精品解析：福建省泉州市晋江市安海中学等五校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2025年春季期中教学质量监测初一年数学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程为一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元一次方程的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3. 下列方程组为二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据“与7的和比与3的差的4倍少2”，可列出方程（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A B. C. D. 6. 已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A. 2025 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣2025 7. 把不等式解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 8. 为纪念3月22日“世界水日”活动，某地举办了主题为“精打细算用好水资源，从产业细管好水资源”的知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若聪聪本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对_____道题（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 9. 若不等式的解集是，则必满足（ ） A. B. C. D. 10. 若方程组的解为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知，用含x的代数式表示y，则________． 12. 写出一个不等式，使它解为，则这个不等式可以是___________． 13. 某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利20%，若该书的进价为20元，则标价为___________元． 14. 方程组的解是_________． 15. 关于x一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________． 16. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程： 18. 解方程组 19. 解不等组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 已知是关于的方程的解，求下列各式的值． （1）； （2）． 21. 已知 4x－y=6，x －y＜2，求 x 的取值范围. 22. 我们知道在一定条件下，弹簧的伸长量跟所挂物体质量成正比，根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）挂一个小砝码弹簧伸长_____cm，挂一个大砝码弹簧伸长______cm． （2）如果要使弹簧长度为10cm，应挂大砝码、小砝码各多少个？ 23. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的． 应用题：小东计划在某商场购买一台电视和一台空调，已知在“五一”节前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元．问：“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元， 根据题意，得 （1）被污染的条件是________； （2）请根据以上信息完成没写完的解答． 24. 如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． （1）设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； （2）当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． （3）若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 25. 对、定义一种新运算，记为：． （1）若，如：，则________； （2）若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期中教学质量监测初一年数学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程为一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解概念，熟知一元一次方程满足的条件是解答的关键． 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、方程是一元一次方程，符合题意； B、不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； C、不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数的最高次数是2次，故不是一元一次方程，不符合题意， 故选：A． 2. 若是关于的一元一次方程的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的解，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 3. 下列方程组为二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程，两个结合在一起的共含有两个未知数的一次整式方程叫二元一次方程组．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的次数是2，不是二元一次方程组； B、中第一个方程中的y在分母，不是二元一次方程组； C、中含有3个未知数，不是二元一次方程组； D、是二元一次方程组； 故选D． 4. 根据“与7的和比与3的差的4倍少2”，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据条件x与7的和为，与3的差的4倍少2即为，然后列出等量关系即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：A． 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断可求解． 【详解】解：∵a＞b， ∴a-c＞b-c，故A符合题意； c-a＜c-b，故B不符合题意； 当c＜0时，ac＜bc，故C不符合题意； 当时，无意义，故D不符合题意． 答案：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 6. 已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A. 2025 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值等知识点，运用整体法求出的值是解题的关键． 方程组中的两个方程直接相加即可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， ∴． 故选：B． 7. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集为，从而可求解． 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：， ， ． 在数轴上表示为： ． 故选：． 8. 为纪念3月22日“世界水日”活动，某地举办了主题为“精打细算用好水资源，从产业细管好水资源”的知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若聪聪本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对_____道题（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设聪聪答对x道题，则不答或答错道题，利用得分答对题目数不答或答错题目数，结合得分不低于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设聪聪答对x道题，则不答或答错道题， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最小值为22， ∴聪聪至少答对22道题． 故选：C． 9. 若不等式的解集是，则必满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而可得：＜ 于是可得答案． 【详解】解： 不等式的解集是， ＜ ＜ 故选： 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．”是解题的关键 10. 