精品解析：2025年辽宁省朝阳市第四中学九年级四月中考模拟数学试题

2025年辽宁省中考对标数学模拟试卷（四月卷） 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由五个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查组合体的三视图．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看所得到的图形是 ． 故选：A． 2. 下列四个负数中，，，，，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ， ， 四个负数中，，，，，最大的负数是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值小的其值反而大． 3. 年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，即可求解． 【详解】解：38.4万用科学记数法表示为． 故答案为：B 4. 如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A. 140° B. 180° C. 215° D. 220° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多边形内角和定理以及多边形外角的性质分析得出答案． 【详解】解：五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°， ∵∠A+∠B=215°， ∴∠AED+∠EDC+∠BCD=540°-215°=325°， 又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3=180°×3=540°， ∴∠1+∠2+∠3=540°-325°=215°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角以及多边形的内角和，熟记多边形内角和公式及多边形的外角和是360°是解题关键． 5. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则．由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的公式求解即可． 【详解】解：∵从五张卡片中随机抽取一张，有5种等可能的结果，其正面的数字是奇数的结果有1、3、5共3种， ∴正面的数字是奇数的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了用概率公式求概率，找出所有等可能的结果和正面的数字是奇数的结果是解题的关键． 7. 下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 8. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“每人出五元，还差九十元；每人出五十元，刚好够”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵每人出五元，还差九十元， ∴； ∵每人出五十元，刚好够， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、EF、BF，则图中平行四边形共有(　　) A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴AE＝BE＝DF＝FC， ∴四边形ADFE是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形， ∴共有4个． 故选：B． 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA、OB的长，再利用勾股定理即可求出AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，OE=DE，再根据直角三角形的面积可求出OE的长，进而可求出OD的长. 【详解】解：∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴点A（3,0）、点B（0,4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=， ∵四边形OADC是菱形, ∴OE⊥AB，OE=DE， 由直角三角形的面积得， 即3×4=5×OE. 解得：OE=2.4， ∴OD=2OE=4.8. 故选B. 【点睛】本题考查了菱形的性质和一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，题目设计新颖，解题的关键是把求OD的长转化为求直角△AOB斜边上的高OE的长的2倍. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程．根据去分母，化成整式方程，再检验即可求解． 【详解】解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据左右平移横坐标相减加，上下平移纵坐标相加减进行求解即可． 【详解】解：由题知，将点向右平移3个单位长度， 得到的点的坐标为， 再向下平移2个单位长度， 得到的点的坐标为． 故答案为：． 13. 已知抛物线与轴交于点和点，则的值是_______. 【答案】4 【解析】 【分析】将已知抛物线解析式转化为一般式；然后由对称轴方程求得该抛物线的对称轴是直线；最后由抛物线的轴对称性质求得答案． 【详解】解：由知：． 则其对称轴为直线． 所以，点和点关于直线对称． 所以，． 解得． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．此题也可以利用待定系数法确定函数解析式，然后利用抛物线解析式与一元二次方程的关键求解． 14. 如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为________m（精确到0.1m，参考数据 ≈1.73） 【答案】17.1 【解析】 【分析】根据题意：过点D作DE⊥AB，交AB与E；可得Rt△ADE，解之可得AE的大小；进而根据AB=BE+AE可得旗杆AB的高． 【详解】过点D作DE⊥AB,垂足为E. 在直角△ADE中,有 那么旗杆AB的高为 故答案为：17.1 【点睛】考查解直角三角形—仰角俯角问题，关键是构造直角三角形，结合三角函数解三角形即可. 15. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中水果质量损失，假设不计超市其他费用． （1）如果超市在进价的基础上提高作为售价，请你通过计算说明，在这一次销售中，该超市是盈利还是亏本； （2）如果超市至少要获得的利润，那么这种水果的售价最低应提高百分之几?（结果精确到） 【答案】（1）超市要亏本， 理由如下： 设超市购进水果千克，每千克元， 由题意得：， ∴超市要亏本； （2）． 