第9章 专题二 特殊四边形中的折叠问题-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级下册数学单元同步练习（苏科版 含测试卷）

第9章中心对称图形一一平行四边形 专题e 特殊四边形中的折叠问题 建议用时了26分钟 答率D19 类型①平行四边形中的折叠 类型2矩形中的折叠 1.(中等)如图，将□ABCD沿对角线AC折叠， 4.(中等)如图，将一张宽为4、长为8的矩形纸 使点B落在点B′处.若∠1=∠2=44°，则 片ABCD折叠，使点C与点A重合，则CE ∠B的度数为 () 的长是 A.124°B.114° C.104° D.66° A.3 B.4 C.5 D.6 第1题图 第2题图 5.(中等)如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使 2.(较难)如图，在Rt△ABC中， 扫码看讲期C© 点D落在边BC上的点F处.若AB=8, ∠ABC=90°，AB=1,D是边 BC=10,则EC的长为 BC上一点，将△ACD沿AD 药 折叠得到△AED,连接BE.若 四边形ABED为平行四边形，则AE的长 为 6.(2024秋·南京建邺区月考，中等)如图，将 3.(2024·河北邯郸二模，较难) 扫码老讲解○ 矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得点C与点 如图，在□ABCD中，AB= D! A重合 AC,点E,F分别在AD,BC (1)求证：AE=AF. 上，沿EF折叠平行四边形，使 (2)若AB=3,BC=9,试求AF的长. 点A,C互相重合，点B落在点G处. (3)在(2)的条件下，EF的长度是 (1)连接GF,CE,求证：△CED≌△CFG D (2)若∠BCD=130°，求∠AEF的度数. (C 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 小练大卷得高分数学八年级下册 类型3菱形中的折叠 9.(较难)如图，在正方形ABCD 扫码活讲解。 7.(2024春·无锡断吴区期末，较 扫码看讲解● 中，AB=6,G是边BC的中 难)如图，在菱形纸片ABCD中， 点，将△ABG沿AG折叠得到 AB=4,∠A=60°，将菱形纸 △AFG,延长GF交CD于点 片翻折，使点A落在CD的中 E,则DE的长为 点E处，折痕为FG,点F,G分别在边AB, AD上，则EF的长为 ( A名 B.9 Ci n.36 类型④正方形中的折叠 8.(2024春·济南莱芜区期末，中等)在“综合 与实践”活动课上，老师给出了一张边长为4 的正方形纸片ABCD,对角线AC与BD交 于点O,将正方形纸片沿直线DG折叠，点C 落在对角线BD上的点E处，折痕DG交 AC于点M,连接EM,EG,则OM的长 为 42 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略∴EC=CG.在R1△ECG中，由勾股定理得EG=4.C解析：由折叠的性质可知，AE=CE.由题意得，四边形 ,/CE+CG=2CE.,∠ACE=90°-∠ECB,∠BG= ABCD是矩形，AB=4,BC=8.∴.∠B=90°，.BE=BC 90°-∠ECB,.∠ACE=∠BCG.AC=BC,∴.△ACE≌ CE=8-CE.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE十AB △BG(SAS),∴.AE-BG.,EG=BE+BG=BE+AE= AE,即(8一CE)十4=CE,解得CE=5. BE+DE-AD=2BE-AD...V2CE=2BE-AD. 5.3解析：，四边形ABCD是矩形，∴.∠B=∠C=90°，AD= A BC=10,AB=DC=8.由折叠的性质，AF=AD=BC=10. EF=DE.在R1△ABF中，∠B=90°，AB=8,AF=10,由勾 股定理得BF=√AF一AB=10一8=6，∴.CF=BC BF=10-6=4,设EC=x,则EF=DE=8-x在Rt△FCE 中，由勾股定理得CE十C=EF,即4+x=(8一x),解 得x=3,即EC=3. 6.(I)证明：由题意可知，∠AFE=∠CFE.,ABCD是矩形， ∴AD∥BC,.∠AEF=∠CFE,∠AEF=∠AFE, ,∴.AE=AF (2)解：由题意可知，∠B=90°，AF=CF,设AF=CF=x,则 BF=9-五.由勾股定理得BF+AB=AF,即x2=32+ (9一x)2,解得x=5.