精品解析： 北京市第十四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

北京十四中2024−2025学年度第二学期期中检测 初二数学测试卷 注意事项 1．本试卷共八页，共28道小题，满分100+10分，考试时间100分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用勾股定理的逆定理，判断三边能否构成直角三角形，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．通过计算较小两数的平方和，看其是否等于最大数的平方，若等于，则能构成直角三角形，否则这三条线段不能构成直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断． 【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误； B、，所以选项错误； C、，所以选项错误； D、，所以选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 5. 下列图像中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数定义判断所给出的图像是否是函数．函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图像观察就可以得出结论． 【详解】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图像． 故选：C． 6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AD=DE， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A.∵AB=BE，DE=AD， ∴BD⊥AE， ∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°， ∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意； D.∵CE⊥DE， ∴∠CED=90°， ∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 7. 若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据图象得出一次函数与坐标轴的交点是解题关键．根据一次函数与轴的交点为，即可得到不等式解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与轴的交点为， 则时，一次函数图象在轴上方， 关于x的不等式的解集为， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AC=4，进而求出AD，再根据勾股定理求出AB，可得BE，然后说明DE是△ABC的中位线，可求DE，即可得出DE是AB的垂直平分线，得出BD，即可得出答案． 【详解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2， ∴AC=2BC=4， 则， 即． ∵点D，E是AC，AB的中点， ∴AD=2，，DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴DE⊥AB， ∴DE是AB的垂直平分线， ∴BD=AD=2， ∴△BDE的周长=． 故选：B． 【点睛】这是一道关于三角形的综合题目，考查了中点的定义，直角三角形的性质，三角形中位线的定义和性质，线段垂直平分线的定义和性质等． 9. 如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，连接，若，，则正方形的边长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形三线合一定理，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解： ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长是， 故选：A 10. 如图，中，，两动点，同时从点出发，点在边上以速度匀速运动，到达点时停止运动；点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（ ） ①点的运动速度是；②的长度为；③的值为8；④当时，的值为或9． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】`本题主要考查函数图象问题，由点M的速度和路程可知，时，点M和点C重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图可得当时，点N和点A重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点B到点C，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； 由图可知，点N从B到A用时， ∴，故②正确； ∴，故③错误； 当点M未到点C时，过点N作于点E， 故 所以 ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F， 此时， ∴， ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式． 【详解】解：由题可知： 该车行驶时每1小时耗电20度， 电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）之间的函数关系式为： ， ∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． 13. 把直线向下平移6个单位得到的直线解析式为：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了函数图像的平移，解题的关键是掌握函数图象平移的规则． 根据函数图象平移的规则“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：直线向下平移6个单位，得到的直线的解析式为， 故答案为：． 14. 菱形的面积为，对角线的长为，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键． 由菱形面积公式和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：根据题意，作图，如下： ∵四边形是菱形，对角线的长为， ，，， ∴菱形的面积， 即， ， ， ， 故答案为：5． 15. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设水深尺，则芦苇的高度为尺，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇的高度为尺，由题意，得：， 解得：， 答：水深尺； 故答案为：． 16. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接，那么的长是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点并运用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理确定的长度，进而确定的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质确定E为中点，再根据中位线的性质求出的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴E为中点，． ∴， 又∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：1． 17. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的性质可知，根据已知可得，所以，先证明四边形是矩形，根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出，利用直角三角形的性质求出，再根据矩形的性质求出周长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； ∵四边形是菱形， ， ，点是的中点， ， 在中，， ， 即， ， ∵四边形是矩形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8道题，共56分，第19题9分，第20题4分，第21题5分，第22题5分，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题9分） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式后再合并即可； （2）原式先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可； （3）原式根据平方差公式 和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 20. 已知，求代数式的值． 【答案】5 【解析】 【分析】利用完全平方公式，将变式为，再代入数值解题． 【详解】解： 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握完全平方公式是解题关键． 21. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°， 求作：矩形ABCD， 作法：如图， ①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：∵OA＝OC，OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理的依据） ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据） 【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）证明：∵OA=OC，OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 22. 已知：如图，的对角线相交于点、、在直线AC上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求A，B两点的坐标； （2）画出函数的图象； （3）若点P为直线上一动点，的面积为6，则点P的坐标为________． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键． （1）分别令，求解即可； （2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可； （3）设点坐标为，根据的面积为6，可得，求出的值，进一步即可求出点坐标． 【小问1详解】 令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 如图： ； 【小问3详解】 设点坐标为， 的面积为6， ， 解得， 或， 点坐标为或． 故答案为：或． 24. 图，点E在的对角线的延长线上，于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）三线合一，证明，证明，推出，证明四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形 ∴． ∵ ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，且与y轴交于点D． （1）求点D的坐标； （2）直线与直线交于点C，与x轴交于点F，求的面积； （3）当时，对于x的每一个值，函数的值恒小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）6.75 （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线解析式，然后将代入求解即可； （2）首先求出，得到，然后联立求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）求出当时，，代入求出，然后结合图象求解即可． 【小问1详解】 将，代入得， 解得 ∴ 将代入得， ∴； 【小问2详解】 如图所示， ∵直线 ∴当时， 解得 ∴ ∵ ∴ 联立，解得 ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴当时， 将代入得， ∵直线经过点 ∴如图所示， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值恒小于函数的值 ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次不等式等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 26. 如图，正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，且，连接，． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接、、． ①依题意补全图形，并求的度数； ②若，用等式表示线段与数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①，图见解析； ②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，两边加上可得结论成立； （2）①先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，再求得的度数； ②先写出结论，再证明．先证明，再设，然后用分别表示出，，从而可得出结论成立． 【小问1详解】 证明：正方形， ，． ． ， ． ． ． 即． 【小问2详解】 ①补全图形如图： 如图，连接，． 正方形， ，． 点是中点， ． ，点是中点， ． ． ，， ． ． ． ②结论：． 证明：过点作于点， ， ． ， ． 设． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，，，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握上述知识并能熟练运用是解题关键． 附加题：（共2道题，共10分，第27题3分，第28题7分） 27. 先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ （1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果： （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： （3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）99． 【解析】 【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解； （2）利用前面三个等式的规律求解； （3）根据（2）中结论得到，然后再求出最大整数即可． 【详解】解：（1）猜想； （2）第n个式子为：； （3） = = = = =99． 【点睛】本题考查了二次根式性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，． （1）已知点， ①若，则（点，正方形　　； ②若（点，正方形，则　　． （2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围． （3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据图形和的“极大距离”的定义求解即可． ②分两种情形，利用勾股定理求解即可． （2）分两种情形：如图2中，当在轴的右侧时，如图3中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题． （3）当（线段，正方形取最小值，推出（线段，正方形的最小值（点，正方形，推出（点，正方形，当（点，正方形时，或，求出两种特殊位置的值，可得结论． 【小问1详解】 解：①如图1中，时，， （点，正方形． 故答案为：． ②（点，正方形，当点在轴的右侧时，， 解得或（舍弃）， 当点在轴的左侧时，， 解得或（舍弃）， 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【小问2详解】 解：如图2中，当在轴的右侧时， 若时，， 解得，或（舍弃）， 若时，， 解得，或（舍弃）， 观察图象可知，满足条件的的值为． 如图3中，当在轴的左侧时， 若，则有，， 解得，或4（舍弃）， 若时，， 解得，或7（舍弃）， 观察图象可知，满足条件的的值为． 综上所述，满足条件的的值为或． 【小问3详解】 解：如图4中， 当（线段，正方形取最小值， （线段，正方形的最小值（点，正方形， （点，正方形， 当（点，正方形时，或， 代入，得， 将代入，得， 观察图形可知，满足条件的的值为：或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形和的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十四中2024−2025学年度第二学期期中检测 初二数学测试卷 注意事项 1．本试卷共八页，共28道小题，满分100+10分，考试时间100分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A 2，3，4 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. ，， 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图像中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE 7. 若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，连接，若，，则正方形的边长是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动；点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（ ） ①点的运动速度是；②的长度为；③的值为8；④当时，的值为或9． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____． 13. 把直线向下平移6个单位得到直线解析式为：__________． 14. 菱形的面积为，对角线的长为，则的长为______． 15. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺． 16. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接，那么的长是 _____． 17. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形的周长为______． 18. 如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________． 三、解答题（共8道题，共56分，第19题9分，第20题4分，第21题5分，第22题5分，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题9分） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 已知，求代数式的值． 21. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°， 求作：矩形ABCD， 作法：如图， ①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：∵OA＝OC，OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理依据） ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据） 22. 已知：如图，的对角线相交于点、、在直线AC上，并且．求证：四边形是平行四边形． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求A，B两点的坐标； （2）画出函数的图象； （3）若点P为直线上一动点，的面积为6，则点P的坐标为________． 24. 图，点E在对角线的延长线上，于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，且与y轴交于点D． （1）求点D的坐标； （2）直线与直线交于点C，与x轴交于点F，求的面积； （3）当时，对于x的每一个值，函数的值恒小于函数的值，直接写出m的取值范围． 26. 如图，正方形中，点边上一点，点是延长线上一点，且，连接，． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接、、． ①依题意补全图形，并求的度数； ②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 附加题：（共2道题，共10分，第27题3分，第28题7分） 27. 先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ （1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果： （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： （3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，． （1）已知点， ①若，则（点，正方形　　； ②若（点，正方形，则　　． （2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围． （3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $