吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试题

2024-2025学年下学期 东北师大附中 (数学)科试卷 高三年级第四次模拟考试 满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生须将自已的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条 形码。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内， 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A=x2>,B=xy=lg2-},则AnB= A.（-1,2) B.-1,2) C.(-1,2] D.[-1,2] 5 2.已知复数z满足z= 2+i 则复数z·z= A.1 B.5 C.5 D.55 3.某唱歌比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原 始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分.8个有效评分与10个原始评分 相比，一定不变的数字特征是 A,众数 B.中位数 C.平均数 D.标准差 4.已知直线m∥平面a,直线n∥平面B,则“m⊥n”是“a⊥B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知f= 1og2x(x>0) x≤0) 则心》= 3 2-3 D. 6.所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为 c.6- 6+2 3 2 D. 数学试卷第1页（共4页） 7.已知函数f因的定义城为R,xyeR,f倒+f0)=2生2)，且 3x,f(x)≠0，f)=0,则 A.f(x)是奇函数 B.f1-x)+f1+x)=0 c.f()=2f29 D.f(x)是周期为2的函数 8.,坐标平面xOy上的点P(x,y)也可表示为P(rcos0,rsin),其中rOP,B为x轴非负半 轴绕原点O逆时针旋转到与OP重合的旋转角将点P绕原点O逆时针旋转α后得到点 P(x,y),这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式： (x=xcosa-ysina,, 将曲 y'=xsina+ycosa, 线C:x2+y2-y=3绕原点0顺时针旋转二后得到曲线E,则曲线E的离心率为 6 √5 √2 A. 3 B. C. 3 0 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.对于回归分析，下列结论中正确的是 A.两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0 B.若回归直线的斜率估计值为6=0.55，样本点的中心为(2,3)，则回归直线方程为 =-0.55x+4.1 C.在回归直线方程)=0.1x+0.2中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量)平均增 加0.2个单位 D.用相关指数R来刻画回归效果，R越大，说明模型的拟合效果越好 10.已知函数了树)=s如加(@x+孕X@>0)在[0,2州上有且月有五个零息，下列结论中正确的是 A.f(x)的图象关于x=π对称 B.在[0,2π]上，方程f(x)=1有3个根 1923 C.@的取值范围是 D.f在0 上单调递增 8’8 11.已知双曲线厂：x2-y2=1,直线m与双曲线的右支交于点A,B(A在x轴上方)，与 双曲线的两条渐近线交于点M,N(M在x轴上方)，O为坐标原点.当直线m的斜率存 在时，下列结论中正确的是 A.BM=AN恒成立 B.△MON的面积的最小值为1 C.若SAMON=3S△4oB,则MA=AB=|BW D.若MA=AB=BN,则△MON的面积为定值 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,i满足(a-万⊥b,且|a=√5,1b=√2，则cos(a,b= 13.已知在等差数列{an}中，a,a,是正整数，且a1<a,设Sn为数列{an}的前n项和，若 S10=35,则410=—· 14.盒子中有1个红球，2个黄球，3个白球，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取 出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和白球）的概率 为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,bc,且s血A= ,△ABC的面积为 1+cos 3 105,周长为20. (1)求A; (2)求a. 16.(15分) 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=3,BC=DC=1, DE⊥AB于E,沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，∠PEB=90°，N是棱BC 上的动点（不与B,C重合），F是棱PB中点，EM⊥PB于M. (1)证明：平面EMN⊥平面PBC: C2)当三棱锥F-BN的体积为2时，求平面EN和平面PCD的夹角的余弦值. D E B 数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 已知函数f(x)=nx-ax+1. (1)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：当x≥1时，e>x+1+2xnx, 18.(17分) 已知点H(-3,0),点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足亚PM=0,PM=-M0. (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹T的方程； (2)设点E(m,)为轨迹T内一定点，过E作斜率分别为k,的两条直线交轨迹T于点 A,B和C,D,且S,T分别是线段AB,CD的中点. (i)当n=0且k·k2=-1时，求△EST面积的最小值； (i)若k+飞2=九（入≠0，入为常数），证明：直线ST过定点. 19.(17分) 某学校食堂共有A,B,C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一 个窗口，某人第i次在A,B,C窗口选餐分别记为事件4，B,C: 已知P代4)=子PB)-子，PG)-之，若某次选择A窗口，则下次选择4B,C窗口的概 111 率分别为 ),石：若某次选择B窗口，则下次选择4，B,C窗口的概率分别为。3 ,若某次 送择C窗口，则下次选择么B,C窗口的薇率分别为行 (1)判断事件C,与事件C2是否相互独立，并说明理由： (2)设P4)=a,P(B,)=b,PC,)=c,证明：am+.= 2 (3)定义随机变量Xn,当选择A窗口时X,=1,否则Xn=0,求数学期望E(X). 数学试卷第4页（共4页）高三年级第四次模拟考试数学参考答案 义E/⊥PB,干面P8C∩平声PEB=PB,EMe平面PEB.期EML平面PC, 一、单项选择超 二、多明速舞起 又Efc平面EW,故平面EW⊥平面PBC 12345678 9 1011 《2)解知思.以E为原点。E8,ED。EP分刚为￥，P,:轴建立空同宜角坐标系。 AC B D c BB BD BCD ACD 三、填空因 .6 13.5 寻8N=),即N是BC的肿点 3 4.5 压以N片0ao.Paa2,F行a1 .Cl.0.D0.L0: 四、解容超 15.《术小烂描分13分) -(5F-传l币=a-2.元=u-2 【1搭u鱼总点号nm4l.-名身片 设平面下N的法向成为所-化，水3， F=+:0 A号线小年会 由3 双品=(34，-0 丽r+y-0 方法2： sin A 设平面PCD的法向最为方=(，小小 方i法31由0=号得5细A=+co小】 由元=+⅓-2=0 取n=(0.2) :P师=片1-2=0 平方周1+c0s)=3sin°A=30-c0s240. 没平面EFW和平面PDE的光角为e,放 c0sA-吃收co-小 cas0cos(a,可h3i@ 15 A=线A=:(含 所以平压EW和平面PCD韵夹角的韵余#航为画 2△A8C的新积为S-kc5血A=e=105.c0。 35 2 7.《本小超涡分5分) 4 c=+c2-2cos4=+c2-40=h+ey-120 【解1)质数了树的婉炫为0，网.由树≤0和.a≥血x+在0，切)上恤成立 a+h+r=20,a2=(20-aj°-120.am7 16《术小超满分5分) 2g=h出>0，则g=- 【解的】(1)证由PE⊥EB,PE⊥ED,EBCED=E,EB.EDc平馏E8CD 含0cx<1时，g)>0:当x>1时.g()<0所以g(x)在(0.)上单调带.在(1四) 所以PE⊥平而ECD,又Cc平面C, 上单调超诚，故（■）=l,所以a≥1，即实数a的取值范用为儿，+o). 最PE⊥C,又C⊥E,E门BE=E,PE,EC半面PEB,故BC⊥平面PE8, 又6Ce平街PBC,故平面P8C⊥平面PE8. (2)正明：当x≥1时.由1》知白x≤x-l,所以xnx≤(x-).所以 2xlnx≤2x(x-l): 3五e儿，使到x)=e-无-l-2nx=0. 故婴证c'>x+1+2x山x成立，而证c'>x+1+2x(x-l)=22-x+1. 当1<x<无时.N(x)<0,(x)单词进 证2-<1对x之1度立 当马<x<e封，()>0，机)#调迅增 法1设2-42，图为财2+5-2：-22r-D。 h)=M3)=c-黑-1-2h馬=2h。-黑+2-2气n 当1<x<2时.()>0()单调遍增：当x>2时，N()<QMx)单词递诚。 p%)=2血-6+2-2五血4e0净. 所以到52到=子<小.即当x≥1时，。>x+1+2hx限立 6)-2--2h,p%通流p<0-<0. 证法21设x)=e-22+r-l,M(x)=e-4r+l.(x)=c'-4, p单司藏p>p哈-宁h0, xc几，n),矿(x)<0,(x)单词道减. ()2(属)=p>0,即当x≥1时，c>x+1+2xnx成立 xen4,+o.矿(x)>0.()单调进蜡。 1像《本小题调分7分》 H0=c-3<0,H面4)=5-4血4<0.H(2=c2-7>271-7>0. 【解折I解设Mxn.P0办.Q,0.因为P丽=-亚。HmpM=0. 3无en42).使得(x)=c-4红+1=0， 所-办=---且y-=0.所以-，=- 当1<x<x时.()<0()单调超族 3x+y-y=0,所以y=4r,即点M的轨迹「的方位为y2=4. 当而<x<+副，()>0，()单词迅地： 2解设直线B的方程为=0-+m,其中人一子代化入户=4中，骨 h(x)。=hx)=c-2x2+无-1=-2x3+5x。-2=(2气-l02-馬》>0. -+4-4m=0,豆（名片入队另，则有另+为=书.从西 即当x≥1时，c'>x+1+2r血x成这. 马+与=40+片-2训+2m=4-2+2m,期S2买-州+m2) 证法3：设Mx)=e'-x-1-2rhx(x20- e2h-3.r-e-2e-20. 直线CD的方程为x,0-)+m。中“有·问爱可有72G-M,+m,). ()单调遍地。0=心3<0. r3=c-2->e40e>2r>16, 《1)当H=0时，Em,叭S2G+m,2,以T2西+m,2,.1ES26N+ |T卡2山，+行。又k■-l,故4=-，于是△T的而积为 用2里（共4项） 5-s1T4到41W+0+=22++≥2=4. 国-@得a4-4=-a,+6片可 当且仅当|4书上时，等号成丝。所以△ST面积的最小植为4 +地ar0+r}子a+r是 2-) （班与“G-服-可6+号俄T的方功 2子-a6%G时6号 么6-公-斯+明.t+4-34= 所以a格一子 4学， 3EX.)=1xPX.=0+0xPX.=0)=PNX.=l)=d)=a %+6-学-2党-m,%+6X-=+号-.当子0时 自2知a+收：月a+6-月且4+4-子好子-君 2 数到风，+收-引中的商致项是以-君殖项。一吉为会比的等北拉列 有x+受-m=0,即 子。为情的品，所数战可以定- 为子治时子4学】 9.《木小画洞分门分》 结命8+8-a-r号号0a-女0. PC)-RARG14+PBPG+PCORGIC) RCC)-RGIRGICRCRc 所a子是， 串件C与事件C相江独立。 陆金如用a--血+时是， (2)马知8+6+C,=1① 即为数只-6=（三，又品+收=号 -++@,ku-++国 将①分别代入@3特 所为房气时计， +--鸣=-官片@ +培-。-6+点+片国 综上.E(X)=Pd)=a,= 国@限a4+-名a-b+号自 第3联4月4其) 【另解】 将a,+地+板=1代入0a-,+私+过0-a-6)=-吉品+生国 将a+地+c=1代入@明6点+片0+信-%-b++培四 国@2将u+2改u+ 5 0用--+宁6--项t3 片%-中 LLL1 44分分 行立4方7 所以EX)=PA)=a,= 4,生4男)