甘肃省会宁县第一中学2025届高三下学期高考冲刺数学试卷（三模）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学冲刺卷参考答案 1.D【命题意图】本题考查集合的并集，要求考生理解两个集合的并集的含义. 【解题分析】因为集合A={x|x<0},B={x|x>1},所以AUB=(-∞，0)U(1,十). 2.B【命题意图】本题考查平面向量数量积，要求考生理解向量的坐标运算及数量积 【解题分析】因为向量a=(m,5),b=(1,2),所以a·b=m+10=8,解得m=一2. 3.B【命题意图】本题考查抛物线与双曲线的性质，要求考生了解抛物线与双曲线的简单几何 性质。 【解题分析】由题知，抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，因为抛物线y2=8x的焦点也是双曲线 云一y]的-个焦点.所以。+1=4，解得。=3，所以双曲线的渐近线方程为y= 3x. 4.C【命题意图】本题考查二倍角公式及三角函数的周期，要求考生了解二倍角公式及三角函数 的性质， 【解题分析】f(x)=cos24.x-3sin24x=4cos24.x-3=2(2cos24x-1)-1=2cos8.x-1, 所以函数f)=o红一3z的最小值为3，最小正周期为号-于 5.B【命题意图】本题考查圆柱的体积与表面积，要求考生会计算圆柱的体积及表面积 【解题分析】设圆柱的底面半径为r,所以圆柱的表面积为2πr2十8πr,体积为4πr2,因为它的表 面积与休积的数值之比为2，所以2十8=2，解得r=青·故该圆柱的体积为 64π 4元r2 6.A【命题意图】本题考查新定义，要求考生掌握数学抽象的数学素养。 【解题分析】由题知， 123 5 6 46 45 456 =1X(-1)1+1X +2×(-1)*2X +3X(-1)+3× =(45 8 9 8 789 48)-2×(36-42)+3×(32-35)=0. 7.D【命题意图】本题考查对数运算，要求考生掌握对数的运算性质， log2321og232log23+11og218 【解题分析】a=log3= 1og25 21og2521og5+1-1og250-log018=b, log26 log23+1 2log23+2 2log23+1 log:18 c=1og2101og25+1 21og25+221og25+1log250 =logso18=b, 所以a<b<c. 第1页（共8页） 【25·(新高考)CC·数学·Y) 8.C【命题意图】本题考查全概率公式，要求考生会利用全概率公式计算概率. 【解题分析】因为P(A)=言，P(B1A)=子，P(BA)=子，所以 PB)=PA)P(BA)+Pa)P(BA)=言×+号×号-， 4、3 所以P(A1B)=P(A)P(B1A) 5×49 P(B) 11 11 15 9.AB【命题意图】本题考查复数的运算及几何意义，要求考生能进行复数代数的四则运算及理解 复数的几何意义 【解题分析1因为：=牛i-2士D=3+十i,所以之一3=1，复数之在复平面内对应的点位 1+i(1+i)(1-i) 于第一象限，故选项AB正确，选项C错误：|一2|=|1+i=√2，故选项D错误. 10.BC【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生理解函数的单调性及奇偶性 【解题分析】因为f(一x)十f(x十2)=6，所以f(一x十1)一3=一[f(x十1)一3]，所以函数 y=f(x+1)一3为奇函数，故选项A错误，选项C正确：因为H1≠0，tf(x十t)一tf(x)<0, 所以函数f(x)为减函数，故选项B正确：易知f(1)=3,f(3x一2)一3>0等价于f(3x一2)> f(1),所以3.x一2<1，即x<1,故选项D错误 11.ACD【命题意图】本题考查曲线与方程，要求考生了解曲线与方程. 【解题分析】由题知√x-1)+(y一1).y=,化简得(x-1)+(y-1)2- ay=0,由 图象知，点1,2)在曲线C上，所以1-1)2+(？-1) =0,解得a=4,所以曲线C 的方程为一1+一1D-16=0,故选项A正确，选项B错误：点（红，y)关于直线x=】 对称的点为(2-x,y),因为(2-x-1)2+(y-1)2- 16(x1D2+y1D216=0,曲 线C关于直线x=1对称：故选项C正确：当x=1时，g-1)2- 16=0,解得y=2或y 1士√2 2,所以曲线C上的点到x轴的距离的最大值为2上，故选项D正确 12.6【命题意图】本题考查正态分布，要求考生了解正态分布的均值及其含义. 【解题分析】因为随机变量X~N(3,c2),且P(X<a)=P(X>b),所以a十b=6. 13.23十2【命题意图】本题考查几何体，要求考生理解空间点、线、面的位置关系. 