即CF=5,,AF=CF=5. (3)10解析：如图，连接AC,CE.由题意可知，AC⊥EF 由勾股定理得CA=AB十BC=3十g2=90,∴AC 3√ID,易证四边形AFCE是菱形.根据菱形的面积公式得， Sam=CF·AB=2AC·ER,即5X3=X3oEF, 图2 ..EF=10. 专题二特殊四边形中的折叠问题 1.B解析：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, .∠ACD=∠BAC.由折叠的性质，得∠BAC=∠BAC. ∴∠BAC=∠BAC=∠ACD.又：∠1=∠B'AC+∠ACD, ∴∠BAC=∠BAC=∠ACD=号∠I=号×4=2， B .∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22=114° 7.A解析：如图，连接BE,BD.四边形ABCD为菱形， 2.5解析：如图，设AE,BD交于点O.:四边形ABED为平 ∠A=60°，，∴.AB=4=BC=CD,∠A=60=∠C,∴.△BCD 行四边形，.OA=(OE,OB=OD,DE=AB=L,设OA= 是等边三角形.：E是CD的中点，∴，DE=CE=2,BE OE=x,OB=OD=y.在R△ABO中，由勾股定理得OA2 CD,∠EBC=30°..BE=√BC-CE=/④一22=2√3. O形=AB,即x一y=1.由折叠的性质可知，DC=DE=1. CD∥AB,.∠ABE=∠CEB=90°.由折叠的性质，得 AC=AE=20A=2x...BC=BD+DC=20B+DC=2y+1. AF=EF..'EF BE2 +BF,.'EF =12+(4-EF), 在R△ABC中，由勾股定理得AB+BC=AC,即1+ 2+1)=(2x,整理得-少=y十是y叶号=1 ∴-气（负值巴合去AE=2红=5. y=1 8.4-22解析：四边形ABCD为正方形，∴∠DCB=90°， ∠ACB=45,AC⊥BD,DC=BC=4.OD=OB.∴.DB= 个+=4w2.0D=DB=号×45=22.：∠CD ∠DCB=90,∠MEG=∠ACB=45,C-DE-4,∴∠OM= ∠GED-∠MG=90°-45=45.，∠EM=90°，.∠OME= 3.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，，，AB=CD ∠OEM=45°，∴.OE=OM,.OM=OE=DE-OD=4- ∠BAD=∠BCD,∠B=∠D.由折叠的性质，得AB=CG, 22. ∠B=∠G,∠BAD=∠GCE,.∠BCD=∠GCE,CD=CG :9.2解析：如图，连接AE.四边形ABCD是正方形，AD= ∠D=∠G.·∠ECD+∠BCE=∠BCD,∠BCE+∠FG= CD=BC=AB=6,∠C=∠D=∠B=90°.又：G为BC的中 ∠GCE,.∠ECD=∠FCG,.△CED≌△CFG(ASA). (2)解：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AD∥ 点B=CG=号BC-专×6=3由折叠的性质可知， BC.∴.∠B+∠BCD=180°，∴.∠B=180°-∠BCD=180° AF=AB=AD=6,FG=BG=3,∠AFG=∠B=90°，∴.∠AFE 130°=50°.：AB=AC,.∠ACB=∠B=50°，.∠DAC= 180°-∠AG=180°-90=90.在Rt△AFE和Rt△ADE中， ∠ACB=50°.：EF为折痕，点A与点C重合，∴.AC⊥EF, .∴∠AOE=90°，∴.∠AEF=180°-∠DAC-∠AOE=40. AE=AE:R△AFE2R△ADE,∴FE=DE设DE-FE AF-AD. 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D19· x,则EC=CD-DE=6-x,EG=EF十FG=x十3.在 ∠BAO=30°.：将BE绕点B按逆时针方向旋转60°得到 R△ECG中，由勾股定理得EC+CG=EG,即(6一x)+ BF,∴.BE=BF,∠EBF=6O°=∠ABD,∴.∠ABE= 3=(x十3)2，解得x=2,DE=2. ∠DBF,∴.△ABE≌△DBF(SAS),.∠BDF=∠BAO 30°，∴点F在过点D且与BD成30角的射线上移动，∴.当 OF⊥DF时，OF有最小值，∴.OF的最小值为号OD-3. G 包关键点拨根据折叠的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌ R1△ADE;在Rt△ECG中，根据勾股定理列出方程即可求出 4.D解析：如图，作点E关于AC的对称点T,连接PT,FT, DE的长. 过点D作DH⊥AB于点H,则∠AHD=90°.：点E,T关 专题三特殊四边形的最值问题 于AC对称，.PT=PE,∴.PE+PF=PT+PF.PF+ 1,B解析：如图，以AB为边作等边三角形ABE,连接EP,并 PT≥FT,.当FT⊥AB时，PE十PF取最小值.，四边形 延长交AD于点F,过点D作DH⊥EP于点H,.AE ABCD是菱形，边长为2，.AD∥BC,AB∥CD,AD=AB AB,∠BAE=60°.：将AP绕点A逆时针旋转60°得到 2.,∠B=120°..∠DAB=180°-∠B=180°-120°=60° AP',.AP=AP.∠PAP'=60°，∠BAP=∠EAP.在 AB-AE. ∠ADH=90°-∠DAB=90-60°=30，·AH=2AD △ABP和△AEP中， ∠BAP=∠EAP',∴.△ABP≌ AP=AP'. 是×2=L在R△AHD中，由勾股定理得DH=AD-AF- △AEP(SAS),∴.∠AEP=∠ABP=90°，∴点P在射线 /②2一下=5.当FT⊥AB时，四边形DHTF为矩形， EP'上运动，当点P与点H重合时，DP最小.在Rt△AEF ∴.FT=DH=3,即PE+PF的最小值为3. 中，∠EAF=30°，AE=AB=2/5..EF=2,AF=2EF=4, ∴.DF=AD-AF=6-4=2.:∠AEF=90°.DH⊥EP', DH∥AE.∴∠HDF=∠EAF=30,.HF=号DF=1, DH=3,DP的最小值为， 5.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.∠ABD=∠CBD: OA=OC,OB=OD.AB∥CD,AD∥BC..∠BAO= ∠DCO.又：∠AOE=∠COG,∴.△AOE≌△COG(ASA), ∴.OE(OG.同理可得，OH=OF,.四边形EFGH是平行四 边形.：BE=BF,∠ABD=∠CBD,(OB=OB,∴△EBO≌ 2.屋解析：在矩形ABCD中，AD=4,CD=AB=3,MD 2 △FBOCSAS),.OE=OF,.EG=FH,.四边形EFGH是 1,.AM=AD-MD=4一1=3.如图，连接MO并延长交 矩形. BC于点P,则此时PM-PO的值最大，且PM-PO=OM (2)解：由垂线段最短可知，当OEAB时，OE最小.又，四 ,AM∥CP,∴.∠PCO=∠MAO.:∠COP=∠AOM,OC 边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6,.OA=OC=4,OB= OA.∴.△COP2△AOMCASA),.CP=AM=3,OP=OM, OD=3,∠AOB=90°.在Rt△AOB中，由勾股定理得AB ,.PB=BC-CP=4一3=1.过点M作MN⊥BC于点N,则 0A+0B=+3=5.:58B=20A·0B ∠MNP=∠MNC=90°，∴.四边形MNCD是矩形，∴.MN= CD=3,CN=MD=1.,'.PN=BC-BP-CN=4-1-1=2. AB·0E,即3×4=50E,∴0E=号.又0E=0G, 51 PM=VMN+P=3+2=√3.OM=③ BG=0E+0G=号+号得即G的最小值是号 即PM-PO的最大值为 6.45-1解析：如图，作点C关于AB的对称点T,连接TM 2 交AB于点P,连接BT,DT,DM,CP.,四边形ABCD是正 方形..BC=CD=4,∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°.，点 C,T关于AB对称，∴.BT=BC=4,∠ABT=∠ABC=90°， .∠ABC+∠ABT=180°，即C,B,T三点共线，.CT BC+BT=4+4=8.在R1△DCT中，由勾股定理得DT= /CD+CT产=、+8=45.：∠EDF=90°，EM=MF, B ∴DM=号EF=1.:DM+TM>DT,TMe45-1.又 3.C解析：如图，连接DF:四边形ABCD是菱形，∠BAD 60°，.AB=AD,AC⊥BD,BO=OD,∴.△ABD是等边三角 :PM+PC=PM+PT=TM,∴.PM+PC≥45-1，即 形，.BD=AB=45,∠ABD=60°，∴.BO=DO=23, PM+PC的最小值为4v5-1, 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D20·