【解析】 【分析】（）设超市购进水果千克，每千克元，求出总进价和总售价，让总售价和总进价比较即可； （）根据关系式：售价进价进行计算即可； 本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设超市购进水果千克，每千克元，这种水果的售价在进价的基础上应提高，则售价为每千克元， 由题意得， 解得， ∴这种水果的售价最低应提高． 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【答案】（1）20，4 （2） （3）估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占， ∴进行冬奥会知识测试学生数为（人）， ∴， 解得， 故答案为：20，4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为， A、B、C、D四组的频率之和为， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：三组占， 共有人 七年级E：，F：两组人数为人， 两年级共有人 占样本 ∴（人）， 估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 19. 一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？ 种玫瑰花 种玫瑰花 进价（元） 售价（元） 【答案】（1） （2）搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为，依题意得，， ，然后根据一次函数的图象与性质，求解作答即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为， 依题意得，， 解得，， ， ∵， ∴当时，利润最大， ∴， ∴搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大． 20. 如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． （1）如图1，求证：是⊙的切线； （2）如图2，若M为的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 中，． 又， ． ， ． ． ， ， ， ． 即：． 为的切线； （2）的长13． 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，，进而可得，则问题可求证； （2）连接，由题意可先证，则有，设，则，然后可根据勾股定理建立方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ． 又， ． ， ． ． ，为的直径． ． ． 设， 则． ． ， 即：， ． ． 在中， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点C在第一象限，且轴，． （1）求点C的坐标； （2）点D在线段上，．点E的坐标为，在直线的右侧作，射线与直线相交于点F，设．当且时，求m关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）作轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得和的长，可求得C点坐标； （2）①当点E在线段上时，连接，利用条件可证得，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段的延长线上时，同样可证得，可得到m与n之间的关系． 【小问1详解】 解：作轴于点M，如图1， 则， ∴， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当点E在线段上时，即当时，如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当点E在线段的延长线上时，即时，连接，如图3， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 综上可知m与n的函数关系式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及矩形、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中构造等腰直角三角形是解题的关键，在（2）中证得三角形相似是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 22. 综合与实践 平行四边形是重要的几何图形，包括矩形、菱形、正方形，这些几何图形有共性，也有特性．数学课上，数学老师以正方形为基本图形，从折叠变换的角度开展数学活动． 【操作判断】同学们积极参与操作，其中小刚同学进行了如下操作，并进行了展示，如图1： 第1步：分别取、的中点E、F，连结，将正方形纸片沿折叠，这样点A与点B重合，点C与点D重合，然后展开铺平； 第2步：连结，再将沿翻折得到； 第3步：延长，的延长线与交于点H． 【探究发现】（1）同学们对小刚同学折叠后得到的图形进行了研究，通过测量猜测，得到了两个重要的结论． ①填空：的度数是__________； ②； 请帮助同学们验证②结论的正确性． 【深入研究】（2）因为（1）中②，所以我们把像点H这样把一条线段分成两段的点叫做这条线段的一个“三等分点”．数学老师为了让同学们对“三等分点”有更深层次的理解，出示如下试题：如图2，菱形，，，在对角线上取一个三等分点E，连结，以为对称轴，作点D的对称点，作射线，交菱形的边于点F，求的长． 【答案】（1）①； ②设正方形的边长为， ∴， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴； （2）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质结合菱形的性质求得，再证明，求得，据此求解即可； ②设正方形的边长为，则，设，则，，，在中，由勾股定理列式求得，据此计算即可得证； （2）由菱形的性质结合轴对称的性质知，，，分两种情况，当时，证明，设，，利用相似三角形的性质求得，再证明，利用相似三角形的性质结合图形可求解；当时，同理求得，解得，得到； 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵点D关于的对称点为， ∴， ∴，，， ∵，点E是上的一个三等分点， ∴或， 分两种情况，当时，，，如图， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，，，如图， 同理，可证， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】（1）填空：的顶点坐标为__________，的顶点坐标为__________． 【知识应用】（2）求的互利函数解析式； （3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设的顶点为M． 若，，求证：这两个函数的图象的交点为，； 【拓展延伸】（4）已知二次函数的互利函数与轴交于点，与轴交于点，．点在点的右侧，直线经过点，点关于的对称点恰好在线段上，直线与抛物线交于另一点． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，点是互利函数在第一象限内的抛物线上一点，始终有，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）证明：∵，， ∴ 设的顶点为M． ∴， ∴的互利函数 ∴， ∵二次函数经过 ∴ 解得： ∴， ∴ 当时， ∴经过 ∴这两个函数的图象的交点为，； （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据顶点式直接写出顶点的坐标，即可求解； （2）根据定义，直接写出互利函数解析式，即可求解； （3）根据定义分别得出，，根据二次函数经过，得，则，，进而验证经过点，即可求解； （4）①根据定义得出，进而求得的坐标，证明是直角三角形，且，根据题意，得出是的中点，求得，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； ②先求得直线的解析式为，直线的解析式为，根据平行线间的距离相等可得，当点是互利函数在第一象限内的抛物线上一点，始终有，此时，进而求得临界点，即可求解． 【详解】解：（1）的顶点坐标为，的顶点坐标为， 故答案为：，；． （2）解： ∴互利函数解析式为； （3）略 （4）的互利函数为 当时， 解得： ∴， 当时，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∵直线经过点，点关于的对称点恰好在线段上， ∴直线是的角平分线， ∴ ∴是的中点， ∵， ∴ 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ ②设直线的解析式为 代入， 解得： ∴直线的解析式为 设直线的解析式为 代入， 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，过点作，连接，设与交于点， 联立， 解得：， 则 当在直线上方时，总有， 如图当在下方时，存在， 当在直线的下方时，不一定存在， ∴横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，新定义，理解新定义其实就是中心对称，还考查了勾股定理，对称的性质，一次函数综合问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省中考对标数学模拟试卷（四月卷） 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由五个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个负数中，，，，，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 3. 年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A. 140° B. 180° C. 215° D. 220° 5. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、EF、BF，则图中平行四边形共有(　　) A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 12. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 _______． 13. 已知抛物线与轴交于点和点，则的值是_______. 14. 如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为________m（精确到0.1m，参考数据 ≈1.73） 15. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中水果质量损失，假设不计超市其他费用． （1）如果超市在进价的基础上提高作为售价，请你通过计算说明，在这一次销售中，该超市是盈利还是亏本； （2）如果超市至少要获得的利润，那么这种水果的售价最低应提高百分之几?（结果精确到） 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 19. 一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？ 种玫瑰花 种玫瑰花 进价（元） 售价（元） 20. 如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． （1）如图1，求证：是⊙的切线； （2）如图2，若M为的中点，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点C在第一象限，且轴，． （1）求点C的坐标； （2）点D在线段上，．点E的坐标为，在直线的右侧作，射线与直线相交于点F，设．当且时，求m关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围． 22. 综合与实践 平行四边形是重要的几何图形，包括矩形、菱形、正方形，这些几何图形有共性，也有特性．数学课上，数学老师以正方形为基本图形，从折叠变换的角度开展数学活动． 【操作判断】同学们积极参与操作，其中小刚同学进行了如下操作，并进行了展示，如图1： 第1步：分别取、的中点E、F，连结，将正方形纸片沿折叠，这样点A与点B重合，点C与点D重合，然后展开铺平； 第2步：连结，再将沿翻折得到； 第3步：延长，的延长线与交于点H． 【探究发现】（1）同学们对小刚同学折叠后得到的图形进行了研究，通过测量猜测，得到了两个重要的结论． ①填空：的度数是__________； ②； 请帮助同学们验证②结论的正确性． 【深入研究】（2）因为（1）中②，所以我们把像点H这样把一条线段分成两段的点叫做这条线段的一个“三等分点”．数学老师为了让同学们对“三等分点”有更深层次的理解，出示如下试题：如图2，菱形，，，在对角线上取一个三等分点E，连结，以为对称轴，作点D的对称点，作射线，交菱形的边于点F，求的长． 23. 数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】（1）填空：的顶点坐标为__________，的顶点坐标为__________． 【知识应用】（2）求的互利函数解析式； （3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设的顶点为M． 若，，求证：这两个函数的图象的交点为，； 【拓展延伸】（4）已知二次函数的互利函数与轴交于点，与轴交于点，．点在点的右侧，直线经过点，点关于的对称点恰好在线段上，直线与抛物线交于另一点． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，点是互利函数在第一象限内的抛物线上一点，始终有，直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $