2025年中考数学二轮复习特殊平行四边形的动点问题专题提升训练

2025年中考数学二轮复习 特殊平行四边形的动点问题专题提升训练 1．如图，在矩形中，，点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动，当点M到达点D时，M，N都停止移动，以为边向上作正方形，设移动的时间为x（秒），正方形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 2．如图①，在中，，，，点是的中点，点从点出发以每秒5个单位的速度沿向终点运动（点、不重合），同时点从点出发以每秒2个单位的速度沿向终点运动，当、两点中有一个停止运动另一个也停止运动，以，为邻边构造，、运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长是______． (2)当点落在内部时，求的取值范围． (3)当点在上运动时，连接，若为轴对称四边形，求此时的值． 3．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在矩形中，，，在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上，若，的面积为． (1)当四边形是正方形时，则______； (2)当四边形是菱形时，则与的函数关系式为______； (3)当______时，的面积最大，最大面积为______，当______时，的面积最小； (4)在的面积由最大变为最小的过程中，请直接写出点运动的路线长：_______． 5．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 6．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为 ，的取值范围为 ． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 7．如图，在四边形中，，，，动点P从A开始沿边向D以的速度运动；Q从点C开始沿边向B以的速度运动 P 、Q分别从点A 、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长： ， ； (2)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)四边形有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由． 8．如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．求： （1）为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，四边形为矩形？ 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，CD＝10cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿BC向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题： （1）BC＝_______cm． （2）求t为何值时四边形PQCD是平行四边形． （3）求t为何值时四边形PQBA是矩形． （4）是否存在t的值，使得△DQC是等腰三角形．若存在请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 10．在矩形中，，，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为（）． （1）如图①，当时，四边形的面积是__________； （2）如图②，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值； （3）当点不落在上时，请直接写出是直角三角形时的值． 11．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿以的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停． (1)运动几秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分？ (2)运动几秒时，P，Q两点之间的距离是？ 12．如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动；点出发2秒后，动点从点出发，沿折线向点运动，在上的速度为1个单位长度秒，在上的速度为2个单位长度秒．过、两点分别作的平行线，这两条平行线在菱形上截出的阴影部分图形记作．点运动的时间为秒． (1)直接写出的长为______． (2)当时，G的面积是多少？ (3)设G的周长为y，当时，求y与t之间的函数关系式． (4)若去掉G以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，直接写出t值． 13．已知四边形中，，，，，．点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点移动；同时，点从点出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度移动．当，，三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为秒． (1)求线段的长； (2)当为何值时，两点同时停止运动； (3)当为何值时，； (4)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．图，在矩形 中，，，，， 分别从 ，，， 出发沿 ，，， 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若 （），则 ，，． (1)当 为何值时，， 长度相等？ (2)当 为何值时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三角形？ (3)当 为何值时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？ 15．已知，如图，矩形中，，，点以每秒个单位从点向点运动，同时点沿着以每秒个单位从向运动，在点运动的同时，作交于，当点移动到时，点和点停止运动．以和为边作平行四边形，设运动时间为秒． (1)几秒时，？ (2)设平行四边形的面积是，用表示； (3)当时，吗？说明理由． (4)存不存在某个时刻，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮复习特殊平行四边形的动点问题专题提升训练》参考答案 1．(1) (2)y的值为116 【分析】本题四边形的综合，涉及矩形的性质，正方形的性质，四边形动点问题，勾股定理等知识点； （1）正方形的面积为，在中利用勾股定理计算即可； （2）把代入（1）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∵点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动， ∴，， ∴， 当点M到达点D时，M，N都停止移动，此时，解得， ∴， 正方形的面积 ． ∴y与x之间的函数关系式为； （2）当时，． 当时，y的值为116． 2．(1) (2)当且时，点在的内部； (3)或 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据题意列出代数式，即可求解； （2）分别求得落在边上时，的值，结合图形，即可求解； （3）分四边形是矩形和菱形两种情况分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，、运动时间为秒． ∴， 故答案为：； （2）解：当重合时，，点和点重合，此时 当点与点重合时，，此时点在上， 当点在上时，如图所示，则 ∴ ∴ ∴ 综上所述，当且时，点在的内部； （3）解：如图所示， 当四边形为矩形时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴； 当四边形是菱形时，如图所示，过点作于点，于点，设交于点 ∴， ∵， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 在中， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，列代数式，平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 4．(1)3 (2) (3)，， (4) 【分析】（1）只需证明即可得出结论． （2）如图2所示：过点作于点，连结，由证明，进而，即可得出结果； （3）①如图所示，当点和点重合时，取最小值，故此时最大，在中，即可得出最大，②如图所示，当点在线段上时，取最大值，故此时最小，由，得出，所以，在中，根据勾股定理可知，得出，即可得出． （4）如图所示，在的面积由最大值变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即可得出结论． 【详解】（1）如图1所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， 故答案为：3； （2）如图2所示：过点作于点，连结 ∵四边形是菱形， ， ； （3）由表达式可知，当取最小值时，S最大． 如图所示，当点和点重合时，取最小值，故此时S最大． ∴在中， ∴S的最大值； 同理，由表达式可知，当取最大值时，S最小． 如图所示，当点在线段上时，取最大值，故此时S最小． 根据矩形和菱形的对称性可知： 在中， 在中， ∵ ∴ 故答案为：，，； （4）如图所示，在的面积由最大值变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，一次函数的应用等知识，寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解此题的关键． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 6．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）如图1，过点D作于E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，， ∴点P运动到D的时间为：， 同理得：点Q运动到点B的时间为：， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图所示，当是矩形时，， ∵ ∴ 解得：； （3）如图2，过点P作于F，过点D作于E， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴四边形矩形， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 7．(1)t ；； (2)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； (3)可能，当运动时间为8秒时，四边形为正方形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及正方形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）根据题意可直接得出； （2）由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在梯形中，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵动点P从A开始沿边向D 以的速度运动， ， ∵ Q从点C开始沿边向B以的速度运动，， ∴， 故答案为：t, ； （2）解：由题意可得：， ， ， 设当运动时间为t秒时, ， 此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得， ∴当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形． （3）解：四边形有可能是正方形， ， ， 设当运动时间t秒时， 四边形为平行四边形． 由得：， 解得：，即， ， ∴平行四边形为菱形， ∵， ∴平行四边形为矩形， ∴平行四边形为正方形， ∴当运动时间为8秒时，四边形为正方形． 8．（1）；（2） 【分析】（1）四边形为平行四边形，即，列出等式求解； （2）四边形为矩形,即，列出等式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形； （2）由题意得：， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形、平行四边形的判定与性质应用，要求学生掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想． 9．（1）26；（2）t＝4；（3）t＝5.2；（4）存在，t的值为：4或或 【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，在Rt△DHC中，勾股定理求得CH，根据BC＝BH+CH，即可求得； （2）根据平行四边形的性质，利用PD＝CQ，即可求得； （3）根据矩形的性质，利用AP＝BQ，即可求得； （4）分类讨论①若CD＝DQ，过D作DH⊥BC于H，②若CD＝CQ，③若DQ＝CQ，过D作DH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求即可． 【详解】解：（1）过D作DH⊥BC于H，如图： ∵AD∥BC，∠B＝90°，DH⊥BC， ∴四边形ABHD是矩形， ∴DH＝AB＝8，BH＝AD＝20， 在Rt△DHC中，CH＝＝＝6， ∴BC＝BH+CH＝20+6＝26（cm）， 故答案为：26； （2）如图： 根据题意可得：AP＝2t，CQ＝3t， ∵AD∥BC， ∴四边形PQCD是平行四边形，只需PD＝CQ，即20﹣2t＝3t， 解得t＝4， （3）如图： ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴四边形PQBA是矩形，只需AP＝BQ，即2t＝26﹣3t， 解得t＝5.2； （4）存在，理由如下： ①若CD＝DQ，过D作DH⊥BC于H，如图： 由（1）可知：CH＝6， ∵CD＝DQ，DH⊥BC， ∴CQ＝2CH＝12， ∴3t＝12， ∴t＝4， ②若CD＝CQ，如图： ∴3t＝10， ∴t＝， ③若DQ＝CQ，过D作DH⊥BC于H，如图： 在Rt△DQH中，QH＝CQ﹣CH＝3t﹣6，DH＝8，DQ＝CQ＝3t， 由勾股定理得：（3t﹣6）2+82＝（3t）2， ∴t＝， 综上所述，△DQC是等腰三角形，t的值为：4或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质，根据等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 10．（1）4；（2）；（3）或 或； 【分析】（1）当时，PB=1，根据题意得：四边形的面积是，即可求解； （2）当点落在上时，显然是直角三角形，在矩形中，可得AC=5，从而，又有，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）根据题意，可分三种情况：当，在上时；当，在的延长线上时；当时，进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）当时，PB=1， ∵AB=4， ∴根据题意得：四边形的面积是 ； （2）如图②中， 四边形是矩形， ． ∵，， ， 作关于直线的对称， ，， ，， 在中，， ， 解得：； （3）满足条件的的值为或 或； 如图②-1中，当，在上时，PC=BC-PB=3-t， 四边形是矩形， ，，， ， ． 在中，， ， ； 如图②-2中，当，在的延长线上时，PC=PB-BC=t-3， 在中，， ， 在中，则有：， 解得； 如图②-3中，当时， ， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形， ， ∴， 综上所述，是直角三角形时的值为或 或． 【点睛】本题主要考查了图形的变换——轴对称，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 11．(1)2秒 (2)秒 【分析】（1）根据题意，设运动时间为t秒，将用t表示出来，跟为梯形的面积占2份和5份两种情况进行讨论即可； （2）过P点作，垂足为M点，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 依题意得：∵， ∴． ∴，． ∴， ，解得 ，解得（舍）， ∴运动2秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分． （2）如图，过P点作，垂足为M点， ∴，， ∴， ∴，即 ∴或（舍去）， ∴时，P、Q两点之间的距离是． 【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，勾股定理和用平方根的定义解方程，解题的关键是根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键． 12．(1)4 (2) (3) (4)5 【分析】（1）利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可； （2）当时，利用梯形的面积公式解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答即可； （4）利用剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形可得：当剩余部分均为全等的等边三角形时符合条件，利用此条件列出关于的方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ． 故答案为：4； （2）解：当时，，， 设过、两点分别作的平行线交于点，，如图， 由（1）知：为等边三角形， ， ， ， ， ，为等边三角形， ，． 的面积 ； （3）解：①当时， 设过、两点分别作的平行线交于点，，如图， 由（1）知：为等边三角形， ， ， ， ， ，为等边三角形，   ，． ，， ； 当时，； ②当时， 设过、两点分别作的平行线交于点，交于点，如图， 由（1）知：为等边三角形， 同理，为等边三角形， ，， ， ，， ， ，为等边三角形， ，， ． ，， ； 当时，； ③当时， 设过、两点分别作的平行线交于点，，如图， 由②知：为等边三角形， ． ， ， ， ，为等边三角形， ， ， ， ，， ， 当时，． 综上，当时，与之间的函数关系式为； （4）若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形， 则剩余的两部分图形为全等的等边三角形，如图， ，即， ， ． 则若去掉以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的面积，一次函数的性质，本题是动点问题，利用已知条件表示出相应线段的长度是解题的关键． 13．(1)8 (2)2 (3) (4)存在， 【分析】（1）在中，，进而求解； （2）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，则，即，即可求解； （3）当时，则，即，然后代入即可求解； （4）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点G， 则，， 在中，， ∴； （2）解：当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如上图， 由题意得：，则，， 则，即， 解得：； （3）解：当时，， 即， ∴， 解得：（舍去）； （4）解：存在， 理由：如图2， 由题意得：， ， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于点H， 则，， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，四边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 14．(1)当 为 时，， 长度相等 (2)当时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三角形 (3)当 或 时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）由题意得出方程，解方程即可； （2）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可 【详解】（1）解： ，， 时，即 ， 解得： 或 （舍去）， 当 为 时，， 长度相等； （2）解：当点 与点 重合或点 与点 重合时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边可能构成一个三角形， 当点 与点 重合时， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ， 此时点 与点 不重合， 符合题意； 当点 与点 重合时， 由题意得：， 解得：， 此时 ，不符合题意， 点 与点 不能重合． 综上所述，所求的值为：； （3）解： 当 点到达 点时，，此时 点和 点还未相遇， 点 只能在点 的左侧， 当点 在点 的左侧时，如图 所示： 由题意得：， 解得：（舍去），， 当 时四边形 是平行四边形； 当点 在点 的右侧时，如图 所示： 由题意得：， 解得：（舍去），， 当 时，四边形 是平行四边形； 综上所述，当 或 时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的熟练关系列出一元二次方程解决问题解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题． 15．(1)当运动时间是秒时，∽ (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）可推出，进而得出，进一步得出结果； （2）设交于，根据∽表示出，根据表示出，从而表示出上的高，进一步得出结果； （3）先表示出，根据求得的值，进而表示出和，根据和的数量关系确定和的数量关系； （4）连接交于，延长交于，当可推出点是的中点，进而推出点为的中点，进一步求得结果． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当运动时间是秒时，∽； （2）设交于， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 当时，四边形是矩形， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ； （4）如图， 连接交于，延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同理可得， ， 即：， ． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是转化条件，灵活运用相关知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$