专题03 三角恒等变换的灵活运用（6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题03 三角恒等变换的灵活运用 【题型归纳目录】 题型一：给角求值型问题 题型二：给值求值型问题 题型三：给值求角型问题 题型四：三角恒等变换的化简问题 题型五：辅助角公式的高级应用 题型六：实际应用问题 【知识点梳理】 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）和角公式 （）， （）， （）. （2）差角公式 （）， （）， （）. 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 知识点3、降幂公式 ，， . 知识点4、半角公式 ，，. 其中，符号由所在象限决定. 知识点5、辅助角公式 ， 其中，.叫做辅助角，的终边过点. 【典型例题】 题型一：给角求值型问题 【例1】（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式 . 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C． 【变式1-3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B 题型二：给值求值型问题 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由两角和得正切公式得. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 【变式2-2】（23-24高一下·河南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 解得， 又因为，则， 可知，所以. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得. 故选：A 题型三：给值求角型问题 【例3】（24-25高一下·上海·期中）已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【解析】（1）∵是锐角，，∴， 所以 （2）∵是锐角，，∴， ∵，∴ 而. 所以. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【解析】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 【变式3-2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【解析】（1）由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. （2）由（1）得. （3）由（1）知，，则， ，，则，所以. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 【解析】（1）由题意可知，，，，， 所以，， ； （2）， ， ， 由，得，，则， 所以. 题型四：三角恒等变换的化简问题 【例4】（24-25高一下·北京·期中）在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． 【解析】（1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为， 所以， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 因此； ， ． （2）由（1）知，． （3）依题意，点在角的终边上，且，由（1）知， 则点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以点的坐标为． 【变式4-1】（24-25高一下·北京·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1） 所以的最小正周期为. （2）由， 得， 所以函数的单调递增区间为. （3）因为， 所以， 所以， 所以， 所以当，即时，取的最小值， 当，即时，取的最大值2. 【变式4-2】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)求使成立的的取值集合. 【解析】（1） 的最小正周期 （2）由时，得， 当，即时，有最小值 当，即时，有最大值3 故的值域为 （3）， 即， 即 ， 解得 成立的的取值集合为. 【变式4-3】（24-25高一下·甘肃甘南·期中）已知函数． (1)求图象的对称中心、对称轴，的单调递增区间； (2)当时，求的最值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【解析】（1） . 令，解得，即对称中心为. 令，解得，即对称轴为，. 由，可得，即增区间为. （2）当时，，所以； 所以最大值为1，最小值为. （3）由于， 所以. 令，由可得； 原不等式等价于有解，即在上有解； 因为在上均为减函数，所以为减函数， 所以，即. 题型五：辅助角公式的高级应用 【例5】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】解法一：由题意，得恒成立，即恒成立， 整理，得恒成立，所以，从而， 故当，，即时，取得最大值. 解法二：由题意，得，解得， 所以， 故当，即时，取得最大值. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知函数在处取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 设，则， 则当时，取得最大值，故， 故， 故选：A 【变式5-2】（24-25高一下·河北承德·阶段练习）函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据辅助角公式，其中， 可得，， 则，， 所以， 当时，取得最大值， 此时，移项可得， 可得， 所以， 故选：A. 【变式5-3】（2025·湖南郴州·三模）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， ， 所以. 故选：B 题型六：实际应用问题 【例6】（24-25高一下·上海·期中）近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【解析】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， ∴矩形的面积为 当时， ， 即矩形的面积为 . （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【解析】（1）在中，有，，， 由余弦定理可得， ， 所以，. 又易知，则. 设，则， 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 所以有， 所以，， 此时 （2）不妨设， 在中，由余弦定理得. 由正弦定理可得， 整理可得. 又， 所以有， 化简可得. 则 . 又，所以， 所以，当，即时该式取最大值， 所以. 【变式6-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； (1)若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： (2)改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 【解析】（1）由题可得， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ，又注意到. 则，则， 当且仅当时，活动区域面积最大为平方米； （2）如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分， 可得，设，则， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ， 又注意到.则， 则， 当且仅当时，活动区域面积最大为； 注意到，则，， 则选择方案1更好. 【变式6-3】（24-25高一下·山东枣庄·期中）某居民小区内建有一块矩形草坪，，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路，和，考虑到小区整体规划，要求O是的中点，点E在边上，点F在边上，且. (1)设，试将的周长表示成的函数关系式； (2)求的周长的最小值. 【解析】（1）在中，， ， 在中，， ， 又， ， 即. 当点在点时，这时角最小，求得此时； 点在点时，这时角最大，求得此时. 所以的周长关于的函数关系式为：，. （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长最小值即可. 由（Ⅰ）得，，， 设，则， ， ， ，， ，， 从而， 当，即时，. 【强化训练】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 又，则， 故， . 故选：A 2．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以，， 所以 . 故选：C 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知，则 的值为 （    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， ， 故. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以． 故选:A． 5．（2025·广东湛江·二模）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 其中,且为锐角， 因为在上单调递增，且， 所以，则的最大值为， 此时． 故选：D. 6．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由题意可知是的解，即， ∴，当时，， ， ∴令，即，， ∴函数的对称轴为， 当时，. 故选：C. 7．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，. 故选：C. 8．（24-25高一上·吉林长春·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：B 9．（多选题）（24-25高一下·四川·期中）已知函数，则（   ） A． B．≤ C．在，上单调递增 D．若为偶函数，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得， 所以的单调递增区间为， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，为偶函数， 所以，即， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD 10．（多选题）（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列式子中成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对． 故选：BCD． 11．（23-24高一下·四川成都·期中） ． 【答案】/ 【解析】因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·北京·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由辅助角公式可得， 所以最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】由 ， 可得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·四川·期中）若，，则 ． 【答案】 【解析】由题可得，因， 因在上单调递增，则. 故答案为：. 15．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】由得， ①，②， 即，， ∴ ∵， ∴. 故答案为：. 16．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知向量，，设函数. (1)求函数的最小正周期： (2)若，且，求的值; (3)在中， 若，求的取值范围. 【解析】（1） ， 所以的最小正周期； （2）， 由，则，则， 则 ； （3），，， 所以，则， ， 由，， 所以，则， 所以的取值范围是. 17．（24-25高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最值. 【解析】（1）因为， 所以函数的最小正周期为. （2）由（1）知， 因为，所以 当时，即时，最大值为 当时，即时，最小值为 综上，的最大值为1，最小值为. 18．（24-25高一下·四川·期中）声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整： 函数的自变量x的取值范围是R． 显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称. (1)函数的一个周期为　 　　　，简要说明理由； (2)求出函数f（x）的零点； (3)对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由． 【解析】（1）的周期分别为、、​，其最小公倍数为 ．‌验证‌： ． 所以，函数的一个周期为． （2） 因为＞0， 所以令， 得， 因此，， 所以函数的零点‌为，． （3）假设存在对称轴，展开方程‌ 将条件代入函数 ， 利用三角恒等式展开各项： ， ， 整理后方程变为：左侧减去右侧得： 由于等式需对任意 成立，故所有系数必须为零． 令各项系数为零：‌①，解得 （ 为整数）． ②，解得 ．（ 为整数） ③，解得 ．（ 为整数） 上述三个条件需同时满足，，，为整数， 显然‌无共同‌结论‌：函数 没有对称轴‌. 19．（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【解析】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角恒等变换的灵活运用 【题型归纳目录】 题型一：给角求值型问题 题型二：给值求值型问题 题型三：给值求角型问题 题型四：三角恒等变换的化简问题 题型五：辅助角公式的高级应用 题型六：实际应用问题 【知识点梳理】 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）和角公式 （）， （）， （）. （2）差角公式 （）， （）， （）. 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 知识点3、降幂公式 ，， . 知识点4、半角公式 ，，. 其中，符号由所在象限决定. 知识点5、辅助角公式 ， 其中，.叫做辅助角，的终边过点. 【典型例题】 题型一：给角求值型问题 【例1】（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 题型二：给值求值型问题 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·河南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：给值求角型问题 【例3】（24-25高一下·上海·期中）已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式3-2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 题型四：三角恒等变换的化简问题 【例4】（24-25高一下·北京·期中）在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． 【变式4-1】（24-25高一下·北京·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【变式4-2】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)求使成立的的取值集合. 【变式4-3】（24-25高一下·甘肃甘南·期中）已知函数． (1)求图象的对称中心、对称轴，的单调递增区间； (2)当时，求的最值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 题型五：辅助角公式的高级应用 【例5】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知函数在处取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·河北承德·阶段练习）函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·湖南郴州·三模）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型六：实际应用问题 【例6】（24-25高一下·上海·期中）近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【变式6-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； (1)若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： (2)改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 【变式6-3】（24-25高一下·山东枣庄·期中）某居民小区内建有一块矩形草坪，，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路，和，考虑到小区整体规划，要求O是的中点，点E在边上，点F在边上，且. (1)设，试将的周长表示成的函数关系式； (2)求的周长的最小值. 【强化训练】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知，则 的值为 （    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东湛江·二模）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·吉林长春·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一下·四川·期中）已知函数，则（   ） A． B．≤ C．在，上单调递增 D．若为偶函数，则的最小值为 10．（多选题）（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列式子中成立的有（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·四川成都·期中） ． 12．（24-25高一下·北京·期中）若，则的最小值为 ． 13．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 14．（24-25高一下·四川·期中）若，，则 ． 15．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则 ． 16．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知向量，，设函数. (1)求函数的最小正周期： (2)若，且，求的值; (3)在中， 若，求的取值范围. 17．（24-25高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最值. 18．（24-25高一下·四川·期中）声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整： 函数的自变量x的取值范围是R． 显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称. (1)函数的一个周期为　 　　　，简要说明理由； (2)求出函数f（x）的零点； (3)对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由． 19．（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$