精品解析：江苏省邗江中学2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试卷

高一年级期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. 200 C. D. 4. 已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 7. 四棱锥 中，底面为边长为3的正方形，平面， 与底面成角，， 分别为棱 ，上靠近点的三等分点，则异面直线 ，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中 ，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C. 设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D. 设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 10. 中，内角，，的对边分别为，， ，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 若且，则当取得最小值时， C. 当时，平面截正方体所得的截面的面积为 D. 若点在以的中点为球心，为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件A、B相互独立，且，则__________；__________． 13. 已知是实数，若，则 的值为_____________ 14. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中， ，，，点满足，为的中点.记，. （1）用，表示，； （2）设，求的值. 16. 某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． （1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） （2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； （3）从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 17. 已知，，，设的内角，，所对的边分别为，， ，且. （1）若，，求的周长； （2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值； （3）若，求锐角周长的取值范围. 18. 已知内角 的对边为，点是的内心，若． （1）求角； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 19. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将 沿翻折至 的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. （1）证明：平面 平面. （2）若线段 上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为，则由题意可知，， 因为向量的夹角，所以. 故选：B. 3. 已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. 200 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得圆柱的底面圆的半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解. 【详解】由题意，圆柱的轴截面是面积为100的正方形， 可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10， 所以侧面积为. 故选：C. 4. 已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求出的值，再利用二倍角的正弦公式以及诱导公式化简求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 所以. 故选：D. 6. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求 ，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 7. 四棱锥 中，底面为边长为3的正方形，平面， 与底面成角，，分别为棱 ，上靠近点的三等分点，则异面直线 ，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接， 因为，分别为棱 ，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥 中，底面为边长为3的正方形，平面， 与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线 ，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面， 平面，则， 结合 ，平面，则 平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在 中，，则, 即异面直线 ，所成角的余弦值为. 8. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中 ，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量模长可得，到 的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到 的距离为 ，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C. 设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D. 设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的定义分析判断，对于B，根据分层抽样的定义结合题意求解判断，对于C，根据平均数和方差的性质分析判断，对于D，根据独立事件和互斥事件的定义分析判断. 【详解】对于A，若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件，所以A正确， 对于B，由题意可知女运动员应抽取人，所以B错误， 对于C，一组数据的平均数为x，方差为， 若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据， 则新数据的平均数为2x，方差为，所以C正确， 对于D，因为A和B是两个概率大于0的随机事件，A和B相互独立， 所以，所以A和B一定不互斥，所以D正确， 故选：ACD 10. 中，内角，，的对边分别为，， ，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用 ，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则 ，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 若且，则当取得最小值时， C. 当时，平面截正方体所得的截面的面积为 D. 若点在以的中点为球心，为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A选项，根据到平面的距离相等以及锥体体积的转换可知正确；B选项，首先判断出在的中点连线上，然后把与展开到一个平面上，根据两点之间直线段距离最短判断出点位置；C选项，此时是的靠近点的三等分点，取的靠近的三等分点，截面就是等腰梯形，根据等腰梯形性质计算其面积即可；D选项，计算得到的中点的距离恰好为，因此点的轨迹为在正方形内的一段圆弧，根据半径和圆心角计算即可得到长度. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知， 所以到平面的距离相等， 所以， 又因为， 所以，A正确； B选项，设 分别是的中点， 连接，若，则在上， 连接， 因为， 故可将四边形与四边形展开成平面图形， 由图可知当共线时，有最小值，此时， 又即， 所以，B正确； C选项，当时，是的三等分点（靠近点）， 设是的三等分点，且， 连接，则， 所以平面截正方体所得截面为等腰梯形， 因为， 所以的高为， 面积为，C错误； D选项，根据点满足可知在正方形内， 设的中点为， 分别是的中点， 可得，且平面， 若点在以为球心，为半径的球面上， 则点的轨迹为在正方形内以为圆心，为半径的圆弧， 圆弧与正方形的另一个交点即为，可得， 所以点的轨迹的长度为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件A、B相互独立，且，则__________；__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】对于①：因为、相互独立，所以、也相互独立，又， 所以； 对于②：. 13. 已知是实数，若，则 的值为_____________ 【答案】 【解析】 【详解】，可得， 所以, 所以. 14. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中， ，，，点满足，为的中点.记，. （1）用，表示，； （2）设，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则和向量数乘即可得到答案； （2）利用向量数量积公式即可计算. 【小问1详解】 ； . 【小问2详解】 ， ， ， 所以. 16. 某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． （1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） （2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； （3）从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【小问1详解】 由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． 【小问2详解】 因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. 【小问3详解】 设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 17. 已知，，，设的内角，，所对的边分别为，， ，且. （1）若，，求的周长； （2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值； （3）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得 ，再应用余弦定理列方程求 ，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【小问1详解】 ， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以或，又，则，即， 综上，，故三角形的周长为； 【小问2详解】 由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． 【小问3详解】 由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 18. 已知内角 的对边为，点是的内心，若． （1）求角； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出 的关系，进而可得到与 的表达式，最后利用基本不等式的性质求出范围进而求出的范围. 【小问1详解】 因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. 【小问2详解】 如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以的周长为. 【小问3详解】 令三角形内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上，的取值范围为. 19. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将 沿翻折至 的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. （1）证明：平面 平面. （2）若线段 上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i），理由见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后 仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面 平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为 的中点，先证 ，算出 、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离 ，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离 ，通过计算即可求得结果. 【小问1详解】 证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以 ， 则，所以为等边三角形，翻折后 为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形 为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面 ，故平面 平面. 【小问2详解】 （ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与 ， 分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以 为的中位线，所以为 的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为 的中点. 由（1）可知，， ，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在 中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为 ， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $