 若点在下方，如图（4）， 同理可得的最小值为， 综上，的最小值为． 故答案为：90，． 16． 【分析】证明，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明，得到，，设设，利用勾股定理计算，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 连接，则垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 17．(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（）如图，取格点，连接，可得，因为，所以四边形是平行四边形，即得，故线段即为所求； （）如图，取格点，连接，交于点，则网格特点可知，再取格点，连接，与射线相交于点，由（）知，因为，所以由平行线等分线段定理可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质可得，故点即为所求； 本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段及点即为所求． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由直线为的切线可得，从而得出，进一步得出，由平行线的性质得到．由可得，再证得，最后得出结论； （2）由（1）知，设，则，，在中，，求出，，，证明，求出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴，即 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质和三角函数的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 19．(1)证明见解析； (2)①四边形是菱形，理由见解析；②． 【分析】（1）根据证明； （2）①根据（1）中：，得，则，证明，可得，则四边形是菱形； ②作高，设菱形的边长为，根据菱形的面积列式为，即，可得的值，证明，列比例式可得的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； ②过作于，设菱形的边长为，如图： ∵是等边三角形， ， ， ∵菱形的面积为， ，即， （负值已舍去）， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， ，， ， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义是解题的关键． （1）设正方形的边长为，先根据折叠的性质证四边形是矩形，再根据是等腰直角三角形得出和的比例关系，即可得证结论； （2）作，，垂足分别为，，证，根据线段比例关系得出即可得出结论． 【详解】（1）证明：设正方形的边长为， 是正方形的对角线， ， 由折叠的性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形； （2）证明：作，，垂足分别为，， 四边形是矩形，， ∴， 四边形是矩形， ，，， ∴， ，， 为的中点， ，， ， ， ∵ ， ， ． 21．(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圆周角之间的关系，熟练掌握弧、弦和圆周角之间的关系是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）①连接，先证明，，则可证明，进而证明，，进一步证明，得到，则可证明；②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；证明，得到，即，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴； ∵点P是的中点， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①如图所示，连接， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵∵点P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 22．(1) (2) (3)当时，；当时， (4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可； （2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答； （4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上； （3）解：①当时，点M在上，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； （4）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$