周测培优卷二十：简单几何体的再认识-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷二十 测试内容：简单几何体的再认识 建议用时：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 5．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（   ） A．148 B． C． D．196 6．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 10．如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D．二面角的平面角的大小为 11．已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为 B．直线与平面所成角的正切值最大为 C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D．若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为 ． 13．已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为 ． 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍，∥，侧面和为等边三角形，，则该刍甍的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证： 平面； (2)求三棱锥的体积. 16．（15分）如图是一个以为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知. (1)求几何体的体积； (2)线段上有一动点，求使最小时的长. 17．（15分）如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. (1)求几何体的体积； (2)求二面角的正切值； (3)求几何体的外接球的表面积. 18．（17分）如图，在以P为顶点，为母线长的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD． (1)求证：平面PAC； (2)若，求点O到平面PBD的距离． 19．（17分）（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？   （2）设某长方体礼盒的长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 必修第二册·周测培优卷二十 高一数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷二十 测试内容：简单几何体的再认识 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D B A A ABD BD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】圆台的体积为. 故选：D 2．B 【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示， 则圆锥的体积，所以，即， 又，即， 所以，则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选：B. 3．B 【详解】还原正方体如下图所示， ，， ， 所以四面体的表面积为. 故选：B 4．D 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B不符合条件， 在平面内，不是三棱锥，故C不符条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 5．D 【详解】设线段，，，的中点分别为，，，，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段，的中点分别为，， 则，设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为，则，， 所以，则该方斗杯可盛水的总体积为. 故选:D. 6．B 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，， 由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 7．A 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    8．A 【详解】因为，即，， 又平面恰好将正三棱柱体积均分，所以点为的中点， 延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接， 则为平面与平面的交线， 因为，，，，， 所以，即，解得，所以； ，即，解得，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以，即， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为平面和平面夹角，又， 所以， 即平面和平面夹角的余弦值为. 故选：A 9．ABD 【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，故, 故AB正确. 而正三棱锥的体积为， 侧面积为， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．BD 【详解】 对于选项A：三棱锥的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确； 对于选项B：两点在平面上的射影分别为,即直线在平面上的射影为， 而,根据三垂线定理可得.故选项B正确； 对于选项C：因为平面,直线与平面ABCD所成角为, 当点和点重合时，在平面射影最小， 这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项C不正确； 对于选项D：二面角即二面角， 因为，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：BD. 11．ACD 【详解】对于A，根据正方体性质可得，可知， 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示： 则其轨迹的长度为，故A正确； 对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大， 此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误； 对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为， 易知，，点平面的距离为； 可得球心到平面的距离为， 故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确； 对于D，如下图： 先固定点，当点在上时，最小， 再让点移动，当三点共线时，最小， 此时，故D正确. 故选：ACD 12． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为， 球的表面积为，所以， 即，解得（负值舍去）， 故圆锥的底面直径与母线长的比值为． 故答案为： 13． 【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为， 取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形， 过点、在平面内作，，垂足分别为、， 由题意可知，，则、都为等腰直角三角形， 故，，则，， 在平面内，因为，，， 则四边形为矩形，故， 由题意可知，梯形的周长为， 即，解得， 故， 因此，该圆台的体积为. 故答案为：. 14． 【详解】分别在取点，使得， 由题意可知：为柱体，四棱锥的侧棱长相等，为矩形， 则点在底面的投影为矩形的外心，即为对角线的交点， 因为， 则， 可得四棱锥的体积； 设点到平面的距离为， 因为，且， 即，解得， 可知点到平面的距离为，即柱体的高为， 所以柱体的体积， 综上所述：该刍甍的体积为. 故答案为：. 15．【详解】（1）取中点，连接，如图所示， ∵为的中点.，∴且， 又为的中点，又∵，且， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵ 平面； 平面，∴ 平面． （2）. 16．【详解】（1）解：在上取点，使得，在取点，使得， 如图所示，连接，则三棱柱为正三棱柱， 取的中点，连接，取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为，所以，， 所以，， 所以几何体的体积为.    （2）解：如图所示，将梯形沿为旋转轴，展在平面上， 使得变为点，变为点，连接， 因为平面，平面，所以 ， 在直角中，， 所以，此时取得最小值， 所以与的交点，即为点， 又因为，所以， 可得，所以，所以    17．【详解】（1）在直角梯形中， ，得， 易知，在三角形中， 由余弦定理可得： 所以， 所以， 所以， 取中点，连接，则，又平面平面， 且相交于，平面， 从而平面，又在平面内，所以， 又，，都在平面内 所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由等体积性知几何体的体积为. （2） 过作交与，连接， 由（1）平面，易得， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，所以即为二面角的平面角， 因为，，， 所以到的距离为，为中点， 所以，又， 所以. （3）取中点的，连接， 由为等腰直角三角形，，易知， 因为分别是中点，可知，又， 由（1）可知，所以， 即， 所以几何体的外接球的球心为，半径为， 所以几何体的外接球的表面积为. 18．【详解】解：（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元， 则圆柱形礼盒的造价为元， 记正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 则，所以工厂选择正方体礼盒更经济实惠． （2）（ⅰ）所需彩带的总长度为． （ⅱ）如图所示，在平面内作，则， 同理可得，则， 所以所需彩带的总长度为， 因为，所以用对角捆扎法所用的彩带短，较短的约为35cm．    19．【详解】（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以. 又在圆锥中，垂直底面圆，底面圆， 所以，而，平面，所以平面，平面，从而. 在三角形中，，所以， 又平面.所以平面. （2）因为，，， 所以在直角中，. 又，则是等腰三角形， 所以，. 又，所以 设点到平面的距离为，由， 即，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$