若方程组的解为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的特殊解法，理解题意，得方程组的，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的 则得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】2x+6 【解析】 【分析】把x看做已知数求出y即可． 【详解】解：方程y-2x=6， 解得：y=2x+6． 故答案为：2x+6． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 12. 写出一个不等式，使它的解为，则这个不等式可以是___________． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据要求构造不等式即可． 【详解】解：∵的解集为：， ∴符合条件的一个不等式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的含义是求解本题的关键． 13. 某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利20%，若该书的进价为20元，则标价为___________元． 【答案】30 【解析】 【分析】设每本书的标价为x元，根据八折出售可获利20%，可得出方程：80%x-20=20×20%，解出即可． 【详解】解：设每本书的标价为x元， 由题意得：80%x-20=20×20%， 解得：x=30． 即每本书的标价为30元． 故答案为：30． 14. 方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同学对三元一次方程组的解法的知识点的掌握情况.此题可分别利用加减消元法求出三个未知数的值，难度不大,同学要认真求解. 【详解】解： 已知方程 ①+② 得2y=16,解得y=8, ②+③ 得2z=6, 解得z=3, ①+③ 得2x=12,解得x=6. ∴方程的解为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查同学对三元一次方程组的解法的知识点的理解与掌握情况主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异．其思路都是利用消元法逐步消元. 15. 关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________． 【答案】1或-1 【解析】 【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值． 【详解】解：移项合并得：， 系数化为1得：， ∵x为正整数， ∴2-k=1或2-k=3， 解得k=1或-1， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值． 16. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，先表示出，再求出y，最后再求解x即可． 【详解】解：设正方形框内部分为，如图 则由题意得，， ∴， 则， ∴， 解得：， 由 得， ∴， ∴， 由， 得： ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17 解方程： 【答案】x=3 【解析】 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的知识．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键． 19. 解不等组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示解集，求出每个不等式的解集，表示在数轴上，写出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 在同一数轴上表示它们的解集如下： ∴不等式组的解集是． 20. 已知是关于的方程的解，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）0 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值． （1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可； （2）由（1）得，将其代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ． 21. 已知 4x－y=6，x －y＜2，求 x 的取值范围. 【答案】x的取值范围是x＞1. 【解析】 【分析】求x的范围，只需要将y换成x的表达式，就可以得到关于x的一元一次不等式 【详解】∵4x－y=6， ∴y=4x-6， ∵x－y＜2， ∴x－（4x－6）＜2， 解得：x＞1， 即x的取值范围是x＞1. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的性质，解题的关键是将y换成x. 22. 我们知道在一定条件下，弹簧的伸长量跟所挂物体质量成正比，根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）挂一个小砝码弹簧伸长_____cm，挂一个大砝码弹簧伸长______cm． （2）如果要使弹簧长度为10cm，应挂大砝码、小砝码各多少个？ 【答案】（1）1，2 （2）应挂大砝码2个，小砝码3个 【解析】 分析】（1）根据图中信息，即可分别求出结论； （2）设挂大砝码x个，则挂小砝码(5－x)个，根据题意列出方程，解方程即可得出结论． 小问1详解】 根据图中信息可知：弹簧原长3cm，挂一个小砝码弹簧伸长(6－3)÷3=1cm 挂一个大砝码弹簧伸长(7－3)÷2=2cm 故答案为：1，2； 【小问2详解】 设应挂大砝码x个，则小砝码（5-x）个 根据题意得：， 解得：， 则， 即：应挂大砝码2个，小砝码3个． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 23. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的． 应用题：小东计划在某商场购买一台电视和一台空调，已知在“五一”节前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元．问：“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元， 根据题意，得 （1）被污染的条件是________； （2）请根据以上信息完成没写完的解答． 【答案】（1）同样的空调每台优惠400元 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据所列方程组中的第二个方程为，可得出同样的空调每台优惠400元； （2）根据“促销前购买一台电视、一台空调，共花费5500元，促销期间购买同样的电视一台、空调两台，共花费7200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵所列方程组的第二个方程为， ∴被污染的条件是同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； 【小问2详解】 解：， 解得：， 答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元． 24. 如图，甲、乙两位同学在长方形场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． （1）设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； （2）当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． （3）若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 【答案】（1） （2）26秒，见解析 （3）130秒，见解析，、两点间的距离为8米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）利用路程=速度×时间，可用含t的代数式表示甲的路程； （2）利用甲、乙的路程之和等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点P的位置； （3）利用甲、乙的路程之差等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点Q的位置，再利用，即可求出结论． 【小问1详解】 解：用含的代数式表示甲的路程为米， 故答案为：； 小问2详解】 解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）． 当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为26秒，相遇点的位置如图所示： 【小问3详解】 解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）， （米）． 答：经过130秒，乙第一次追上甲，相遇点的位置如图所示，此时、两点间的距离为8米． 25. 对、定义一种新运算，记为：． （1）若，如：，则________； （2）若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】（1）8 （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$