2026年中考数学考前冲刺 命题与证明专项练习

命题与证明专项练习-2026年中考数学考前冲刺 1．（25-26全国·课后作业）下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ (1)如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； (2)等边三角形是锐角三角形； (3)如果两个角是直角，那么它们相等； (4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 2．（25-26全国·单元测试）下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 3．（25-26全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 4．（25-26全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 5．（25-26江苏泰州·月考）如图，在中，点为边上一点，现有以下信息： ①；②；③． 从以上三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题． (1)请用形如“①②③”的形式写出所有的真命题； (2)选择（1）中的一个真命题进行证明． 6．（25-26·河北石家庄·月考）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； (2)在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 7．（24-25江苏无锡·期末）我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： (1)命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； (2)若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 8．（24-25福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 9．（2024江苏·期末）如图，四边形中，点E在边上，连接、并延长交于点F．给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．将其中的三个关系式作为已知条件．另外两个作为结论，构成正确的结论． (1)用序号写出三个正确的结论（书写形式如：如果x x x，那么x x）； A：   B：                                  C： (2)我选择 进行说明其中的道理． 10．（25-26河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 11．（25-26全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 12．（25-26江苏泰州·期末）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，若_________，_________，则_________． 给出下列信息：①，②，③．请从中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，将对应的序号填写在横线上方，使之构成真命题，并加以证明． 13．（25-26云南曲靖·月考）如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 14．（2025九年级·全国·专题练习）如下图，已知是的两条高，且，用反证法证明：不是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：原命题的条件是两个实数均为正数，结论是它们的积为正数． 逆命题的条件是积为正数，结论是两数均为正数； 即逆命题：如果两数的积为正数，那么这两数均为正数， 但两个负数的积也为正数（如），因此逆命题不成立； （2）解：原命题的条件是等边三角形，结论是锐角三角形， 逆命题的条件是锐角三角形，结论是等边三角形， 即逆命题：锐角三角形是等边三角形， 但锐角三角形只需三个角均为锐角（如的三角形），不一定是等边三角形，故逆命题不成立； （3）解：原命题的条件是两个角是直角，结论是它们相等； 逆命题的条件是两角相等，结论是它们为直角． 即逆命题：如果两角相等，那么它们为直角； 但相等的角可以是任意度数（如），不一定是直角，故逆命题不成立； （4）解：原命题的条件是点在角内部且到两边距离相等，结论是点在角平分线上． 逆命题的条件是点在角平分线上，结论是到两边距离相等． 即逆命题：如果点在角平分线上，那么它到两边距离相等． 根据角平分线性质定理，角平分线上的点到两边距离相等，故逆命题成立． 2．（1）解：依题意，如果a，b互为相反数，那么是命题，且是真命题； （2）解：“有理数一定是自然数”是命题，且是假命题； 例如：是有理数，但不是自然数， ∴原命题是假命题， （3）解：“延长线段”不是命题； （4）解：“明天一定下雨吗？”不是命题； （5）解：“”是命题，且是假命题； 当时， 则 即等式左边为9，右边为5，左边右边， 因此原命题是假命题． 3．证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 4．(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 5．(1)所有真命题为：①②⇒③；①③⇒② ；②③⇒①； (2)见详解． 【分析】本题考查等腰三角形边角关系、直角三角形性质，用 “选条件推结论” 的命题构造思想，技巧是识别条件与结论的逻辑关联，关键是判断条件组合能否推出结论，易错点是混淆条件与结论的对应关系． （1）明确边角关系，逐一组合推到结论即可； （2）①②⇒③；利用等边对等角和三角形内角和即可证明； ①③⇒② ；利用等边对等角和互余角即可证明； ②③⇒①；利用等边对等角和互余角即可证明． 【详解】（1）所有真命题为：①②⇒③；①③⇒② ；②③⇒①； （2）①②⇒③； 已知：，， 求证： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴； ①③⇒②； 已知：，， 求证：； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②③⇒①； 已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．(1)或，不相等，假命题 (2)见解析 【分析】（1）根据内错角的定义求解，然后判断即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：找出的一个内错角：或，与这个内错角不相等，所以该命题是：假命题； （2）解：改变的条件为：若 ∴； 或改变的条件为：若 ∴． 7．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举反例说明假命题，列代数式，数的整除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据反例满足命题题设，但不满足结论，举例即可； （2）设，整理得到，即可证明能被13整除． 【详解】（1）解：，满足的结果的个位数字为4，但， 若计算的结果的个位数字为4，则为假命题．（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）； （2）证明：a、b、c为三个连续整数， 设， 则 ， ， 能被13整除． 8．见解析 【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． 9．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用． （1）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可． （2）选择A：先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出；选择B：先证明为腰三角形，再证明，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质进一步即可得出；选择C：先得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，再利用三线合一的性质即可得出． 【详解】（1）解∶A∶ 如果①②③，那么④⑤； B∶如果，那么； C∶如果，那么． （2）解：选择A，如果①②③，那么④⑤； 理由： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； 选择B：如果B∶如果，那么；理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 选择C：如果，那么， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 即E为的中点， 又， ∴． 10．(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 11．(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题，反例见解析． (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题，反例见解析． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）该命题为真命题． （2）该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    （3）该命题为真命题． （4）该命题为假命题． 反例：当时，． 12．见解析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法，证明，即可得出结论． 【详解】解：若①②，则③；证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 若①③，则②；证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； ∴； 若②③，则①；证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即． 13．(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直 (2)能，见解析 【分析】（1）根据题意一般的命题形式叙述出来； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，证明或，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． （2）平行线中“三线八角”的平分线互相垂直，理由如下， 如图，过点作 ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ ∴平行线中“三线八角”的平分线互相垂直或平行 14．证明见解析 【分析】首先假设平行四边形是菱形，利用平行四边形的面积公式即可证得平行四边形的边不等，与菱形的定义矛盾，从而得证． 【详解】证明：假设是菱形． ， ， 这与菱形中，相矛盾， 不是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $