山东省九五高中协作体2025届高三下学期质量检测数学试题

数学试题答案 第 1页（共 6 页） 高三教学质量检测考试 数学试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答只给出一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容参照评分标准酌情赋分． 二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B C C C D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 答案 AD BC ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12． 2 4 3 ；13．12；14． 1 3 ． 四、解答题：共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】 （1）因为 底面 ABCD为矩形，所以CD AD ， 又因为 PA CD ， PA AD A ， 所以CD 平面 PAD，····································································· 3 分 因为CD 平面 ABCD， 所以平面 PAD 平面 ABCD；····························································· 5 分 九 五 联 考 九 五 联 考 九 五 联 考 数学试题答案 第 2页（共 6 页） （2）取 AD中点为O，连接OP，因为 PAD△ 为等边三角形，所以OP AD ， 因为平面 PAD 平面 ABCD，所以OP 平面 ABCD； 如图，分别以OA OP， 为 x z，轴建立空间直角坐标系，······························7 分 则 1 1 3( 2 0) ( 2 0) (0 0 ) 2 2 2 B C P，， ， ，， ， ，， ， 所以 1 3( 1 0 0) ( 2 ) 2 2 BC BP       ，， ， ， ， ； 设平面 PBC的法向量为 ( )x y z ， ，n ， 则 0 0 BC BC         n n ，即 0 1 32 0 2 2 x x y z         ， 取 4z  ，则 (0 3 4) ， ，n ；······························································ 10 分 又平面 PAD的法向量为 (0 1 0) ，，m ；·················································11 分 设平面 PAD与平面 PBC夹角为 ，则 3 57cos | || | 1919    m n m n ， 所以平面 PAD与平面 PBC 夹角的余弦值为 57 19 ．································· 13 分 16．【解析】 （1）函数 ( )f x 的定义域为 ( )  ， ， 1( ) ( ) e ex x xf x ax x a     ，································································1 分 若 0a ， 1 0 ex a   恒成立， 所以 ( )f x 在 ( 0)， 上单调递增，在 (0 ) ， 上单调递减；························ 3 分 若 0a  ，令 ( ) 0f x  ， 0x  或 lnx a  ； 当 0 1a  时， ( )f x 在 ( 0)， 上单调递增， 在 (0 ln )a， 上单调递减，在 ( ln )a  ， 上单调递增；····························· 4 分 当 1a  时， ( ) 0f x ≥ 恒成立， ( )f x 在 ( )  ， 上单调递增；···················5 分 当 1a  时， ( )f x 在 ( ln )a ， 上单调递增， 在 ( ln 0)a ， 上单调递减，在 (0 ) ， 上单调递增；···································6 分 （2）若 0 1a  ，当 ( 1 )x   ， ， ( ) 0f x  恒成立， 当 ( 1)x  ， 时， ( )f x 单调递增， 不可能有两个零点；·········································································· 9 分 九 五 联 考 九 五 联 考 九 五 联 考 数学试题答案 第 3页（共 6 页） 若 1a  ，因为 ( )f x 在 ( ln )a ， 上单调递增， 在 ( ln 0)a ， 上单调递减，在 (0 ) ， 上单调递增； 所以 ( )f x 的极小值 (0) 1 0f a   ， 故不可能有两个零点；······································································12 分 若 0a  ， ( )f x 在 ( 0)， 上单调递增，在 (0 ) ， 上单调递减； 因为 ( )f x 有两个零点，则必有 (0) 1 0f a   ，即 1 0a   ； 此时，当 x时， ( )f x ；当 x时， ( )f x ； 故 ( )f x 有两个零点，符合题意， 综上 1 0a   ．············································································ 15 分 17．【解析】 （1）第四场结束恰好分出胜负对应的事件为 1 :A {甲赢第 1、3、4 局，乙赢第 2 局}， 2 :A {甲赢第 2、3、4 局，乙赢第 1 局}， 3 :A {乙赢第 1、3、4 局，甲赢第 2 局}， 2 :A {乙赢第 2、3、4 局，甲赢第 1 局}， 对应概率： 4 3 3 1 2 3 15( ) 2 (1 ) 2(1 ) 64 P A A p p p pA A        ；···················6 分 （2）设事件 :A {甲最终获胜}，事件 :B {甲乙在前两局结束后得分相同}． 记使用方案一、二时甲胜出的概率分别为 1 2( ) ( )P A P A， ． 