四川省川南地区名校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年四川省川南地区名校高一（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数z＝1+2i，则（　　） A．i B．i C．i D．i 2．（5分）已知（3，2），（0，1），则|43|＝（　　） A． B．13 C．14 D． 3．（5分）若复数（m2﹣4m+3）+（m﹣3）i是纯虚数，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或3 D．1或﹣3 4．（5分）下列等式恒成立的是（　　） A．cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ B．cos2α＝1+cos2α C．sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ D．cos2α＝2sin2α﹣1 5．（5分）等边三角形ABC的边长为2，，，，则•••（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 6．（5分）计算cos43°sin73°+sin223°cos287°＝（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知，，则cos（2α﹣2β）＝（　　） A． B． C． D． 8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，点P在四边形BCDE内部（包含边界），若，则x+y的取值范围为（　　） A．[1，3] B． C．[1，2] D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）在△ABC中，下列判断正确的是（　　） A．sin（A+B）+sinC＝0一定成立 B．若函数是奇函数，则 C．若tanA＝2，则 D．若，则 （多选）10．（6分）已知（1，1），（x，1），则下列说法正确的是（　　） A．若||＝||，则x＝1 B．2的模的最小值为1 C．若||＝||，则与的夹角为 D．若与的夹角为锐角，则x的取值集合为{x|x＞﹣1} （多选）11．（6分）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）函数y＝tan（x）的定义域为　 　 ． 13．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，c＝2，则C＝　 　 ． 14．（5分）在平面四边形ABCD中，，，，，，，，则的取值范围为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）求函数f（x）的对称中心坐标． 16．（15分）已知||＝1，||＝2，与的夹角为． （1）求2与的夹角； （2）用表示2在方向上的投影向量． 17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A的值； （2）若a＝1，且△ABC的面积为，判断△ABC的形状并说明理由． 18．（17分）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点P与地面的距离为H（单位：m），若以点P离地面最近时开始计算时间，则H与时间t（单位：s）之间的关系式为． （1）求点P转动的频率f； （2）若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益； （3）在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点P1，P2距离地面的高度差h（单位：m）关于时间t的函数解析式，并求高度差h的最大值． 19．（17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）将f（x）的图象向左平移个单位，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象，若函数h（x）＝g（x）+a（a∈R）在区间上恰有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，，使得f（x4）≤h（x5）成立，求实数a的取值范围． 2024-2025学年四川省川南地区名校高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C B A D B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BCD BC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数z＝1+2i，则（　　） A．i B．i C．i D．i 【分析】利用分子分母分别乘以分母的共轭复数将分母实数化解答． 【解答】解：∵z＝1+2i， i； 故选：C． 2．（5分）已知（3，2），（0，1），则|43|＝（　　） A． B．13 C．14 D． 【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的模． 【解答】解：已知（3，2），（0，1），则， 故． 故选：B． 3．（5分）若复数（m2﹣4m+3）+（m﹣3）i是纯虚数，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或3 D．1或﹣3 【分析】由已知条件可得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案． 【解答】解：由复数（m2﹣4m+3）+（m﹣3）i是纯虚数，得，即m＝1． 则实数m的值为1． 故选：A． 4．（5分）下列等式恒成立的是（　　） A．cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ B．