北京市东城区景山学校2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年北京市东城区景山学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）. 1．（2分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（2，﹣1） B．图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 4．（2分）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 5．（2分）如图，在2×3的方格图中，△ABC的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB＝6，则AF的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 7．（2分）下面的三个问题中都有两个变量： ①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x． 其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2分）如图，已知函数y1（x＞0），y2（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中： ①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1 ②若2AC＝AB，则k ③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称 ④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1 结论正确的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9．（2分）已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为 　 　 ． 10．（2分）如图，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使得△ABC与△ADE相似，则可添加一个条件：　 　 ．（只填写一个） 11．（2分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC＝　 　 ． 12．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1　 　 k2.（填“＞”，“＜”或“＝”） 13．（2分）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB＝9：25，则AD：DB＝　 　 ． 14．（2分）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I，测得数据如下： R（Ω） 100 200 220 400 I（A） 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝　 　 A． 15．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝6，CG＝8，CD＝10，则EF的长为 　 　 ． 16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　 　 ． 三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23每题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）计算：2cos30°sin45°﹣tan260°﹣tan45°． 18．（5分）如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，△ABC与△A′B′C′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． （1）△ABC与△A′B′C′的位似比是 　 　 ，请在图中标出位似中心P的位置； （2）请以点B′为位似中心，并在点B′右侧的网格中画一个△A′′B′C′′，使它与△A′B′C′的相似比为1：2． 19．（5分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE． （1）求证：△ACE∽△BAD． （2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长． 20．（5分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，求BC的长（结果保留根号）． 21．（6分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1≥y2时x的取值范围． 22．（6分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长． 23．（6分）如图，A，B分别在反比例函数y，y（k＞1）图象上且在第一象限内，且AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为点D，点C． （1）若AD＝2AB＝2，求k的值； （2）当k＝4时，求矩形ABCD的面积． 24．（5分）在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD边的中点，N为AB边中点，点P为对角线BD的中点，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F，连接PM，PN． （1）如图，求的值． （2）求证：． 25．（5分）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点． （1）当a＝1，y1＝y2时，求b的值； （2）若对于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC＝∠B． （1）求证：ED＝EC； （2）连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF． ①依题意补全图形； ②若AF⊥EF，求∠BAC的大小． 28．（7分）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数． 如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为（m，n）， （1）如果m+n＝5， ①求这两个函数的特征数； ②如果点Q是线段OP上一点（不与点O、P重合），过点Q作QA⊥x轴，交反比例函数图象于点A，联结AO，若△AOQ的面积为1，求点Q的坐标； （2）如果点O绕点P顺时针旋转90°后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值：　 　 （无需写出过程）． 2024-2025学年北京市东城区景山学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C A C B C 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）. 1．（2分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴11； 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． 2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解． 【解答】解：根据勾股定理可得， 则cosB． 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，牢固掌握相关知识是解题关键． 3．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（2，﹣1） B．图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【分析】根据反比例函数的性质即可直接作出判断． 【解答】解：A、把x＝2代入y得，y＝1，则（2，﹣1）不在图象上，选项错误； B、图象位于第一、三象限，选项错误； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质： （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 4．（2分）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求∠ABC＝∠EDC＝90°，得出△ACB∽△ECD，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m， 根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD， ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴△ACB∽△ECD， ∴，即， ∴ED＝9.6（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 5．（2分）如图，在2×3的方格图中，△ABC的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，AC：BC＝2， A选项中，三条线段的长为，2，，因为（）2+（2）2＝（）2，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为1：1． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 6．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB＝6，则AF的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【分析】由菱形的性质得AB∥DC，AB＝DC＝6，可证明△AFE∽△DCE，则，求得AFDC＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB∥DC，AB＝DC＝6， ∵点F在直线AB上， ∴AF∥DC， ∴△AFE∽△DCE， ∵， ∴， ∴AFDC6＝3， 故选C． 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AFE∽△DCE是解题的关键． 7．（2分）下面的三个问题中都有两个变量： ①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x． 其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】分别求出对应的y与x的关系判断即可． 【解答】解：①由题意得，等腰三角形的面积一定，底边上的高y与底边长x是反比例函数，符合题意； ②速度一定，泳池中的剩余水量y与放水时间x是正比例函数，不合题意； ③从A地到B地的距离一定每日铺设长度y与铺设天数x是反比例函数，符合题意； 所以变量y与变量x满足反比例函数关系的是①③． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 8．（2分）如图，已知函数y1（x＞0），y2（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中： ①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1 ②若2AC＝AB，则k ③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称 ④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1 结论正确的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 【分析】①将y＝2代入y2求解． ②由2AC＝AB得xCxB，再由xB•yB＝﹣2求解． ③若AC＝AB，则k＝2，2与﹣2互为相反数，y1，y2的图象关于y轴对称． ④将x＝﹣2代入y2求出y值，再由函数增减性求解． 【解答】解：①将y＝2代入y2得x＝﹣1，故①正确． ②∵xB•yB＝﹣2，xCxB，yC＝yB， ∴xC•yCxB•yB＝1，故②错误． ③若AC＝AB，则k＝2， ∴y1，y2的图象关于y轴对称， 故③正确． ④当x＝﹣2时，y2＝1， ∵y2（x＜0）随x增大而增大， ∴x＜﹣2时0＜y2＜1， 故④错误． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质，掌握求反比例函数中k的方法． 二、填空题（每题2分，共16分） 9．（2分）已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据反比例函数的定义，即y（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1且m﹣1≠0即可． 【解答】解：根据题意m2﹣2＝﹣1， ∴m＝±1， 又m﹣1≠0，m≠1， 所以m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 10．（2分）如图，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使得△ABC与△ADE相似，则可添加一个条件：　∠D＝∠B（或∠AED＝∠C或）（答案不唯一）　 ．（只填写一个） 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行证明即可． 【解答】解：①添加∠D＝∠B，使得△ABC与△ADE相似， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE； ②添加，使得△ABC与△ADE相似， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵， ∴△ABC∽△ADE； ③添加∠AED＝∠C，使得△ABC与△ADE相似， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE； 故答案为：∠D＝∠B（或∠AED＝∠C或）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 11．（2分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC＝　　 ． 【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC的度数，求出cos∠BAC的值． 【解答】解：AB＝BC， AC， 则AB2+BC2＝5+5＝10＝AC2， 则△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC＝45°， 则cos∠BAC． 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及勾股定理及逆定理，解答本题的关键是判断三角形ABC为直角三角形． 12．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1　＜　 k2.（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】，“图象离坐标轴越远，|k|越大”． 【解答】解：如图，因为反比例函数的图象离坐标轴比反比例函数的图象离坐标轴远， 所以k2＞k1． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了反比例函数图象和反比例系数k的关系，“图象离坐标轴越远，|k|越大”． 13．（2分）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB＝9：25，则AD：DB＝　3：2　 ． 【分析】根据DE∥BC，即可求得△ADE∽△ABC，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得AD：AB，即可求得AD：DB，即可解题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∠CDE＝∠BCD，∠DEB＝∠CBE， ∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB， ∵S△DOE：S△COB＝9：25， ∴DE：BC＝3：5， ∴AD：AB＝DE：BC＝3：5， ∴AD：DB＝3：2． 故答案为：3：2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 14．（2分）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I，测得数据如下： R（Ω） 100 200 220 400 I（A） 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝　4　 A． 【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案． 【解答】解：把R＝220，I＝1代入I得： 1， 解得U＝220， ∴I， 把R＝55代入I得： I4， 故答案为：4． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据已知求出反比例函数的解析式． 15．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝6，CG＝8，CD＝10，则EF的长为 　　 ． 