精品解析： 福建省厦门市松柏中学2024-2025学年下学期七年级数学期中考卷

2024-2025学年（下）厦门松柏中学初一数学期中考试试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意） 1. 如图所示，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 平行于同一条直线两条直线平行 5. 已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ） A. 4－5 B. 3 C. 4－ D. 4＋ 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 8. 如图，，则与数量关系是( ) A B. C D. 二、填空题（本大题有8个小题，每小题4分，共32分） 9. 计算：______；_______． 10. 已知方程，适用含 x 的代数式表示 y，则____． 11. 如图，，，且，，，则点C到直线的距离是______． 12. 如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是______． 13. 如图，直线相交于点O，把分成两部分，若，且，则的度数是______． 14. 在平面直角坐标系中，已知两点坐标，．若轴，则的长是______． 15. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________． 16. 图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角____________；若反射光线与水平线的夹角是时，则____________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 18. 解方程组： （1） （2） 19. 如图，，且，那么直线与平行吗？为什么？ 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 21. 已知在平行线m，n上分别有A，B，C，D四点，连接，． （1）尺规作图：作射线，在射线上作，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，证明． 22. 如图，三角形中任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）画出三角形，并直接写出点D、E、F的坐标； （2）请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； （3）若点是三角形内部一点，则平移后对应点N的坐标为，求点M的坐标． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图1，直线与直线，分别交于点，，与互补． （1）如图1，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （2）如图2，与的平分线交于点P，的延长线与交于点G、H是上一点，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I类中任意两点的绝对距离的最大值为，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为，称与的较大值为分类系数．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数． （1）若将点分为第I类，点，，分为第Ⅱ类，则________，________，因此，这种分类方式的分类系数为________； （2）将点，，，，分为两类，求分类系数的最小值： （3）点的坐标为，已知将6个点，，，，，分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年（下）厦门松柏中学初一数学期中考试试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意） 1. 如图所示，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，由定义：角的两边分别互为反向延长线的两个角叫做对顶角，进行逐一判断，即可求解．理解定义是解题的关键． 【详解】A.是邻补角，不是对顶角，此项错误，故不符合题意； B.不共顶点，其中有一条边不是互为反向延长线，故不符合题意；； C.其中有一条边不是互为反向延长线，故不符合题意； D.符合定义，故此项正确； 故选：D． 2. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数和无理数定义，根据无理数指的是无限不循环小数解题即可． 【详解】解：A. 0是有理数； B. ，是有理数； C. 是无理数； D. 是有理数； 故选：C． 3. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可． 【详解】解：因为， ∴． 所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 故选：C． 【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键． 5. 已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程、二元一次方程组的解，掌握相关定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解是两个方程公共的解即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解， 二元一次方程组的解是， 故答案为：A． 6. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ） A. 4－5 B. 3 C. 4－ D. 4＋ 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据面积确定大长方形的长和宽，然后再利用长方形的面积减去两个小正方形的面积． 【详解】解：两个面积分别为16和5的正方形， 大正方形的边长为4，小正方形的长为， 阴影部分的长方形的宽为，长为， 阴影部分图形的面积和为：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，关键是正确理解题意，确定长方形的长和宽． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 8. 如图，，则与的数量关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．过点作，令与交于点，先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【详解】解：设 则，，， 过点作，令与交于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ； ； ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题有8个小题，每小题4分，共32分） 9. 计算：______；_______． 【答案】 ①. 5 ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根及算术平方根的意义，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 根据算术平方根的意义即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：5，3. 10. 已知方程，适用含 x 的代数式表示 y，则____． 【答案】 【解析】 【分析】将看作常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握等式的性质，是解题的关键． 11. 如图，，，且，，，则点C到直线的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案：5． 12. 如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式． 先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长，从而得到即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ， 数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 13. 如图，直线相交于点O，把分成两部分，若，且，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角的性质，设，，根据对顶角相等，邻补角互补求解即可． 【详解】解：设，，则， ， 解得， ， 又， ， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知两点坐标，．若轴，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握与x轴平行的点的坐标特点．由x轴可知A、B纵坐标相等即可求得m的值． 【详解】解：∵轴，两点坐标，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 16. 图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角____________；若反射光线与水平线的夹角是时，则____________． 【答案】 ①. ②. 53 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，根据题意的新定义内容，作出法线，结合已知角，得出，再利用角的运算，得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别作出两个定日镜的法线： ∵反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵光线是平行的 ∴ ∵反射光线与水平线的夹角是时 ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故答案为：，53 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，实数的混合运算，先计算立方根，绝对值，再合并即可. 【详解】解： . 18 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． （1）应用代入消元法先消去求解，再进一步求出方程组的解即可； （2）应用加减消元法先消去求解，再进一步求出方程组的解即可． 【小问1详解】 解：， ①代入②，可得： ， 解得， 把代入①， 解得， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， ∴原方程组的解是． 19. 如图，，且，那么直线与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．设长方形信封的长为，宽为，根据长方形信封的面积列方程求解，得到长方形信封的长、宽，再求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】解：信封的长、宽之比为， 设长方形信封的长为，宽为， 由题意得：， （负值已舍去）， 长方形信封的长为，宽为， 正方形贺卡的面积为， 正方形贺卡的边长是． ， ， ，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 21. 已知在平行线m，n上分别有A，B，C，D四点，连接，． （1）尺规作图：作射线，在射线上作，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，证明． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，画射线，作一条线段等于已知线段； （1）根据射线，线段的特点画图即可； （2）先证明，可得，结合，可得，从而可得结论. 【小问1详解】 解：如图，射线，线段，即为所求； ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 22. 如图，三角形中任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）画出三角形，并直接写出点D、E、F的坐标； （2）请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； （3）若点是三角形内部一点，则平移后对应点N的坐标为，求点M的坐标． 【答案】（1）作图见详解；，， （2）三角形向右平移4个单位再向上平移2个单位 （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图、坐标的平移变化，平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，熟练掌握平移的规律是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，进而画图、求解坐标． （2）根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可． （3）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，列方程组求解即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求；，，； 【小问2详解】 解：根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，三角形是由三角形向右平移4个单位再向上平移2个单位得到的． 【小问3详解】 解：由题意得，平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2， 得， 解得， ， ． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 24. 如图1，直线与直线，分别交于点，，与互补． （1）如图1，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （2）如图2，与的平分线交于点P，的延长线与交于点G、H是上一点，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 【答案】（1）平行；理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线与直线平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据与的角平分线交于点P，可得，进而证明； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数． 【小问1详解】 解：， 理由：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； 即的大小是定值． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，三角形的内角和定理的应用，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I类中任意两点的绝对距离的最大值为，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为，称与的较大值为分类系数．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数． （1）若将点分为第I类，点，，分为第Ⅱ类，则________，________，因此，这种分类方式的分类系数为________； （2）将点，，，，分为两类，求分类系数最小值： （3）点的坐标为，已知将6个点，，，，，分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；5；5 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题目的定义计算各点间的绝对距离进行比较即可； （2）先求出每两个点之间的绝对距离，再根据分类系数d要最小进行判断分析； （3）分点F在点A的左边和在点E的右边两种情况分别考虑． 【小问1详解】 解：观察坐标图，根据题意得知，；； 因为， 所以分类系数为5． 故答案为：2；5；5； 小问2详解】 解：∵由题意可知，，，，，，，，，，， 将A，B，C，D，E分成两类，且分类系数最小， 若B与E分在同一类，则分类系数； 若B与E分在不同的类，则分类系数． ∴分类系数d的最小值为4． 【小问3详解】 解：如图， 当时：F，A分到一类，点B，E的绝对距离是5，点A，F的绝对距离是5； F再向右走时，F，A分到一类，点B，E的绝对距离是5； 时：F，A分到一类，点B，E的绝对距离是5； F再向右走时，F，B分到一类，分类系数小于5，不符合题意； 一直到，分类系数最小值是5， 综上，或． 【点睛】本题考查定义新运算，解题关键是读懂题目中的新运算的定义，本题难度较大，为压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$