第9章 专题五 正方形中的常用模型-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级下册数学单元同步练习（苏科版 含测试卷）

时MN-CN-CM...MN长的最小值为V4I-3 BF的长为5或25. 图1 图2 6. 13或109 解析:当CEBE时,如图1.·'四边形ABCD 9.(1)菱形 菱形 解析:.'M,N,G.H分别为四边形ABCD 是矩形,..O是BD的中点,P是DE的中点,..BE-2OP= 各边的中点,..HG=MN-AC,HM-GN--BD又.:AC 6.CP-PE-PD..E是边BC的三等分点..'.CE-2BE-12 BC-3BE-18..矩形ABCD的面积是90...BC·CD-90 BD,.'.MN-MH-HG-GN..'.四边形MNGH是菱形. *CD-5.DE-+12-13...PC+PE-DE-13;当 (2)矩形,对角线互相垂直的四边形,连接各边的中点所得 CE<BE时,如图2,·四边形ABCD是矩形,.'.O是BD的 的四边形一定是矩形 解析:.M,N,G,H分别为四边形 中点,''P是DE的中点。BE=2OP三6.CP=PE三PD ABCD各边的中点...GH-MN-AC,GH/AC,MN/ :E是边BC的三等分点,..CE-BE-3,.BC AC..'HG/MN...四边形MNGH是平行四边形.同理可得 3+6-9.'矩形ABCD的面积是90.'BC.CD-90.'.CD GN/BD.":ACIBD,.'MNIGN... MNG-90*...四边 10..'DE- ③+10-109..PC+PE-DE-109 形MNGH是矩形. (3)解:四边形MNGH是正方形.证明如下:如图,连接AD 综上所述,PC+PE的值为13或v109 BC,设AD交PC于点O,交BC于点K.·PA-PC,PB PD. /APC=/BPD=90{*.. /APD=/CPB.../\APD △CPB(SAS)...AD-CB.PAO-OCK.又:AOP COK...CKO-APO-90.AD1BC.由(1)(2)可 知,四边形MNGH是正方形. 图 图2 7.(1)2解析:·四边形ABCD是正方形..'.OA=OC-OD OB.DOC-90*..在Rt△DOC中,OD+OC=DC (3V②).'OA-OD-OC-OB-3.:OE-5.*'AE-OE OA-2. 日积月累 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四 解析:如图,延长DA到点G,使AG=AD,连接 边形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 菱形;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边 EG,过点E作EH1AG于点H..F为DE的中点,A为 1形是矩形;顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点 DG的中点..AF为△DGE的中位线,..AF-EG.在 所得的四边形是正方形。 R△EAH中,EAH- DAC-45*,..EAH-AEH= 专题五 正方形中的常用模型 45* 'AH-EH.:AH+EH-AF,.'AH-FH-、/②. 解析::四边形ABCD是正方形...AD-CD,ADC一 '$GH-AG-AH-3V2-2-2/2.在Rt△EGH中,EG= DAE-90”.:AF1DE,CGIDE,.. AFD=CGD EHf+GHF-10:.EG-vV10.:.AF-EG-10. 90” .ADF+CDG=ADF+DAF-90”...CDG DAF,..△CDG△DAF(AAS),..AF=DG= VCD-CG-3,DF=CG-4.又:AE*=AF*+FF*,AF* .S-1ArP·Efr-27. 2. 13 解析:设小正方形的边长为a,则2a一EF*-(7v/2)?,解 8. 解:(1).BC=15,BF=3...FC-BC-BF=15-3-12.:AB 得a-7(负值已舍去).·AB*-7*+30×4-169..'.AB-13. BC,BD平分 ABC.'.AD=DC.·'E为AF的中点,'.DE3.(1)(a+b):(a-b){} (2)(a+b)2-4ab十(a-b)* 是△AFC的中位线,.DE-FC-x12-6. 解析:根据S方那Axcp= 8$角三角+S正方那ur.,可得(a+b){-8x1ab十(a-b)2,即 (2)①当点F在线段BC上时,由(1),得FC-2DE-10. '.BF-BC-FC-15-10-5;②当点F在线段CB的延长 (a十b)-4ab十(a-b){. 线上时,如图1,由(1),得FC-2DE一10<BC,此情况不成 (3)证明:左边-a*+2ab+?,右边-4ab+a-2ab+= 立;③当点F在线段BC的延长线上时,如图2,由(1),得 a*+2ab十b,',左边-右边,'.(a十b)-4ab十(a-b) FC-2DE-10.*BF-BC+FC=15+10-25.综上所述. 成立. 小练大卷得高分·数学·八年级下册答案 .D22. (4)解:正方形EFGH的面积为(a十b){-4xab=a}+B。 S .设Sm=x,则Sr=3×3-2x=9-2x.由题意,得 S0--2得.. SA.设 由题意,得S=(a+b),S-a}+,S=(a-b)}.'.S十 S正方愁ACD $G=a,DG= ·.DF CE,.. DGC=90{}:四边形 ABCD是正方形...CD-AB-3.在Rt△DGC中,由勾股定 ',+-10,ab-3(a-b?-a-2ab+-10-6 -4 理得CD=CG+DG*,即a}+b=9. 又'Sm= G· 4. (1)证明:·BP 1EF,.' BPE- BPF-90{·四边 形ABCD是正方形,:.AD/BC,AD=BC=AB,A= G-3-ab-3.)-a}++2ab-9+2x3=15,即(a+ C=90*.AEB= EBC"EBC-BEF,. AEB BEF.又':BE-BE...△ABE△PBE(AAS)...AE b)=15,.$CG+DG-a+b-15. P$E$AB=$PB$'$BP=BC .' $FPB= $C=9 0{,BF=B$F$$ 7.(1)相等 解析:如图1,过点E作EH1CD交CD于点H. '.R\BPFoRt/BCF(HL).'.PF=CF..'PE+PF= 则 EHF-90{。·.四边形ABCD是正方形,.'.AD-AB EF..'.AE+CF-EF. BAD= D=90{}..四边形AEHD是矩形,'EH (2)解:题图2中的数量关系为AE一CF一EF.证明如下:如 AD=AB, AEH=90{*$.' AEF+ HEF=90* 又$ 题图2,当点E,F分别在边AD,DC的延长线上时,.BP .AG 1EF,.$ BAG+ AEF=90*$.' BAG= HEF EF...BPE-BPF-90*。·四边形ABCD是正方形 [乙BAG- HEF, 在△ABG和△EHF中,AB-EH, '$AD/BC,AD=BC=AB, A= BCD=90*$ AEB .△ABG EBC.:EBC-BEF,.AEB-BEF.又BE ABG-/EHF: BE,*$△ABE2△PBE(AAS),..AE=PE,AB=PB. △EHF(ASA)...AG-EF. '$BP=BC. BPF= B$CF=90*$BF=BF,'Rt△BP$F$$$ (2)解:如图2,连接AG.设BE-xcm,则AE-AB一BE- Rt△BCF(HL)...PF=CF..:PE-PF=EF,.'AE-CF (8-x)cm.由折叠的性质可知,EF AG, AEF= GEF EF.题图3中的数量关系为CF一AE一EF.证法同上. GE=AE=(8-x)cm:四边形ABCD为正方形,..EBG= 5.(1)证明:·四边形ABCD为正方形...AD=DC,DAE 90{*}在Rt△EBG中,由勾股定理得GE{}-BE*}+BG^②,即 CDM=90,. ADE+EDC=90*.:CMDE (8-x)*--+2*,解得-15..BE-15 cm.在Rt△ABG ' /EDC+ DCM-90{. ADE- DCM.在△ADE和 (乙ADE=DCM, 中,由勾股定理得AG- AB+BG-8+2-217(cm). △DCM中,AD-DC, ..△ADE/DCM(ASA). 又由(1)知,EF=AG..'.EF-2V17cm (DAE-CDM, 1 A..-....--.D ..DE-CM. (2)解:EF和MN的大小关系是EF一MN.理由如下:如图 过点C作CR/MN交AD于点R,过点D作DQ/EF交 F F{ AB于点Q.:四边形ABCD为正方形。..AD/BC,即MR/ -...... CN.又.CR/MN,*.四边形MNCR为平行四边形 ..MN-CR.同理可得,EF-DQ.由(1)可知,CR-DQ. 图1 .EF-MN. 图2 第10章 分式 A MR D 小练1分式 过1. C解析:是分式,共3个. 