【分析】易得∠CDE＝∠AED，则sin∠CDE＝sin∠AED，那么，即可求解，利用同角的余角相等得到∠ADF＝∠DCG，则cos∠ADF＝cos∠DCG，即可求解DF，最后进行线段和差计算． 【解答】解：∵CG⊥DE，CG＝8，CD＝10， ∴6， ∵四边形ABCD为矩形， ∴DC∥AB，∠ADC＝90°． ∴∠CDE＝∠AED， ∴sin∠CDE＝sin∠AED， ∴， ∴， ∴， ∵∠ADC＝90°，CG⊥DE， ∴∠ADF＝∠DCG＝90°﹣∠CDG， ∵AF⊥DE， ∴cos∠ADF＝cos∠DCG， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确运用三角函数是解题的关键． 16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　或9﹣3　 ． 【分析】△APQ与△BPC都是直角三角形，两个三角形相似时，AP的对应边是BP或BC．分两种情形构建方程，分别求解即可． 【解答】解：分两种情况： ①当△AQP∽△BPC时，， 即， ∴t或t＝6（舍去）， ∴t； ②当△APQ∽△BPC时，， 即， ∴t2﹣18t+36＝0， ∴t＝9﹣3或t＝9+3， 经检验，t＝9±3是分式方程的解，t＝9+3不符合题意，舍去， ∴当t或9﹣3时，以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似． 故答案为：或9﹣3． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23每题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）计算：2cos30°sin45°﹣tan260°﹣tan45°． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式＝23﹣1 3． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 18．（5分）如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，△ABC与△A′B′C′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． （1）△ABC与△A′B′C′的位似比是 　1：2　 ，请在图中标出位似中心P的位置； （2）请以点B′为位似中心，并在点B′右侧的网格中画一个△A′′B′C′′，使它与△A′B′C′的相似比为1：2． 【分析】（1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心； （2）根据要求画出位似图形即可． 【解答】解：（1）△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，如图位似中心P即为所求． 故答案为：1：2； （2）如图，△A′′B′C′′即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． 19．（5分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE． （1）求证：△ACE∽△BAD． （2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长． 【分析】（1）根据CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED，即有∠ADB＝∠AEC，结合∠DAC＝∠B，可得△ACE∽△BAD； （2）根据△ACE∽△BAD，可得，即，问题随之得解． 【解答】（1）证明：∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠DAC＝∠B， ∴△ACE∽△BAD， （2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD， ∴，， ∵CE＝3，BD＝4，AE＝2， ∴， ∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 20．（5分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，求BC的长（结果保留根号）． 【分析】根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形ABPN是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠N＝∠P＝90°， ∵AB∥NP， ∴∠NAB+∠N＝180°， ∴∠NAB＝90°， ∴四边形ANPB为矩形， ∴AB＝NP＝2cm， ∵， ∴． 【点评】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 21．（6分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1≥y2时x的取值范围． 【分析】（1）首先把A（6，1）代入反比例函数解析式中确定m，然后把B（a，﹣3）代入反比例函数的解析式确定a，然后根据A，B两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）求得一次函数与x轴的交点，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC即可求解； （3）根据图象，求出自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2中， 解得：m＝6， 故反比例函数的解析式为y2； 把B（a，﹣3）代入y2，解得a＝﹣2， 故B（﹣2，﹣3）， 把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b， 得，解得：， 故一次函数解析式为y1x﹣2； （2）如图，设一次函数y1x﹣2与x轴交于点C， 令y＝0，得x＝4． ∴点C的坐标是（4，0）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC4×14×3＝8． 故答案为：8； （3）由图象可知，当﹣2≤x＜0或x≥6时，y1≥y2， 所以y1≥y2时x的取值范围是﹣2≤x＜0或x≥6． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想． 22．（6分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长． 【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠A＝∠ACD，再根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CDE，所以∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC； （2）先利用斜边上的中线性质得到CDAB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到，然后求出AC、BC，从而得到△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵DC⊥CE， ∴∠DCE＝90°， ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴DA＝DC， ∴∠A＝∠ACD， ∵AC∥DE， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴∠A＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△DEC； （2）解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CDAB＝4， 在Rt△DCE中，DE5， ∵△ABC∽△DEC， ∴，即， ∴AC，BC， ∴△ABC的周长8． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 23．（6分）如图，A，B分别在反比例函数y，y（k＞1）图象上且在第一象限内，且AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为点D，点C． （1）若AD＝2AB＝2，求k的值； （2）当k＝4时，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由条件可得A点纵坐标，代入y，可求得A点坐标，则可求得OD的长，结合条件可求得OC的长，则可得到B点坐标，代入y可求得k的值； （2）延长BA交y轴于点E，利用反比例函数k的几何意义可求得S矩形OEBC和S矩形OEAD，则可求得矩形ABCD的面积． 