精品解析：湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

蕲春实高 2025 届高三第一次模拟考试 数 学 命题：梅霞珍 审题： 詹满林 吴文静 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ） A. {5} B. {1} C. {0，5} D. {0，1} 2. 已知实数满足，则的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 3. 已知实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数满足对于， ，，则解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，若存在零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题错误的是（ ） A. 当时，函数的图象是一条直线 B. 已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是 C. 30030能被64个不同偶数整除 D. 在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10 10. 如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（ ） A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于原点对称 D. 在单调递减 11. 如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ） A. 当时，该几何体的体积为45 B. 当时，该几何体为台体 C. 当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 D. 当点到直线距离最大时，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为______． 13 ，，则_________ 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为__________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. （1）判断曲线否有拐点，并说明理由； （2）已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 16. 某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. （1）若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：A，B，C成等差数列； （2）若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长. 18. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 19. 已知双曲线（，）过点，且焦距为4. （1）求C的方程. （2）设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. （3）若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蕲春实高 2025 届高三第一次模拟考试 数 学 命题：梅霞珍 审题： 詹满林 吴文静 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ） A. {5} B. {1} C. {0，5} D. {0，1} 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为， 所以， 解得或， 的取值集合为， 故选：C 2. 已知实数满足，则的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，求得，且，利用，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 即，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3. 已知实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项可求，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式即可求解. 【详解】因为实数，，成等比数列，所以，则； 当时，圆锥曲线，即为椭圆，其离心率； 当时，圆锥曲线，即为双曲线，其离心率； 故选：D 4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高. 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 5. 若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得关于对称，且是以为周期的周期函数，再根据各选项一一判断即可. 【详解】因为，所以关于对称， 又，则， 所以是以为周期的周期函数； 对于A：若，则最小正周期， 又，所以不关于对称，故A错误； 对于B：若，则最小正周期， 又，所以不关于对称，故B错误； 对于C：若，则最小正周期， 则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误； 对于D：若，则最小正周期， 又，满足关于对称，故D正确. 故选：D 6. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题写出直线的方程，与抛物线方程联立消元，写出韦达定理，继而求得点和，过点作轴，垂足为点，借助于，即可求得. 【详解】由题易得焦点，由直线l过点且斜率为，可得， 将其与联立，消元得，设， 则．设，则，即， 且(或运用抛物线焦点弦公式)， 故以为直径的圆的半径为， 过点作轴，垂足为点，则在中， ，故． 故答案为：A. 7. 如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可． 【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数与对数的运算性质将变形为，构造函数得，由的单调性即可求解. 【详解】由题意得，令，则. 令，因为函数在上单调递增， 单调递增， 所以，可化为，即. 令，则， 当时，，在单调递增，当时，在单调递减， 又，当时，，所以，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题错误的是（ ） A. 当时，函数的图象是一条直线 B. 已知函数在R上满足，则曲在点处切线方程是 C. 30030能被64个不同偶数整除 D. 在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】由幂函数图象的特点可得A错误；把换为可得，再代入化简可得，再根据导数的几何意义求解可得B正确；由加法原理结合组合数的计算可得C错误；先将原式变形为，再由二项式系数的计算可得D错误. 【详解】对于A，当时，函数的图象是一条除去点的直线，故A错误； 对于B，由，有， 即， 将代入， 有， 故，， 所以在处的切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程是，即，故B正确； 对于C，因为，所以30030的任一偶因数必含2这个因数， 另含3,5,7,11,13中的若干个因数， 在3,5,7,11,13共五个因数中取个数做因数，有种方法， 根据加法原理，30030的所有偶因数有个，故C错误； 对于D，， 所以第三项的二项式系数为，故D错误. 故选：ACD 10. 如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（ ） A. 图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于原点对称 D. 在单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】先写出关键点坐标，得到方程，后根据构造方程组解出，得到解析式，最后按照正弦型三角函数特征，结合对称性，周期性，奇偶性和单调性逐个验证即可. 【详解】由题可，，，则， 有， ，， 把代入上式，得，解得（负值舍去）， ，，由，解得， 解得，， 对A，，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：，为奇函数，故C正确； 对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ） A. 当时，该几何体的体积为45 B. 当时，该几何体为台体 C. 当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 D. 当点到直线距离最大时，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合图形利用分割法球体积；对于B：根据题意结合台体的结果特征分析判断；对于C：根据台体的结构特征结合正方体的内切球分析求解；对于D：建系，利用空间向量球点到面的距离，结合单调性分析求解. 【详解】若，即，可知为矩形， 对于选项A：当时，即， 取的中点，连接，如图所示： 因为底面，底面，则， 且为正方形，则， ，平面，可得平面， 又因为，∥，可知为平行四边形，则∥， 可知为直三棱柱，底面， 所以该几何体的体积为，故A正确； 对于选项B：当时，即，可知，所以该几何体不台体，故B错误； 对于选项C：当时，即，则，所以该几何体为台体， 如图所示，为相应边的中点，则为正方形， 因为底面，且，可知所求球的半径， 且正方形的内切球的半径即为， 所以最大球的半径，即S的最大值为，故C正确； 对于选项D：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则点到直线距离为， 可知在内单调递增，所以当点到直线距离最大时，则，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （3）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （4）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，根据等比数列的性质有，结合重要不等式即可求解. 【详解】等比数列中，，有， ，满足：（P点在直线上），则有， 所以，当且仅当时等号成立， 又，有，所以的最大值为. 故答案为：. 13. ，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，再根据复数相等的充要条件求出、的值，即可得解. 【详解】因为，所以 ， 又，所以，则. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆图形特征，结合椭圆定义计算求出离心率即可. 【详解】延长OQ交于点A，设，. 因为，所以，又，所以. 因为O为的中点，所以点A为的中点，.因为点Q在的平分线上， 所以，所以，从而，因为，所以， 又由椭圆的定义可得，所以结合以上两式可得. 在中，，得， 化简得，故C的离心率. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. （1）判断曲线是否有拐点，并说明理由； （2）已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【答案】（1）没有拐点，理由见解析 （2）单调递增区间；单调递减区间为，极大值为2，极小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合新定义，即可得到答案； （2）求得，得到，列出方程求得，得到，求得的单调性，进而求得函数的极值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. 【小问2详解】 解：由函数， 可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 16. 某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. （1）若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可； （2）设出事件A，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. 【小问2详解】 设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以， 故所求概率. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：A，B，C成等差数列； （2）若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得答案； （2）结合（1）可得，在和中分别用正弦定理推出，再利用等面积法，即可求出答案. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 整理得，由余弦定理得， 因为，所以， 又，所以，则， 所以A，B，C成等差数列． 【小问2详解】 由（1）可知：及，， 得，即，解得， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由得， 所以，即，所以， 设的面积为， 则， 即，又，解得， 所以BD的长为. 18. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 19. 已知双曲线（，）过点，且焦距为4. （1）求C的方程. （2）设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. （3）若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，再结合焦距列出方程求解； （2）依题意直线AP的方程为，设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为，则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小，此时的面积最小，从而求解； （3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，设其方程为，，，联立方程组，再假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，，，根据得，化简可得的值. 【小问1详解】 由题意可得，得，， 故C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得， 故，直线AP的斜率， 则直线AP的方程为. 设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为， 则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小， 此时的面积最小. 由，得， 令，解得， 当时，直线l与双曲线C的左支相切，符合题意； 当时，直线l与双曲线C的右支相切，不符合题意. 故直线l与直线AP之间的距离的最小值为， 所以面积的最小值为. 【小问3详解】 由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，不妨设在左支上，在右支上， 设其方程为，，， 由，得， 其判别式， 所以，. 假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，， 因为，所以， 因为，，， 所以， ， 由题知，，， 所以， 整理得， 则， 所以，解得， 因此直线上存在点，使得DQ平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$