云南煤炭第二中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

云南省煤炭二中2025届高三4月月考 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，是两个单位向量，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知数列，中，，，，，若，则(    ) A. B. C. D. 5.球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6.已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(    ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 8.已知函数有个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则(    ) A. B. C. D. 10.已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为： C. 当最大时，的面积为 D. 的面积的最大值为 11.函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其他函数进行运算产生新的函数已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为          ． 13.已知，，，则的最小值          ． 14.已知正项数列满足，且，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角所对的边长分别为            若，求的面积；                            是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16.本小题分 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示． 工艺甲 工艺乙 合计 合格 不合格 合计 依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关 在不合格的件样本产品中任选件，求在这件样本产品中至少有件是采用工艺甲生产的条件下，这件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率． 附：，， 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的动点． Ⅰ若直线平面，求证：为的中点； Ⅱ若平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 18.本小题分 已知函数，， 若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值 讨论函数在区间上的单调性 若对任意恒成立，求的取值范围． 19.本小题分 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，，且直线刚好与圆相切设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点． 求抛物线的方程 求点的轨迹方程 设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 答案和解析 1.【答案】  因为，， 所以， 则． 2.【答案】  ，均为单位向量，． ． 是的充要条件． 故选C． 3.【答案】  复数在复平面内对应的点在第二象限， ，解得． 则实数的取值范围是． 故选B． 4.【答案】  数列，满足，， 故常数， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由于， 所以， 整理得：， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 所以， 整理得：， 由于， 所以， 解得． 故选B． 5.【答案】  第步将五门选修课程分为组， 若分为、、三组有种分组方法， 若分为，，三组，有种分组方法， 若分为、、三组有种分组方法， 则一共有种分组方法． 第步，将分好的三组安排在三年内选修，有种情况， 则有种选修方式． 6.【答案】  设球的半径为，可得，即， 圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为， 圆台的下底面半径为，圆台的母线长为，圆台的高，圆台的上底面半径为， 圆台的侧面积为． 故选：． 7.【答案】  根据对称性，不妨设点在第一象限， 因为， 所以， 因为点在双曲线的右支上，所以，即， 因为点也在双曲线的右支上，所以，即， 因为双曲线的离心率，即，  在中，由余弦定理： ， 即， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 所以，因为，所以， 因为，所以， 所以   ． 故选：． 8.【答案】  当时，对于函数， ， 令，即，解得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 且时，，时，， 当时，函数， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 作出函数的图像如图所示： 由此可得， 当时，令， 解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以 由题意可得，，是的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 9.【答案】  令，得，故A正确； 令，得， 所以，故B不正确； 令，得， 所以， 即，故C不正确； 在等式两边对求导，得 ， 再取，得，故D正确． 故选：． 10.【答案】  如图所示， 当为射线与圆的交点时，取得最大值，故A正确； 圆：，则圆心为， 的中点为，，则以为直径的圆的方程为， 与联立消去二次项，可得公共弦所在的直线方程为：，故B正确； 当与圆相切以与重合为例时，最大，此时，故C错误； 当为与线段垂直的圆的直径的端点时，的面积有最大值为，故D正确． 故选ABD． 11.【答案】  对于，，定义域为，则， 所以当或时，，当或时，， 即函数在和上单调递增，在和单调递减， 当时，，，，所以， 当时，，当时，， 又因为，， 所以函数的大致图象如下所示，故A错误 对于，函数的极大值为，的极小值为，故B正确； 对于，令，则有个零点，故方程有两个实数解，故C正确； 对于，构造，所以关于点对称，故， 即，化简得，故D正确． 故选：． 12.【答案】  ，且，故， ， 又，故的最小值为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求解最值，“乘法”的应用是求解问题的关键． 利用乘法进行配凑，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】 解：因为，，， 所以 ， 当且仅当且， 即，时取等号，此时的最小值． 故答案为：． 14.【答案】  解：因为， 所以， 两式相减，可得， 所以， 即，即． 设，则， 当时，， 所以，即， 即，解得或舍， 所以， 所以． 15.【答案】解：因为， 根据正弦定理可知， 则，故，， ， 所以为锐角，则， 因此，． 显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 又，则，即， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得， ，故． 16.【答案】解：根据列联表数据，代入公式计算值： ， 对比临界值，时，由于，依据小概率值的独立性检验，认为产品质量与采用的工艺有关 设事件 至少有件是采用工艺甲生产事件 恰有一件是采用工艺乙生产， ， ， 因此，．  17.【答案】Ⅰ证明：连接，交于，连接，因为底面为正方形，所以是中点， 因为直线平面，平面平面，平面，所以， 所以为的中点． Ⅱ解：因为平面，，所以、、两两垂直， 建立如图空间直角坐标系， 可知为等腰直角三角形，不妨设，，，， ，，，，， ，，，  因为，，，，平面，所以平面， 所以是平面的法向量， 令，因为，，所以是平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为，解得， 所以，所以．  18.【答案】解：，， 在点处的切线方程为， 设与切于，，， ，解得； ， ， 当时，，，在上单调递增 当时，令， 从而当时，，单调递减，时，，单调递增， 当时，令， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减； ，即对恒成立， 令， 则， 令， 得， ， 令， 恒成立，符合， 综上：的取值范围为．  19.【答案】解：依题意，，故抛物线的方程为 设，，，， 可得直线方程为，化为， 同理直线方程为， 设，则有，， 说明，都在直线上， 即方程：，与圆相切， ，可化为， 点轨迹方程为； 依题意，，， 设直线的方程为斜率存在，，， 由消去并整理得， 则，，即， 由直线与双曲线的下支交于，两点，可得，解得， 所以， 故，为定值．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$