第2页（共8页】 【25·(新高考)CC·数学·Y】 【解题分析】因为SA=SC=AB=BC=22,AC=4,所以 SA⊥SC,BA⊥BC,记AC的中点为O,连接OS,OB(图略)， OS=OB=2,且OS⊥AC.因为平面SAC⊥平面ABC,所以 OS⊥平面ABC,所以OS⊥OB,所以SB=2√2，所以△SAB 为等边三角形，把△SAB绕AB翻折，使得平面SAB与平面ABC重合，连接SC交AB于点 E,如图所示，则SE+CE的最小值为平面ASBC内SC的长度.SC2=SB2+BC2一 2SB·BC·os∠SBC=8+8-2X2E×22×(-)=16+8v5, 所以SC=23+2,即SE+CE的最小值为23+2. 14.一1【命题意图】本题考查导数的几何意义，要求考生理解导数的几何意义， 【解题分析】直线a.x十by+a=0变形为a(x+1)十by=0,所以直线ax十by十a=0恒过点 (一l,0),设切点为(xo,e),因为y'=e,所以y1=。=e,故切线方程为y-e0=e(x一 xo).因为切线恒过点(-1,0)，所以0一e0=e(一1一x。),解得x。=0,所以切线方程为y一 1=1X(x-0),即x-y+1=0,所以号=-1. 15.【命题意图】本题考查经验回归方程，要求考生会求经验回归方程. 【解题分析】1)易知x=30,2(x,-7)2=400+100+0+100+400=1000, 2(x1-x)(y-y） 因为r 1900 19 、19 20 =0.95, /2(，-)20-y) /1000×3880 V388 所以该经验回归方程的拟合效果是非常好. …6分 2(x,-x)一y） -1900 (2)由(1)知x=30,由b 1000 =-1.9, 因为y= 650+640+600+590+580 5 =612, 所以a=y-x=612+1.9×30=669,故所求的经验回归方程为y=一1.9x十669. 当x=80时，y=-1.9×80+669=517, 所以冷却速率为80℃/min时，该金属的凝固点温度为517℃. 13分 16.【命题意图】本题考查函数单调性及最值问题，要求考生会利用导数研究函数的单调性及求函 数的最值。 【解题分析】(1)f'(x)=ae-1, 当a≤0时，f'(x)<0,函数f(x)在R上单调递减： 第3页（共8页） 【25·(新高考)CC·数学·Y】 当a>0时，由f'(x)>0得x>-lna,由f'(x)<0得x<-lna,所以函数f(x)在(-∞， 一lna)上单调递减，在（一lna,十o∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减，当a>0时，函数f(x)在（一oo,一lna)上 单调递减，在（一lna,十o∞）上单调递增.… …6分 (2)fx)≥e恒成立等价于(a-1Dc≥x-2,即a-1≥二2 er 令g)=2gx)=3当x<3时，g'x>0,当>3时，gx)<0, 所以函数g(x)在（一∞，3）上单调递增，在(3，十∞)上单调递减， 所以gx)≤g3)==e3,所以a-1≥e,即a≥e3+1. 所以a的取值范围为[e3十1，十c∞).………15分 17.【命题意图】本题考查数列的通项公式及前n项和，要求考生掌握求数列的通项公式及前n项 和的方法. 【解题分析11D因为a,十a,=6,S-13所以a=3a,=号，设数列1a,的公差为d,所以 9 号-3+3d.解得d=号因为a1=a,-5d=2所以a,=2+a-1D×号-分 所以{a,的通项公式是a,=号 。*中年””。*年*” …3分 (2(1)油1)知a,=2,所以S,=”a+a》_mn+D 2 4 所以.-寸+写++发=1-+号吉++日)=4(-)骨 故T。= An +1: …8分 设，+1痴T骨所以6祭+中1+ n十1 假设存在实数t,使得数列{c.}为等差数列， 当n≥2时， 6.-c1=n+1+2m-n-4-2)n-D=1+4-2n_4-2n-D n+1 +1 -1+-2(0"号-1+ 第4页（共8页） 【25·(新高考)CCJ·数学·Y】 只有当1=时c。一-6,1=1为常数，其他！值均不合要求， 故存在实数1一2时，使得数列T,+ 是等差数列. 15分 18.【命题意图】本题考查直线与椭圆的综合应用，要求考生掌握椭圆的性质」 【解题分析11)设椭圆的焦距为2，因为椭圆G的离心率为2，所以后-7，所以6=3，所以 石十兰=1因为椭圆G过点（一，号）》房以是+记=1.解得=1.所以椭圆G的标准 方程为+=1 …4分 (2)(1)当直线1的斜率不存在时，易知∠CAD为锐角，不合题意，所以直线I的斜率存在.