cos2α＝1+cos2α C．sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ D．cos2α＝2sin2α﹣1 【分析】直接利用三角函数关系式的变换求出结果． 【解答】解：对于A：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，故C正确； 对于D：cos2α＝1﹣2sin2α，故D错误． 故选：C． 5．（5分）等边三角形ABC的边长为2，，，，则•••（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】可画出图形，根据条件进行数量积的运算即可求出数量积的值，从而选出正确选项． 【解答】解：如图， ＝﹣4﹣2 ＝﹣6． 故选：B． 6．（5分）计算cos43°sin73°+sin223°cos287°＝（　　） A． B． C． D． 【分析】结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：cos43°sin73°+sin223°cos287°＝cos43°sin73°﹣sin43°cos73° ＝sin（73°﹣43°）＝sin30°． 故选：A． 7．（5分）已知，，则cos（2α﹣2β）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ求出cosαcosβ和cos（α﹣β），利用二倍角公式求出cos（2α﹣2β）． 【解答】解：因为cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， 所以cosαcosβsinαsinβ， 所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ， 所以cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝21． 故选：D． 8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，点P在四边形BCDE内部（包含边界），若，则x+y的取值范围为（　　） A．[1，3] B． C．[1，2] D． 【分析】由题意知，当点P在线段BE上且与点E重合时，x+y有最小值，根据三点共线，可得到x+y的函数表达式并求出最小值，当点P与点C重合时，x+y有最大值，根据向量加法的平行四边形法则，可求出x+y的最大值． 【解答】解：当点P在线段BE上时，存在λ∈[0，1]使得λ（1﹣λ）， 因为，所以， 此时x+y＝2λ，当λ＝0时，x+y有最小值，此时点P与点E重合， 当点P与点C重合时，，此时，x+y有最大值3， 故x+y的取值范围为[，3]． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）在△ABC中，下列判断正确的是（　　） A．sin（A+B）+sinC＝0一定成立 B．若函数是奇函数，则 C．若tanA＝2，则 D．若，则 【分析】根据三角形内角和定理与两角和与差的三角函数公式，进行化简求值，即可判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：对于A，△ABC中，A+B＝π﹣C，所以sin（A+B）+sinC＝2sinC≠0，选项A错误； 对于B，若函数f（x）＝cos（2xA）是奇函数，则Akπ，k∈Z，解得Akπ， k＝﹣1时，A，满足题意，选项B正确； 对于C，tanA＝2，则cos2A+sin2A＝cos2A﹣sin2A+2sinAcosA，选项C正确； 对于D，因为cos（A）， 所以sin（A）＝cos（A）＝﹣cos（Aπ）＝﹣cos（A），选项D正确．故选：BCD． （多选）10．（6分）已知（1，1），（x，1），则下列说法正确的是（　　） A．若||＝||，则x＝1 B．2的模的最小值为1 C．若||＝||，则与的夹角为 D．若与的夹角为锐角，则x的取值集合为{x|x＞﹣1} 【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算及平面向量夹角的运算求解即可． 【解答】解：已知（1，1），（x，1）， 对于A，若||＝||， 即x2+1＝2， 则x＝±1， 即A错误； 对于B，1，当且仅当x＝2时取等号， 即2的模的最小值为1， 即B正确； 对于C，若||＝||， 则， 即x＝﹣1， 则， 则， 则与的夹角为， 即C正确； 对于D，若与的夹角为锐角， 则， 则x的取值集合为{x|x＞﹣1且x≠1}， 即D错误． 故选：BC． （多选）11．（6分）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】选项A，利用两角差的正切公式，求解即可； 选项B，利用二倍角的正弦公式求解即可； 选项C，利用和差化积求解即可； 对于D，根据三角恒等变换化简即可． 【解答】解：对于A，tan30°，选项A正确； 对于B，cos20°cos40°cos80° ，选项B正确； 对于C，2，选项C错误； 对于D，sin40°（tan10°） 2，选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）函数y＝tan（x）的定义域为　{x|x≠kπ，k∈z}　 ． 【分析】由函数的解析式可得 xkπ，k∈z，解得 x≠kπ，由此求得函数的定义域． 【解答】解：由函数的解析式可得 xkπ，k∈z，解得 x≠kπ， 故函数的定义域为 {x|x≠kπ，k∈z}， 故答案为 {x|x≠kπ，k∈z}． 13．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，c＝2，则C＝　或　 ． 【分析】由正弦定理可求得sinC，再由大边对大角即可求得． 【解答】解：因为，，c＝2， 所以由正弦定理得：， 所以， 因为b＜c，所以， 所以或． 故答案为：或． 14．（5分）在平面四边形ABCD中，，，，，，，，则的取值范围为　　 ． 【分析】由平面向量数量积的运算，结合辅助角公式及三角函数值域的求法求解即可． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则B（0，0），A（4，0），C（0，2），D（2，2）， 设M（0，a），N（b，2），其中a，b∈[0，2]， 又， 则（a﹣2）2+b2＝4， 又2a﹣4b+16， 不妨设a＝2+2cosθ，b＝2sinθ，其中， 则2a﹣4b+16＝4cosθ﹣8sinθ+20，其中，， 则cos， 则， 则2a﹣4b+16∈． 即的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）求函数f（x）的对称中心坐标． 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵， 由，k∈Z， ∴，k∈Z， ∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z； （2）∵，k∈Z， ∴， ∴f（x）的对称中心坐标为，k∈Z． 16．（15分）已知||＝1，||＝2，与的夹角为． （1）求2与的夹角； （2）用表示2在方向上的投影向量． 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义与运算性质求出•（）与||，然后运用向量的夹角公式加以计算，可得答案； （2）运用投影向量的定义，结合（1）的结论求出2在方向上的投影向量． 【解答】解：（1）根据题意，可得•||•||cos1×21． •（）＝2||2•2+1＝3，||． 所以2与的夹角θ满足cosθ，结合θ∈[0，π]，可知θ． （2）由投影向量的定义，可知2在方向上的投影向量为3． 17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A的值； （2）若a＝1，且△ABC的面积为，判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解A； （2）结合三角形面积公式及余弦定理即可求解． 【解答】解：（1）由题意，， 由正弦定理得，， ∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， ∴， ∴， 又∵0＜C＜π，∴sinC＞0，∴，即， 又∵0＜A＜π，∴， （2）由（1）知，，又由题意， ∴bc＝1， 又∵， ∴b2+c2＝2， ∴b2+c2﹣2bc＝（b﹣c）2＝0， ∴b＝c＝1， 又∵， ∴△ABC为等边三角形． 18．（17分）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点P与地面的距离为H（单位：m），若以点P离地面最近时开始计算时间，则H与时间t（单位：s）之间的关系式为． （1）求点P转动的频率f； （2）若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益； （3）在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点P1，P2距离地面的高度差h（单位：m）关于时间t的函数解析式，并求高度差h的最大值． 【分析】（1）结合已知周期进而求解频率． （2）结合第一问所求频率求解收益． （3）结合已知和三角函数的性质求解标准方程即可． 【解答】解：（1）由题意，H的周期， ∴频率． （2）由（1）知频率，故1秒钟叶片转动圈， ∴1秒钟可获电量0.5度，收益为0.3元， ∴1小时的收益为3600×0.3＝1080元； （3）由题意， ， 利用， 可得： ， 高度差h关于时间t的函数解析式为，且h的最大值为． 19．（17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）将f（x）的图象向左平移个单位，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象，若函数h（x）＝g（x）+a（a∈R）在区间上恰有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，，使得f（x4）≤h（x5）成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由题意可得T＝π，从而得ω＝2，代入（，0），可得，再代入，可得A＝2，即得f（x）的解析式； （2）由三角函数的变换可得g（x）＝2cosx，作出g（x）的图象，可得，x1+x2＝2π，，即可得答案； （3）由题意可得f（x4）max≤h（x5）max成立，根据三角函数的性质，求出两函数的最值，代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意，f（x）的周期， 所以ω＝2， 当时，f（x）＝0， 所以，，k∈Z， 又因为， 所以， 又由图知f（x）过点， 所以， 解得A＝2， 故f（x）的解析式为； （2）由题意：图象向左平移个单位， 得y＝2sin[2（x）]＝2cos2x， 将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象， 所以g（x）＝2cosx， 由题意知，g（x）＝2cosx与y＝﹣a在区间上有三个交点， 作出g（x）＝2cosx在区间上的图象为： 由图象可知，当， 即时，满足题意g（x）＝2cosx与y＝﹣a在区间上有三个交点， 此时有x1+x2＝2π，， 所以sin（x1+x2+x3）＝sin（2π+x3）＝sinx3∈（0，1]； （3）由（2）知，， 又由，，使得f（x4）≤h（x5）成立可知， f（x4）max≤h（x5）max成立， 当时，， 所以， 所以f（x4）max＝1， 当时，2cosx5∈[﹣2，0]， 所以g（x5）+a∈[﹣2+a，a]， 所以h（x5）max＝g（x5）max+a＝a， 所以1≤a， 又因为， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$