对于方案一，根据条件概率公式： 2 2( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) 2 (1 ) ( | )P A P AB P AB p P A B P B p p p P A B        ， 因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲、乙各胜出一局达到同分的条件下， 甲从第三局开始出现优先超过乙两分的概率恰为 ( )P A ，即 ( | ) ( )P A B P A ， 故 2( ) 2 (1 ) ( )P A p p p P A   ， 从而 2 1 2( ) 2 2 1 pP A p p    ．·································································· 9 分 对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即每 局胜者按照“甲乙甲乙…甲乙甲甲”或“乙甲乙甲…乙甲甲”的规律． 从而甲获胜的概率 九 五 联 考 九 五 联 考 九 五 联 考 数学试题答案 第 4页（共 6 页） 1 2 3 2 0 2 2 2( ) (1 ) (1 ) 1 n n n n n n p pP A p p p p p p p p              ，·····························12 分 显然 2 ( ) 0P A  ，令 1 2 ( ) 1 ( ) P A P A  ，有 2 1( )( 1) 0 2 p p   ，即 1 2 p  ． 故我们有 1 2( ) ( )P A P A ，应选择方案二．·············································· 15 分 18．【解析】 （1）由题意可知 52 3 3 2 2 p     ，所以 1p  ． 所以抛物线 E的标准方程为： 2 2x y ．··············································· 4 分 （2）设      0 0 1 1 2 2, ,P x y B x y D x y， ， ， （i）由题意， PB中点 A在抛物线 E上，即 2 0 1 0 12 2 2 x x y y        ， 又 21 12x y ，将 2 1 1 2 xy  代入， 得： 2 2 1 0 1 0 02 4 0x x x y x    ，·························································· 6 分 同理： 2 2 2 0 2 0 02 4 0x x x y x    ， 有 1 2 0 2 1 2 0 0 2 4 x x x x x y x      ， 此时M 点横坐标为 1 2 02 x x x  ，························································8 分 所以直线 PM x 轴；········································································ 9 分 （ⅱ）因为   2 22 2 1 2 1 2 0 01 2 1 2 2 3 4 2 4 4 2 x x x x x yy y x x        ， 所以点 2 0 0 0 3 4 2 x yM x       ， ，·····························································11 分 此时 1 2 1 2 S PM x x   ， 2 20 0 0 0 0 3 4 3 2 2 2 x yPM y x y    ，    2 21 2 1 2 1 2 0 04 8 2x x x x x x x y      ， 九 五 联 考 九 五 联 考 九 五 联 考 数学试题答案 第 5页（共 6 页） 所以  320 03 2 22S x y   ，·························································· 14 分 又因为点 P在圆Q上，有  2 20 02 3y x   ，即 2 20 0 04 1x y y    ， 代入上式可得：     33 22 0 0 0 3 2 3 26 1 3 8 2 2 S y y y            ， 由 02 3 2 3y     ， 所以 0 3y   时， S取到最大值 3 3 2 8 48 2   ． 所以 S的最大值为 48． ····································································17 分 19．【解析】 （1）对任意元素 CAx △ ，因为 x恰属于集合 CA, 之一，不妨设 Ax 且 Cx . 若 Bx ，则 CBx △ ；若 Bx ，则 BAx △ ． 故 )()( CBBAx △△  ．································································· 2 分 从而  CBBACA  )( ． 因此 CBBACA △△△  ，结论成立．··········································· 4 分 （ 2 ）首先当 nl  时，显然该集合元素个数为 0 .·········································· 5 分 下面考虑 nl  的情形：对任意一个 nS 的 l元子集T ，我们有： },,|{},,|{ TxMxMxTxxXXxMxMxXxxTTMX  或或△ MTX △ ，即每个T 恰唯一对应一个 X 属于该集合．·····················8 分 故该集合的元素个数为 l nC ． 综上所述，该集合元素个数为 0 l nC l n l n     ， ， ．············································· 9 分 （3）对每个  mii 1 ，考虑集合 },|{ kXYSYYY ini  △ ． 若集合 ji YYY  ，则 kXYXY ji △△ , ，故由（1）知： 122  kkkkXYYXXX jiji △△△ ，矛盾！ 故集合 mYYY ,...,, 21 两两不交．···························································· 13 分 九 五 联 考 九 五 联 考 九 五 联 考 数学试题答案 第 6页（共 6 页） 结合（ 2 ）知： kn k n k n k j j ni CCCCY 1 1 0     ． 因此 1 1 { | } 2 m k n n i n i mC Y X X S      ， 结论成立．····················································································· 17 分 九 五 联 考 九 五 联 考 九 五 联 考 ■ ■ ◆ ■ 始使女后用件质用党学箭 白性门的活红区地网上图口售胆中器不智 九五高中协作体（山东）2025离三联考 四、解苦题共77分，朝答应写出文字进明，正明过程或演草步泽。 16.(15分) 数学答颗 15.413分) ............1 贴聚形帮区 座丹 生号 来生前销 绿州标记一 度科制上长当作业框号。象快中作的作：不所售础值 烟择足答逆区成调8学邦融 84A1T4月日t 241[1时 方4a日行11n 10tAJ15阳对 ASAT TO2 TO1 T01 三、填竖显{每小题5分，其15分】 13 14. 此区域禁止答题 年务明的口收网月下若，山勇元的等海人有 奶卷。家口喷河么米内号，聘山同山心案光道 ■ ■ ◆ ■ ■ ◆ 17.（15分) 1a.(17分) 19.(17分) 铭行各和口的吉平区社有作有，出的希家光领 供在子例口修裕的江洁钢信花模但纵的落宝元和 ■ ■ ■ ■ ■保密★启用并使用完毕前 九五高中协作体.山东 2025高三年级质量检测（九五联考) 数 学 命题及审核：北京时代凤凰教育研究院 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知z+=4,z-三=2i,则复数z在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={x|x-x2>0},集合B={xx>0},则 A.A∩B=A B.AUB=A C.CRAcB D.AnB=☑ 3.已知实数x,y满足1og21og3x)=log3(log2y)=1,则x+y= A.11 B.12 C.16 D.17 4.将函数fx)=$i(2x+)的图象向左平移个单位长度得到g)的图象.若g的图象 关于y轴对称，则|p的最小值为 A是 B君 c D. 5.已知{a}为正项等差数列，若4a-4,=8,则44的最大值为 A.4 B.6 C.8 D.10 6。已知连续型随机变量5-N0,子，为使随机变量5在（之的概率不小于0.9545 (若X~N(4,σ2)，则P(X-4k2o)=0.9545),则实数a的最小值为 A.8 B.16 C.32 D.64 7.已知sina=2cosB,sinB=3cosa,若向量m=(tana+tanB,tan(a+)与向量 n=1,)互相垂直，则入= A.-32 B.32 C.5 D. 9 9 3 8.已奥，片分别为双曲线号卡=a>0,6>0的左右焦点，P为双曲线左支上一点 满足∠RPR=骨PR与双曲线右支交于点2，若∠RQ=行， 则双曲线的离心率为 A.5 B.5 C.√6 D.万 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.给定一组不全相同的样本数据x,2,…,x。,则关于样本数据2x1一1,2x2一1，，2x。-1的 说法正确的是 A.与原数据相比，极差一定变大 B.与原数据相比，众数一定变大 C.与原数据相比，平均数一定变大 D.与原数据相比，方差一定变大 10.已知函数f(x)=x3-3x-2,则 A.f(x)有3个零点 B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有一条 C.y=f(x)与y=ar-2交点的横坐标之和为0 D.f(x)在区间(-2,2)上的值域为(-4,0) 11.三棱锥A-BCD中，AD=2N3,AB=BC=CD=2,AB⊥BC,BC⊥CD,则 A.三校能A仁BCD的体积为等 B.三棱锥A-BCD外接球的表面积为3π C.过BC中点E的平面截三棱锥A-BCD外接球所得最小截面的半径为1 D.PeAC,Q∈BD,则PQ的最小值为2 3 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知不等式3x2+(a-2)x+4≥0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，则实数a的最小值为 3.已知R,R分别为椭圆C5+ +京=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C的离心率y5 过E与椭圆长轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点，PE与y轴交于M点， 1OM=2N3,则△PQE的周长为 14.己知正整数n,欧拉函数p()表示1,2，…，n中与n互素的整数的个数.例如，p(4)=2, p10)=4.若从1,2，·，30中随机取一个数m,则满足p(2m)=p(3m)的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=1,AB=2,△PAD为等边三 角形，PA⊥CD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值， 16.(本小题满分15分) 已知函数f0倒-中+r2+a, (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1-p, 各局比赛的结果相互独立.为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择： 方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜。 方案二；首次连胜两局比赛的一方获胜 (1)若p=075,且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率。 (2)若0<p<0.5,为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由， 附：当0<p<1时，1+g+9+户9 数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知抛物线E:x2=2y(p>0)的焦点为F,P为圆Q:x2+y+2)2=3上的动点，且 PF1的最大值为、5+号 (1)求抛物线E的方程： (2)过点P的两条直线分别交E于A,B和C,D两点，且A,C分别是线段PB,PD的 中点，设线段BD的中点为M. (i)证明：直线PM⊥x轴： (i)求△PBD面积的最大值， 19.(本小题满分17分) 对集合A,B,定义集合A△B={xx∈A,xEB或x∈B,xEA},记X为有限集 合X的元素个数， 以下给定正整数n24,并记集合Sn={1,2,…,n}. (1)设A,B,C为有限集合，证明：A△C≤A△B+B△C: (2)给定自然数1和Sn的子集M,求集合{X|XcSX△M=的元素个数： 3)设无（其中k<分）为正整数，S,的子集X,名，，X,满足：151<j≤m, 均有X,△X≥2k+1.证明：mC1≤2”. 数学试题第4页（共4页）