题易错警示n是常数,不是字母,故--X不是分式. 过2. ①③解析:①2是分式,②是整式,③是分式, 6.(1)证明:如图,设DF,EC交于点G·DF1CE... /FGC= 90”../CFD+/BCE-90{。·四边形ABCD是正方形, ④是整式,..分式有①③. 'BC=CD./B=FCD-90”.:/BEC+/BCE-90* [CFD= BEC, 3. 100 3FCD-/B, .. BEC-CFD.在△CDF和△BCE中. “{ .CD-BC. ..△CDF△BCE(AAS)...CE-DF. _ 4. D 解析:当x=士2时,|xl-2-0,原分式无意义,故A选 项不符合题意;当x--1时,2x十1-0,原分式无意义,故 B选项不符合题意;当x一0时,c2一0,原分式无意义,故 C选项不符合题意;无论x取何值,2十1>1,原分式始终 (23 15 解析:由(1)知,△BCE△CDF...Sac= 有意义,故D选项符合题意 关键点拨(1)分式无意义(一分母为零;(2)分式有意义一分母 Soo.'. Srnnrr十S△roc=S△roc+S△no,即Sm过形or=不为零.小练大卷福高方数学八年级下册 专题五 正方形中的常用模型 定议用时30分钟■ 答案022 类型①赵爽弦图与一线三直角模型 (4)记正方形ABCD,正方形EFGH,正方形 1.(2024·北京，较难)如图，在 扫码者讲解。 IJKL的面积分别为S1,S,S.若S,+ 正方形ABCD中，点E在AB S十S,=30,R△AEH的面积为2，求 上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE (a-b)2的值. 于点G.若AD=5,CG=4,则 △AEF的面积为 2.(中等)如图是我国古代著名的“赵爽弦图” 的示意图，此图是由四个全等的直角三角形 拼接而成的，其中△ABE的面积为30， EF=7、2,则AB的长是 3.(较难)三国时期吴国数学家 扫码看讲解○ 赵爽制作了一张“勾股圆方 类型2半角模型 图”用来验证勾股定理，后世 4.(较难)在正方形ABCD中，点 扫码看讲解⊙ 也称为“赵爽弦图”实际上， E,F分别在边AD,DC所在 赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系. 的直线上，连接EF,BE,BF, 如图是由8个全等的直角三角形拼成的图 过点B作BP⊥EF交EF于 形，其中两直角边的长分别为a,b. 点P,且∠EBC=∠BEF (1)正方形ABCD的面积为 ,正方 (1)如图1，当点E,F分别在边AD,DC上 形1JKL的面积为 ,(用含a,b 时，求证：AE+CF=EF 的式子表示) (2)根据图中正方形ABCD的面积及正方形 IIKL的面积的关系，可得(a十b)2,ab, (a-b)2之间的等量关系为 图1 (3)请通过运算证明上述等量关系. 48 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第章中心对称图形 平行四边形 (2)如图2，当点E,F分别在边AD,DC的延 6.(较难)(1)如图1，在正方形 扫码看讲解。 长线上时：如图3，当点E,F分别在边 ABCD中，CE⊥DF,求 DA,CD的延长线上时，线段AE,CF, 证：CE=DF. (2)如图2，在正方形ABCD EF分别有怎样的数量关系？请写出你 中，CE⊥DF,且CE,DE 的猜想，并给出证明. 相交于点G.若AB=3,图中阴影部分的 面积和与正方形ABCD的面积之比为 2:3,则△DCG的面积为 CG+DG的值为 D 图2 图3 图1 图2 类型3十字架模型 5.(较难)在正方形ABCD中，点 扫码看讲解○ 7.(2023春·湖北襄阳期末，难) 扫码讲解○ E,M分别在边AB,AD上. (1)如图1，在正方形ABCD (1)如图1，CM⊥DE,垂足为 中，点E,F,G分别在AB G,求证：DE=CM. CD,BC上，且EF⊥AG (2)如图2，点F,N分别在边CD,BC上，若 垂足为M,那么AG与EF EF⊥MN,请判断EF和MN的大小关 (填“相等”或“不相等”). (2)如图2，将边长为8cm的正方形纸片 系，并说明理由. ABCD沿EF折叠，使得点A落到边BC 上的点G处.若BG=2cm,分别求BE 和EF的长 图 图2 图1 图2 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 49