【解答】解： （1）∵AD＝2， ∴A点纵坐标为2， ∵A点在反比例函数y的图象上， ∴2，解得x， ∴OD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝2AB＝2CD＝2， ∴CD＝1， ∴OC＝1， ∴B点坐标为（，2）， ∵B点在反比例函数y（k＞1）图象上， ∴k2＝3； （2）如图，延长BA交y轴于点E， ∵k＝4， ∴过A、B两点的反比例函数解析式分别为y，y， ∴S矩形OEBC＝4，S矩形OEAD＝1， ∴S矩形ABCD＝S矩形OEBC﹣S矩形OEAD＝4﹣1＝3． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征和k的几何意义，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键，即过反比例函数图象上任意一点引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 24．（5分）在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD边的中点，N为AB边中点，点P为对角线BD的中点，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F，连接PM，PN． （1）如图，求的值． （2）求证：． 【分析】（1）证明△PMF∽△PNE，可得； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）解：∵AM＝MD，PB＝PD，AN＝NB， ∴，，PM∥AB，PN∥AD， ∴四边形ANPM是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ANPM是矩形， ∴∠MPN＝∠EPF＝90°， ∴∠EPN＝∠FPM， ∵∠PMF＝∠PNE＝90°， ∴△PMF∽△PNE， ∴； （2）证明：∵△PMF∽△PNE， ∴， ∴NE＝2MF， ∵BE﹣NE＝BN， ∴BE﹣2MF＝BN， ∵N是AB的中点， ∴， ∴． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． 25．（5分）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【分析】（1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y•x．即可得到反比例函数的解析式，再根据x的取值范围求出y的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【解答】解：任务1：根据链接中给的杠杆原理，可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y•x． 将其化为y关于x的函数表达式：y， 由于OB＝OC+BC＝12+28＝40（cm）． ∴OC≤x≤OB，即为12≤x≤40． ∴y的取值范围为30≤y≤100（ g ）． 任务2：根据素材2，设第一次加入水的质量为a（g），空矿泉水瓶的质量为b（g）． 第一次称量时，x＝OB＝40，y＝a+b， 根据杠杆原理列出方程：40（a+b）＝1200． 第二次称量时，x＝OC+PC＝12+12＝24，y＝2a+b， 根据杠杆原理列出方程：24（2a+b ）＝1200． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为10g． 【点评】本题考查反比例函数的实际应用． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点． （1）当a＝1，y1＝y2时，求b的值； （2）若对于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的对称性即可求解； （2）根据二次函数的增减性得出关于a的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）∵点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点． ∴当y1＝y2时，则点A（1+a，y1），B（b，y2）关于对称轴对称， ∵抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）对称轴为直线x1， ∴， ∵a＝1， ∴b＝0； （2）∵抛物线对称轴为x＝1， ∴点A（1+a，y1）关于对称轴的对称点为（1﹣a，y1）， ∵对于2＜b＜3，都有y1＜y2， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，点A（1+a，y1）在对称轴直线x＝1的右侧，则1+a≤2， 解得a≤1， ∴0＜a≤1， 当a＜0时，抛物线开口向下，点A（1+a，y1）在对称轴直线x＝1的左侧，则1﹣a≥3， 解得a≤﹣2， 综上，a的取值范围是a≤﹣2或0＜a≤1． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC＝∠B． （1）求证：ED＝EC； （2）连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF． ①依题意补全图形； ②若AF⊥EF，求∠BAC的大小． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明即可； （2）①根据要求作出图形； ②延长EF到T，使得FT＝EF，连接AT，BT，AE．证明△FTB≌△FED（SAS），推出BT＝DE，∠FTB＝∠FED，推出BT∥DE，证明△ABT≌△ACE（SSS），推出∠ABT＝∠C，再证明∠C＝45°可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠EDC＝∠ABC， ∴∠EDC＝∠ACB， ∴ED＝EC； （2）解：①图形如图所示； ②延长EF到T，使得FT＝EF，连接AT，BT，AE． 在△FTB和△FED中， ， ∴△FTB≌△FED（SAS）， ∴BT＝DE，∠FTB＝∠FED， ∴BT∥DE， ∴∠CED＝∠TBC， ∵DE＝EC， ∴BT＝EC， ∵AF⊥ET，FT＝FE， ∴AT＝AE， 在△ATB和△AEC中， ， ∴△ABT≌△ACE（SSS）， ∴∠ABT＝∠C， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠DEC＝∠TBC＝2∠C， ∵∠C＝∠CDE， ∵∠C+∠CED+∠CDE＝180°， ∴2∠C+∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝45°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28．（7分）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数． 如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为（m，n）， （1）如果m+n＝5， ①求这两个函数的特征数； ②如果点Q是线段OP上一点（不与点O、P重合），过点Q作QA⊥x轴，交反比例函数图象于点A，联结AO，若△AOQ的面积为1，求点Q的坐标； （2）如果点O绕点P顺时针旋转90°后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值：　　 （无需写出过程）． 【分析】（1）①由m+n＝5可得n＝5﹣m，进而分别代入两个函数解析式，求出m、k即可得解； ②利用解析式设出Q和A的坐标，进而表示出AQ，再根据面积公式求解即可； （2）由旋转90°可作一线三垂直全等，进而求出点F坐标，再利用函数点的坐标特征建立方程求解即可． 【解答】解：（1）①∵m+n＝5， ∴n＝5﹣m， ∴P（m，5﹣m）， 则， ∴解得m＝4（负值舍去），k＝4， ∴这两个函数的特征数为4； ②由①可知反比例函数解析式为y，正比例函数解析式为yx， 设Q（a，a），则A（a，）， ∴AQa， ∴S△AOQ（a）•a＝1， 整理得a2＝8， ∴a＝2（负值舍去）， ∴Q（2，）； （2）如图，设落点为F，过P作GH∥y轴，交x轴于点H，过F作FG⊥GH于点G，则∠G＝∠OHP＝90°， ∵P（m，n）， ∴OH＝m，PH＝n， ∵点O绕点P顺时针旋转90°落在F处， ∴∠OPF＝90°，PO＝PF， ∴∠OPH＝∠PFG＝90°﹣∠FPG， ∴△OPH≌△PFG（AAS）， ∴PH＝FG＝n，PG＝OH＝m， ∴F（m﹣n，m+n）， ∵点P在y上， ∴n， ∴k， ∵点P和点F均在y上， ∴mn＝k，m2﹣n2＝k， 将k代入mn＝k得，n＝1（负值舍去）， ∴m2﹣1＝m，即m2﹣m﹣1＝0， 解得m（负值舍去）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、解一元二次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$