精品解析：广东省汕头市2025届高三下学期4月教学测量与评价数学试题

2025年汕头市高三教学测量与评价 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷选择题 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以为渐近线的双曲线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于A，由得渐近线方程为，故A错误； 对于B，由得渐近线方程为，故B正确； 对于C，由得渐近线方程为，故C错误； 对于D，由得渐近线方程为，故D错误. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】，所以. 故选：B． 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 4. 在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角表示出，根据三角函数的诱导公式化简，根据求最值即可. 【详解】因为角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，所以， 由诱导公式知，, 又，所以，所以，即的最大值为. 故选：A. 5. 用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 8. 郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（ ） A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C. 经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右 D. 在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人数，建立列联表，利用列联表中的信息解决ABC，利用独立性检验来解决D选项． 【详解】解：设男生人数为，则女生人数为， 由题得， 解得，即在被调查者中，男､女生人数为80，100，可得到如下列联表， 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 由表可知，A显然错误， 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B正确； 在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为C正确； 零假设：假期是否经常锻炼与性别无关， 则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误概率不大于0.01，D正确， 故选：BCD． 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称中心 C. 方程有解 D. 方程在内解的个数为偶数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可判定A正确；由，得到为奇函数，可判定B正确；由，令，得到，求得，得到函数的单调性和最大值，结合，可判定C错误；由，得到的图象关于对称，可判定D正确. 【详解】对于A中，由， 所以函数是周期函数，所以A正确； 对于B中，由， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以函数的图象有对称中心，所以B正确； 对于C中，由， 令，可得，则， 令，可得， 当时，；当时，； 当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又由，，所以的最大值为 因为，即，所以方程无解，所以C错误； 对于D中，由， ， 可得，所以函数的图象关于对称， 而，当时，直线与在上的图象有交点，交点个数必为偶数，或0个交点； 当时，由时，解得或，有两个解， 所以方程在内解的个数为偶数，D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里 B. 曲线上存在与点的距离小于1的点 C. 曲线关于轴对称 D. 曲线所围成区域的面积大于4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用可求得，再利用求得即可；应用两点间距离公式判断B；根据对称性判断C; 结合三角形面积公式计算判断D. 【详解】由， 所以，， 所以曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里，故A对； 设为曲线上任一点，所以P到的距离为： ，故B错； 对于曲线上任意点，其关于x轴对称点为， 把代入成立，曲线关于轴对称，故C对； 如图四边形在曲线C内部，根据图像的对称性可得， 又曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里， 所以， 故曲线C所围成区域的面积大于， 故D对. 故选：ACD. 第II卷非选择题 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】24 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算． 【详解】是等差数列， ∴，， ． 故答案为：24. 13. 如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为： 14. 围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是______位数，它的个位数字是______.（参考数据：） 【答案】 ①. 173 ②. 3 【解析】 【分析】通过对数运算得到，即可解决第一空，根据的个位数以4为周期循环往复，即可完成第二空. 【详解】因为， 所以， 因为，则， 所以为位数， 由，其个位数分别为以为周期循环往复， 因为， 故的个位数与的个位数相同，即的个位数为. 故答案为：； 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C的对边分别为、、，已知是与的等比中项，且是与的等差中项. （1）探究的形状； （2）求的值. 【答案】（1）是以角为直角的直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质可得，根据等差中项的性质可得 ，结合两角和差的三角函数公式将上式展开后，利用正弦定理“角化边”化简，最后再结合余弦定理与关系式解出，可得三角形的形状为以角为直角的直角三角形。 （2）由余弦定理可知，又由（1）已知，,联立两式可求得的值。 【小问1详解】 由题设得：， 由正、余弦定理得：， 即， 又，所以，即， 故是以角为直角的直角三角形. 【小问2详解】 由（1）得，， 设，则， 由得：， 即， 解得或（舍去）， 又由余弦定理，， 于是， 故. 16. 已知函数，其中、. （1）当、时，求曲线在点处的切线的方程； （2）判断命题“、，在处取得极值3”的真假，并说明理由. 【答案】（1） （2）假，理由如下： 假设命题为真， 由得：， 又，所以，， 此时，令 所以， 由得：， 列表得： 1 － 0 ＋ ↘ ↗ 所以， 从而在定义域上递增，这与有极值点矛盾， 故假设不成立，命题为假. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式求出切线方程； （2）假设命题为真，利用极值及极值点的导数为0求出，再求导检验即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当、时，， 所以， 由题设得：，， 故所求切线方程是：，即； 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上异于、的动点. （1）求直线、的斜率的积； （2）过作直线，过作直线，设，证明：存在两定点与，使得为常数. 【答案】（1） （2）设，则 直线的方程为，① 直线的方程为，② ①②得，即， 所以动点在椭圆上， 故存在两定点与，使得. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点斜率公式求，结合点在双曲线上化简可得结论； （2）设，利用点斜式求直线，的方程，根据交轨法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义证明结论. 【小问1详解】 设，则，即， 因为双曲线的离心率，所以， 所以， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以直线、的斜率的积为； 【小问2详解】 略 18. 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验． （1）若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：． 【答案】（1） 1 2 3 数学期望为； （2） 证明：因为， ，， 所以 ，， 经检验 也满足上式， 所以． 【解析】 【分析】（1）由的取值，计算相应的概率，得到分布列，由公式计算数学期望； （2）由概率计算得到表达式并化简，裂项相消求得证结论. 【小问1详解】 的可能值有， ；；． 所以随机变量的分布列为 1 2 3 ． 【小问2详解】 略 19. 如图，棱长为1的正方体中，、、分别为棱、、的中点，为底面正方形的中心. （1）求四面体的体积； （2）求四面体的外接球半径； （3）定义：在两条异面直线上各取一点，这两点的最短距离称为异面直线的距离. ①求异面直线与的距离； ②请另外写出一个异面直线距离的定义. 【答案】（1） （2） （3）①②与两条异面直线都垂直相交的线段的长 【解析】 【分析】（1）以为原点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离，再求出三角形的面积，利用三棱锥的体积公式计算可得结果； （2）设为三角形的外心，为四面体的外接球球心，为中点，在中，由等腰三角形的几何性质，结合平面向量的运算易得，再结合球的性质可得，从而利用空间两点间的距离公式得到外接球半径； （3）①分别在异面直线与上各取一点、，由向量线性运算表示， 其中、，所以，进而得到当且仅当、时，； ②计算得到，，即，，从而定义异面直线的距离为与两条异面直线都垂直相交的线段的长. 【小问1详解】 如图，以为原点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以、、， 设为平面的法向量，则，取，得，，所以， 所以点到平面的距离为， 又，，所以三角形的面积为， 故； 【小问2详解】 设为三角形的外心，为四面体的外接球球心，为中点， 为中点，为中点， 则，所以， 从而， 由得：，所以，， 进而，设，可得，，由得：， 所以，，故； 【小问3详解】 ①分别在异面直线与上各取一点、， 则， 其中、，所以 ，当且仅当、时，； ②由①得：， 所以，，即，， 故可定义异面直线的距离为与两条异面直线都垂直相交的线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年汕头市高三教学测量与评价 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷选择题 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以为渐近线的双曲线可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（ ） A. B. 5 C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（ ） A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C. 经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右 D. 在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称中心 C. 方程有解 D. 方程在内解的个数为偶数 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里 B. 曲线上存在与点的距离小于1的点 C. 曲线关于轴对称 D. 曲线所围成区域的面积大于4 第II卷非选择题 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 13. 如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为______. 14. 围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是______位数，它的个位数字是______.（参考数据：） 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C的对边分别为、、，已知是与的等比中项，且是与的等差中项. （1）探究的形状； （2）求的值. 16. 已知函数，其中、. （1）当、时，求曲线在点处的切线的方程； （2）判断命题“、，在处取得极值3”的真假，并说明理由. 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上异于、的动点. （1）求直线、的斜率的积； （2）过作直线，过作直线，设，证明：存在两定点与，使得为常数. 18. 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验． （1）若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：． 19. 如图，棱长为1的正方体中，、、分别为棱、、的中点，为底面正方形的中心. （1）求四面体的体积； （2）求四面体的外接球半径； （3）定义：在两条异面直线上各取一点，这两点的最短距离称为异面直线的距离. ①求异面直线与的距离； ②请另外写出一个异面直线距离的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $