精品解析： 福建省泉州第一中学2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年下学期九年级期中试卷 数 学 考试时间：120分钟 满分150分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在四个实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．根据实数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可． 本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、不是同类项不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 6. 为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ） A. 乙班视力值的众数是 B. 甲、乙两班视力值的平均数相等 C. 甲、乙两班视力值的中位数相等 D. 视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可． 【详解】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 7. 如图，数轴上，两点对应的实数分别是和．若，则表示的实数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，数轴上两点之间的距离的含义，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键．设，根据，列方程即可求解． 【详解】解：设， ，数轴上，两点对应的实数分别是和， ， ． 故选：C． 8. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：电动车充电费为300元时能行驶的总路程燃油车燃油费为300元时能行驶的总路程，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 10. 已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小值的求法．根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件，列出方程求解逐一判断即可． 【详解】解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上， 即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， A、若，则有，即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ，故符合题意； B、若，则有，即， 解得：或， 当时，则， ， 当时，则， ，但不一定为0，故不符合题意； C、若，则有， 当时，才有，才有，故不符合题意； D、若，则有， 当且仅当时，才有， 此时，则，与题干矛盾，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 小聪有一本账册，如果小聪把收入元记为元，则支出元记为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，根据正负数表示一对相反意义的量，收入为正，支出为负，进行表示即可． 【详解】解：把收入元记为元，则支出80元记为元； 故答案为：． 12. 计算：＝______． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质进行计算即可． 【详解】解：＝4+1＝5． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据： 移植总次数n 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 1335 3203 6335 8037 12628 成活的频率 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】根据用频率估计概率的方法即可进行解答． 【详解】解：由表可知：经过大量重复试验，成活的频率逐渐稳定到， ∴该种幼树在此条件下移植成活的概率是， 故答案为：． 【点睛】利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率． 14. 如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理的推论，圆周角定理等；连接，由切线的性质得 ，由垂径定理的推论得，由圆周角定理得，即可求解；掌握切线的性质，垂径定理的推论，圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， 过点D作的切线， ， 是直径，是弦，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数的图象于点A、B，若，则k的值为____． 【答案】8 【解析】 【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AD⊥x轴于点D，直线AB交x、y轴于点G、C，可先求出OG、OC，进而可证△BOG∽△OAC，然后根据相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AD⊥x轴于点D，直线AB交x、y轴于点G、C，如图所示： ∵直线AB的解析式为，PB⊥y轴，PA⊥x轴， ∴点， ∴OC=OG=4， ∴∠OGC=∠OCG=45°， ∵PB∥OG，PA∥OC， ∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°， ∴PA=PB， 设点， ∴点， ∵∠AOB=135°， ∴∠BOG+∠AOC=45°， ∴∠AGO=∠OCG=45°， ∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°， ∴∠OBG=∠AOC， ∴△BOG∽△OAC， ∴， ∴， 在等腰直角三角形BFG中，， 在等腰Rt△ACD中，， ∴， ∴k=8， 故答案为8． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，在等腰中，，于点D，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交直线于点F，连接交于点M．若，，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质得出，由直线垂直平分，求出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出，根据等腰三角形的性质得出，等量代换求出即可得到；在上截取，使，连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，，再求出，根据推出，根据全等得出，从而得到，据此求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴； 在上截取，使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6．  三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：用加减消元法进行求解即可. 试题解析： ， ①×3，得：＝15③， ③-②，得x＝4， 把x=4代入①，得，4+y=5，∴y=1， ∴. 18. 如图，在中，点D，F分别为边，的中点．延长到点E，使，连接．求证：． 【答案】 证明：∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点为边的中点，得，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 19. 化简求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将的值代入计算，掌握分式的混合运算法则、分母有理化是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式． 20. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 作的垂直平分线交于点E． 点就是所求作的点． （2）2.5 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于E，点E即为所作的点； （2）证明，所以，再由，不难求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；连接，由（1）知． ， 平分， ， ， ， 又， ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键． 21. 已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：菱形， ， ∵N是的中点， ． 由旋转可知：， ，， 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和菱形的性质，是解题的关键： （1）根据菱形的性质，旋转的性质，得到，进而得到，，推出，即可； （2）设，根据旋转的性质，结合勾股定理求出的长，进而表示出的长，求出的值，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由旋转可知：， ， ， ， ， 又， ， 设，在中，， ， ， ， ， 的长为． 22. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子． （1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________； （2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可； （2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第3排第2列的那个位置时，符合题意，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果， ∴． 23. 年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． （1）求与的函数关系式． （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 【答案】（1） （2）当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元 （3）当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大 【解析】 【分析】本题考查一次函数、不等式解应用题，读懂题意，准确得到函数表达式及不等式（组）求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，由总利润单个利润销量即可得到答案； （2）由购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且购进这两种模型共个，列不等式组求解，再由（1）中与的函数关系式，根据一次函数性质即可得到答案； （3）由题意得到，结合一次函数性质，对分类讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个， 依题意可列函数关系式为：， 即， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且购进这两种模型共个， ∴， 解得， ∵在中，， ∴在中，随的增大而减小， ∵为正整数， ∴当时，， 此时， ∴当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：依题意，得， 即（且为整数）， ①当时，， ∴随的增大而减小， ∴当时，值最大． ②当时，在内取任意整数值，值恒为． ③当时，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最大． 综上所述，当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 24. 综合与实践 大自然里，存在很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶子，以其对称的形态和流畅的脉络，展现自然万物独特的形态之美． 【问题发现】 如图，一个数学兴趣小组为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现了该片心形叶子下部轮廓线可以近似看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的解析式． 【问题探究】 探究发现，该心形叶片的对称轴为直线．求该叶片与y轴的交点Q的坐标． 【拓展应用】 记叶尖A、叶柄B的距离为d．继续探究发现，当叶片的宽度最大为k时，d与k的比值接近黄金分割值，求的值．（结果精确到，参考数据：．） 【答案】【问题发现】，【问题探究】，【拓展应用】 【解析】 【分析】[问题发现]利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可； [问题探究]先证明四边形为矩形，再求出与点的坐标，然后证明四边形为正方形，从而可说明与为同一点，求出的坐标即可； [拓展应用]先求出，两点的坐标，再求得叶尖A、叶柄B的距离为d，设与垂直的直线可设为，求出直线与抛物线的一个交点，再求出它关于直线的对称点的坐标，然后求出这两点的距离（用表示），并求出最大值，然后代入求值． 【详解】解：[问题发现] 把代入， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； [问题探究] 过点作，交抛物线于点，过点作交于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∵心形叶片的对称轴为直线， ∴点，， ∴点的纵坐标为，， ∴，解得：（舍去）或， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴直线为正方形对称轴，又为心形叶片的对称轴， ∴的对应点为， 而为心形叶片与轴的交点，心形叶片与轴只有一个交点， ∴与为同一点， ∵四边形为正方形，点的坐标为， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； [拓展应用] ，解得或， ，， ∴， ∵叶尖A、叶柄B的距离为d． ∴， ∵直线的解析式为， ∴设与垂直的直线可设为， 则，可化为或， ∵要求叶宽最大， ∴ ∴， 则直线与心形叶片的交点为， ∵，解得：， ∴， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点为， ∴叶片的宽度为 ∴当，解得：时，叶片的宽度有最大值，即， 又， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，正方形的判定与性质，平面直角坐标系内两点间的距离，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 25. 如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点F，使得，交于点E． （1）求证：． （2）若，求证：B，O，E三点共线． （3）如图2，连接并延长交延长线于点P，连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形内接于， ∴， ∵， ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2） 证明：连接， 由(1)得， ， ， ． 是的直径， ∴B，O，E三点共线． （3）5 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由圆的内接四边形的性质得，结合三角形内角和定理得，即可得证； （2）连接，可得，由圆的基本性质得是的直径，即可得证； （3）连接，，过点作于点，等腰三角形的判定及性质得 ， ，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正方形的判定方法得 菱形是正方形，可得是的直径，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：连接，，过点作于点． 由(1)得， ， ． ， ， ， 由（2）知，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ， ． 点A、C、D、E在上， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 过作交于， ，， ， ， ， 与、相交于矛盾， 与重合， ． 菱形是正方形． ． 是的直径， 的半径是5． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理等；掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期九年级期中试卷 数 学 考试时间：120分钟 满分150分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在四个实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ） A. 乙班视力值的众数是 B. 甲、乙两班视力值的平均数相等 C. 甲、乙两班视力值的中位数相等 D. 视力值的波动程度甲班大于乙班 7. 如图，数轴上，两点对应的实数分别是和．若，则表示的实数为（　　） A. B. C. D. 8. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 10. 已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 小聪有一本账册，如果小聪把收入元记为元，则支出元记为______元． 12. 计算：＝______． 13. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据： 移植总次数n 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 1335 3203 6335 8037 12628 成活的频率 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到）． 14. 如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 _______ ． 15. 如图，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数的图象于点A、B，若，则k的值为____． 16. 如图，在等腰中，，于点D，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交直线于点F，连接交于点M．若，，则__________．  三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： 18. 如图，在中，点D，F分别为边，的中点．延长到点E，使，连接．求证：． 19. 化简求值：，其中． 20. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子． （1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________； （2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 23. 年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． （1）求与的函数关系式． （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 24. 综合与实践 大自然里，存在很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶子，以其对称的形态和流畅的脉络，展现自然万物独特的形态之美． 【问题发现】 如图，一个数学兴趣小组为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现了该片心形叶子下部轮廓线可以近似看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的解析式． 【问题探究】 探究发现，该心形叶片的对称轴为直线．求该叶片与y轴的交点Q的坐标． 【拓展应用】 记叶尖A、叶柄B的距离为d．继续探究发现，当叶片的宽度最大为k时，d与k的比值接近黄金分割值，求的值．（结果精确到，参考数据：．） 25. 如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点F，使得，交于点E． （1）求证：． （2）若，求证：B，O，E三点共线． （3）如图2，连接并延长交延长线于点P，连接，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $