6.6.3球的表面积和体积（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第六章《立体几何初步》 6.6.3球的表面积和体积（教学设计） 【教学目标】 1.掌握球的截面特征；（直观想象） 2.掌握球的表面积和体积的计算公式，并能运用公式解决简单的实际问题（数学运算） 【教学重点】 球的表面积和体积公式 【教学难点】 与球相关的简单组合体的表面积与体积的计算 【教学过程】 一、实例分析，提出问题 问题1：球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？ 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 问题2：一条直线与圆相交，在圆内的部分是弦.把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面是什么？ 圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆； 球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. 球的截面的性质： （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面； （2）截面半径r与球的半径R和球心到截面的距离d有下面的关系： 与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点. 课本P254思考交流：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？ 过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？ 解：设过点P的直线与球O相切于点A，则平面POA与球面的交线是球的大圆(如图)， 由直线与圆相切的性质可得OA⊥AP，∴∵点P到球心O的距离PO为定值，∴AP是定值，∴过球外一点的所有切线的切线长都相等，所有切点组成一个圆. 球的表面积和体积可用下面的公式来计算：S球面＝4πR2，V球＝ (其中R为球的半径) 二、抽象概括，得出概念 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 用一个平面α去截半径为R的球O，有以下性质： （1）若平面α过球心O，则截线是以球心O为圆心的圆. （2）若平面α不过球心O，如下图，不妨设OO′⊥α于点O′，记OO′＝d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，所以O′P＝，此时截线是以点O′为圆心、以r＝为半径的圆. 2.球的切线 （1）定义：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点. （2）性质：过球外一点的所有切线的切线长都相等. 3.球的表面积与体积公式 条件 球的半径为R 表面积公式 S＝4πR2 体积公式 V＝πR3 【概念辨析】 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)球的体积是关于球半径的一个函数.(　√　) (2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(　×　) (3)两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9.(　×　) (4)球心与其不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面.(　√　) 三、典例剖析，理解概念 课本P255 例6 例6 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变) 解：∵ ∴V半球＜V圆锥， ∴冰激凌融化了，不会溢出杯子. 课本P255例7 例7 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径. 解：如图，设钢球半径为R cm，根据题意，得 解得R＝1.5， 所以钢球的半径为1.5cm. 【当堂训练】 1．用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，求球的体积. 解：设截面圆半径为，球半径为，球心到截面的距离为. 根据题意可得：，，则. 所以球的半径为， 所以球的体积为. 四、迁移应用，掌握概念 球的截面问题 1.已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1.求这个球的表面积. 解　如右图，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x. 可得下列关系式：r＝R2－x2，且πr＝π(R2－x2)＝8π， r＝R2－(x＋1)2，且πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π. ∴π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π. ∴R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3.∴2x＝2，即x＝1. 又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，即R2＝9.∴R＝3. ∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π. 2.如右图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A. cm3　　　　B. cm3 C. cm3 D. cm3 解：利用球的截面性质结合直角三角形求解.如右图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm).设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42. 解得R＝5.故V球＝π×53＝(cm3).，选B. 与球有关的切接问题 1.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面； 2.球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面，得r2＝a； 3.长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径.若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则过球心作长方体的对角面，得球的半径为r3＝ ； 4.正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a； 5.正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a. 1．已知三棱锥的所有棱长均为,球为三棱锥的外接球,则球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为 【参考答案】1．C【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，   设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积，故选：C. 2．解：设正四棱柱的底面正方形的边长为， 则，解得或（舍去）， 而正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线， 所以该正四棱柱的外接球的半径为， 所以该正四棱柱的外接球的体积为. 五、当堂检测，巩固达标 1．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（   ） A．4 B． C． D．3 2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（   ） A． B． C． D． 3．已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 4．一个正方体的表面积为，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 . 【参考答案】 1．D【详解】设球体的半径为,则球的体积为，球的表面积为,所以.故选：D. 2．A【详解】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则，所以，所以外接球的体积.故选：A 3．【详解】由球的截面圆性质可知球的半径，则该球的体积为 . 故答案为：. 4．/【详解】设正方体的棱长为，则，解得或（舍去），则正方体的内切球的半径，所以此球的体积.故答案为： 六、课堂小结，升华素养 七、布置作业，即时检测 课本P256A组第2、3、4题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$