设 直线I的方程为y=kx十m(m≠士√3)， y=kx+m, 由 得(4k2+3)x2+8kma+4m2-12=0,设C(x1,y1),D(x2,y2), 31, 8km 所以x1十x2= 4k2+3x2-m-12 4k2+3 易知A(0,5),因为AC⊥AD,所以AC·AD=0,即(x1y1一3)·(x2y2-3)=0, 所以x1·x2十(y1一√3)·(y2-3)=0,即x1·x2十(kx1十m一3)·(kx2十m一5)=0， 化简得(k2+1)x1x2十k(m-√5)(x1十x2)+(m-3)2=0. 所以（k+1)m二+k(m-5(- 4k2+3 年)+m-5r=0 由m≠√5，解得m= ,所以直线1的方程为y=k红一 7 直线1过定点(0，-)此时(0，-) 在椭圆G内，满足直线L与椭圆有两个交点.… ……12分 (i)设H（(o,- ),由于BE11,所以BELHE,故点E的轨迹是以BH为直径的圆(B,H 点除外)，所以点E到BH的距离的最大值为BH=3, 7 所以△ABE面积的最大值为号×2,5×35-9 77 …17分 第5页（共8页） 【25·(新高考)CC·数学·Y】 19.【命题意图】本题考查立体几何，要求考生能求点到平面的距离，会用向量求平面与平面的 夹角。 【解题分析】(1)(1)设AE,MB的中点分别为T,G,连接 PT,TG,在平面PTG内，过点P作PQ⊥TG,垂足 为Q,如图所示，因为四边形MBEA为矩形，所以GT⊥AE 因为AE⊥AD,且T,P分别为AE,DC的中点，所以PT⊥AE,所以 ∠PTQ=0,AE⊥平面PTQ,所以AE⊥PQ.因为PQ⊥TG,且AE∩ TG=T,所以PQ⊥平面MBEA.因为AD=3,EC=6,所以TP= 2 因为9子所以07P·血音-号×9- 95 2 ,故点P到平面MBEA的距离为4.… …***+444444……4f (i)过点A作AH⊥平面ADCE,分别以AE,AD,AH所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐 标系.如图所示，由(1)知，∠BEC=子 因为MA=AD=3,EC=6,AE=3, 所以A0,0.0.D03,0,E8,0.0.B(3.,35）. P(号号o),所以A币=(03.0.A=(3,3). -(o3),-(-2o, 设平面BEP的法向量为m=(x1,y1,21),平面BAD的法向量为n=(xy2,22), 3 m·E3=0. 3 2 21=0. 所以 所以 令y1=3,解得x1=33,21=-1, m·Ep=0, 9 2x+2y1=0, 所以m=(35.√3，-1)为平面BEP的一个法向量. n·Ad=0, 3y2=0, 所以 令x2=一2，解得x2=5,y2=0, n·AB=0, 3x2+ 2+ 222=0, 所以n=(3,0,一2)为平面BAD的一个法向量， m·n 所以cos〈m,n〉=m·可 35×3+5×0+(-1)×(-2)_11_11V217 31×W7 V3IX/7 2171 第6页（共8页） 【25·(新高考)CC·数学·Y 1217 所以平面BEP与平面BAD夹角的余弦值为 2171 …9分 (2)易知四面体MCDE是棱长为3√2的正四面体，作CO⊥平面DME,设内切球的球心为O1, 建立如图所示的坐标系，且OC=23,则D(6,0,0),C(0,0,23). 设内切球的半径为，由等体积法知一所以0，=(00.受》。 设内切障0，球质上任意-点为，9则+y+(:一号》-号空 间中必存在一定点S(xoyo2o),使球O1上的点满足与FC=FS, 即分2+y2+(2-23)=x-x)+(0-y+(。-2, 则8.x2+8y2+8z2-18.xox-18yoy+(45-18xo)z+9x8+9y号+9x-12=0, x0=0, xo=0, yo=0, 因为x2+y2+x2-5x=0,所以 解得=0， 12√5-18x0=0, - 9.x8+9y8+9z8-12=0, 3按秘密级事项管理★启用前 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 数学冲刺卷 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 吾 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.若集合A-{xx<0),B=1x|x>1,则AUB 封 A.(0,1) B.[o,1] C.(-,0]U1,十) D.(-c,0)U(1,+o) 班 2.若向量a-(m,5),b=(1,2),且a·b-8,则实数m C.18 A.2 B-2 D.-18 近线方程为 A.y-士③x C.y-士3x 4.函数f(x)一cos{②4x一3sin②4x的最小值和最小正周期分别为 C-3- A.-3- B.-1. D.-1,- 第1页(共8页) 【25·(新高考)CCJ·数学·Y) 5.已知圆柱的高为4,它的表面积与体积的数值之比为2,则该圆柱的体积为 B A16 C32 D3 16rt a11 a12 a1a a11 a2 a2t =aua2-ala,三阶行列式E- 6.定义:二阶行列式 a22 a23,E aa a2{ la31 a32 a33l 的某一元素a.的余子式M。.指的是在E中划去a:所在的行和列后所余下的元素 按原来的顺序组成的二阶行列式,称(一1)iM.为元素a:的代数余子式,三阶行 列式E等于它的任一行(或列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 C.6 B.-24 A.0 D.-18 7.若a-log3,b-logso18,c-lg6,则 A.b<c<a B.a<c<b C.c<ab D.ac 3 C A D11 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.若复数24i. ,则 A.-3十i B.c-3为纯虚数 C.复数z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z-2-2 第2页(共8页) [25·(新高考)CC]·数学·Y] 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(一x)十f(x十2)=6,且Vt≠0,tf(x十t)- tf(x)<0,则下列说法正确的是 A.函数y-f(x十1)一3为偶函数 B.函数f(x)为减函数 C.函数f(x)的图象关于点(1,3)中心对称 D.f(3x-2)-3>0的解集为(1,十oo) 11.在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,v)到定点(1,1)与x轴的距离之积为常数 1,记点P的轨迹为曲线C,曲线C的图象如图所示,下列结论正确的是 A.a-4 1 B.曲线C的方程为(x一1)*十(-1)* C.曲线C关于直线x一1对称 1+2 D.曲线C上的点到x轴的距离的最大值为 2 题序 答案 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.若随机变量X~N(3,。),且P(X<a)=P(X>b),则a十6= 13.如图所示,在三校锥S-ABC中,平面SAC|平面ABC,SA=SC 一AB三BC三2/2,AC三4,若E为线段AB上一动点,则 SE十CE的最小值为 14.已知直线ax十by+a=0与曲线y-e{相切,则一 【25·(新高考)CCJ·数学·Y】 第3页(共8页) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度,以及冷却环 境对材料热物性的影响.下表为某金属材料凝固点温度v(单位:C)随冷却速率 x(单位:C/min)变化的统计数据 10 20 30 40 2 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当lr>0.9时,经验回归方程的拟合效果非常好;当0.75<,<0. 弥 时,经验回归方程的拟合效果良好,试问该经验回归方程的拟合效果是非常好 还是良好?说明你的理由 (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度v与冷却速率x之间的经验回归方程 -x十ā,并预测冷却速率为80C/min时,该金属的凝固点温度 一 (2-)} 一,--2; x-n) 2(-)(v:-) 封 相关系数,一 #(}-n·-)(}一n#-)(-)分(y-) ,r1 线 第4页(共8页) 【25·(新高考)CCJ·数学·Y】 16.(15分) 已知函数f(x)=ae*-x+2,aER (1)讨论函数f(x)的单调性 (2)若f(x)>e恒成立,求a的取值范围 线 17.(15分) (1)求a。)的通项公式 (2)设数烈()的前n项和为丁.. (1)求T。; 为等差数列?若存在,求出t的 n+1 值;若不存在,请说明理由 第6页(共8页) 【25·(新高考)CCJ·数学·Y】 18.(17分) (1)求圆G的标准方程 (2)若A,B分别为圆G的上、下顶点,直线1与圆G相交于C,D两点,且 ACLAD. (1)证明:直线1过定点 (II)过点B作/的垂线,垂足为E,求△ABE面积的最大值 ---:8页 【25·(新高考)CCJ·数学·Y】 19.(17分) 已知四边形MBEA为矩形,四边形AECD为直角梯形,AEIAD,AD/EC,MA =AD=3,EC=6,二面角B-AE-C的天小为6 (1)求点P到平面MBEA的距离; (II)若AE三3,求平面BEP与平面BAD夹角的余弦值 ADCN与四边形MBEA在平面AEND的同侧,且平面DCN/平面MBEA. 封 线 第8页(共8页)。 【25·(新高考)CCJ·数学·Y】