第四章 三角恒等变换 章末检测基础卷-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

北师大版2019·必修第二册 参考答案及解析 章末检测基础卷 第四章 三角恒等变换 1．A 【解析】因为为第二象限的角，且， 所以，所以. 故选：A. 2．B 【解析】已知，， 则. 因为，，三点共线，所以与共线. 可得. 即. 等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到. 故选：B. 3．C 【解析】 . 故选：C． 4．A 【解析】定义域为，，所以函数为奇函数，图像关于原点中心对称，故C错误； ， 令，解得或， 因为，所以有5个零点，故D错误； 当时， 的零点为，，，其中且， 当时，因为，， 所以， 当时，因为，，，故B错误，A正确， 故选：A． 5．C 【解析】因为， 所以，其中不符题意， 所以， 所以， 故选：C. 6．A 【解析】令，而， 故选：A. 7．C 【解析】，其中； 所以当时，，取得最大值， 由题意，即. . 故选：C 8．A 【解析】在中，， 又， 则，而， 则，即， 又，则， 而， 由，得， 即， 由正弦定理得， 由余弦定理 因此，即， 则， 由余弦定理， 又，所以. 故选：A 9．AC 【解析】∵，， 且 解得： ∴， 故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ∵，∴. ∵，∴， 故D错误. 故选：AC 10．ABD 【解析】由 ， 的最小正周期为，故A对， ，对应的函数值是最值，故B对； 时，， 此时t关于x单调递增， 在不单调， 故 在区间 上不单调递增，故C错； 时，， 此时t关于x单调递增，即t与x是一一对应的， ，而关于t的三角函数方程在时，恰好有4个根：，又t与x是一一对应的， 所以在区间上有 4 个零点，故D对， 故选:ABD 11．ABD 【解析】对于A，由已知有，故，所以，故A正确； 对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即， 而该方程有两个解，故B正确； 对于C，若，，， 则， 但不是等腰三角形，故C错误； 对于D，若，则有. 故，从而. 这表明或， 即或，故D正确. 故选：ABD 12． 【解析】因为角、的终边关于轴对称， 所以， 所以. 故答案为： 13． 【解析】因为，则， 则， 又，所以， 则， 所以 . 故答案为： 14． 【解析】由得， 即， 所以， 所以. 故答案为：. 15．【解析】（1）解：因为，可得， 又因为，可得， 所以，则 （2）解：由（1）知， 则. 16．【解析】（1），， ， ， ， ，， ，. （2），， 又，或， . ， 所以的周长为. 17．【解析】（1）当时，即， 两边平方，可得， 则，所以， 所以 ， 所以． （2）因为，即， 又，则， 将两边平方， 可得，则， 则， 又，所以当时，取得最大值，且最大值为1． 18．【解析】（1）在中，因为， 所以，即， 因为，则， 即，所以， 由余弦定理得. （2）由（1）知， 所以， 因为，，所以， 由（1）知，所以， 所以的面积. （3）由（2）知， 因为，可得， 由（1）知，， 故，，， 因为是上的点，且， 则，， 由（1）知， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 19．【解析】（1）， ， 即， 即， . （2）[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又， 所以， 又，则， 则 ， 因为， 所以，则， 从而， 故面积的取值范围是. [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知. 因为为锐角三角形，且， 所以，即 又由余弦定理得， 所以，即， 所以， 故面积的取值范围是. （3）的面积为3，所以，所以， 设，则 ， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$北师大版2019·必修第二册 课时同步基础练 必修第二册·章末检测基础卷 测试内容：第四章 三角恒等变换 建议用时：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知为第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 3．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 4．音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数，则在上的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数．设时，取得最大值．则（    ） A． B． C． D． 8．已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，△ABC的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（      ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上有 4 个零点 11．在△ABC中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则△ABC是等腰三角形 B．若，则符合条件的△ABC有两个 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．若，则△ABC为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则 . 13．已知，，则 ． 14．已知，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知，且. (1)求的值； (2)的值. 16．（15分）在中，角所对的边分别为，且，. (1)求； (2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 17．（15分）已知，． (1)当，求的值； (2)求函数的最大值． 18．（17分）在△ABC中，角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求△ABC的面积； (3)若△ABC的面积为是上的点，且，求的长. 19．（17分）在锐角△ABC中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求△ABC面积的取值范围； (3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若△ABC的面积为3，是否在△ABC内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$章末检测基础卷 第四章 三角恒等变换 北师大版2019·必修第二册 课时同步基础练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知为第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 3．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 4．音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数，则在上的图像大致为（    ） A．  B．   C．  D．   5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数．设时，取得最大值．则（    ） A． B． C． D． 8．已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，△ABC的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（      ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上有 4 个零点 11．在△ABC中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则△ABC是等腰三角形 B．若，则符合条件的△ABC有两个 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．若，则△ABC为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则 . 13．已知，，则 ． 14．已知，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知，且. (1)求的值； (2)的值. 16．（15分）在中，角所对的边分别为，且， . (1)求； (2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 17．（15分）已知，． (1)当，求的值； (2)求函数的最大值． 18．（17分）在△ABC中，角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求△ABC的面积； (3)若△ABC的面积为是上的点，且，求的长. 19．（17分）在锐角△ABC中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求△ABC面积的取值范围； (3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若△ABC的面积为3，是否在△ABC内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$